Limiti e continuità per funzioni di più variabili

Prerequisiti: Topologia di RnIn Rn la distanza tra due punti è la norma euclidea della differenza, ‖X − Y‖ = √(Σ(xi − yi)²). Con le palle aperte B(X0, r) si classificano i punti rispetto a un insieme D (interni, esterni, di frontiera, di accumulazione, isolati) e si definiscono insiemi aperti, chiusi, limitati, compatti (= chiusi e limitati) e connessi per archi.Topologia di Rn →, Limiti di funzioni - definizioneIntorni, punti di accumulazione e la definizione di limite di una funzione con gli intorni, tradotta con ε, δ, N, M in tutti i casi; limite destro e sinistro, per eccesso e per difetto, "definitivamente".Limiti di funzioni - definizione →.

In una variabile ci si avvicina a $x_0$ solo da destra o da sinistra. Nel piano ci si può avvicinare a $(x_0, y_0)$ lungo infinite rette, lungo parabole, a spirale: il limite esiste solo se tutti questi avvicinamenti danno lo stesso valore. Per questo i limiti in più variabili si trattano con due strumenti opposti: le restrizioni (per dimostrare che un limite non esiste) e le stime (per dimostrare che esiste).

Definizione di limite

Sia $f: D \subseteq \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$ e sia $X_0$ un punto di accumulazionepunto tale che ogni intorno di esso contiene punti di D diversi da $X_0$ per $D$.

Definizione (Limite). Si dice che $\lim_{X \to X_0} f(X) = L$ se per ogni successione $\{X_n\} \subseteq D \setminus \{X_0\}$ tale che $X_n \to X_0$, si ha $f(X_n) \to L$.

Equivalentemente, utilizzando la definizione $\epsilon-\delta$: $\forall \epsilon > 0, \exists \delta > 0$ tale che $\forall X \in D, 0 < \|X - X_0\| < \delta \implies |f(X) - L| < \epsilon$.

Condizioni per l'esistenza e la non esistenza

Per verificare se un limite esiste, si utilizzano diverse strategie basate sull'analisi del comportamento della funzione lungo cammini specifici.

Restrizioni a rette e curve

Teorema (condizione necessaria). Se $\lim_{X \to X_0} f(X) = L$, allora per ogni curva $\gamma(t)$ contenuta nel dominio, con $\gamma(t) \to X_0$ e $\gamma(t) \neq X_0$, si ha $\lim_{t \to 0} f(\gamma(t)) = L$.

Perché. Lungo la curva ci si avvicina a $X_0$ restando nel dominio: è un caso particolare di "avvicinarsi a $X_0$", quindi la definizione (con le successioni $X_n = \gamma(t_n)$) obbliga $f$ a tendere a $L$ anche lì.

La conseguenza pratica: se due curve danno limiti diversi, o se lungo una curva il limite non esiste, il limite non esiste. Per $X_0 = (0, 0)$ si provano prima le rette $y = mx$ (e l'asse $x = 0$), poi curve come $y = x^2$.

Esempio di non esistenza (Limiti dipendenti dal percorso): Si studi $\lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac{xy}{x^2 + y^2}$.

1. Lungo le rette $y = mx$: $$\lim_{x \to 0} \frac{x(mx)}{x^2 + (mx)^2} = \lim_{x \to 0} \frac{mx^2}{x^2(1 + m^2)} = \frac{m}{1 + m^2}$$
2. Poiché il risultato dipende da $m$ (es. se $m=0$ il limite è $0$, se $m=1$ il limite è $1/2$), il limite non esiste.

Si è semplificato $x^2$ perché lungo la retta $x \neq 0$ (ci si avvicina all'origine senza toccarla). Il valore limite in funzione della pendenza è $g(m) = \frac{m}{1 + m^2}$: varia tra $-\frac12$ e $\frac12$.

Esempio di non esistenza (Confronto curve): Si studi $\lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac{x^2y}{x^4 + y^2}$.

1. Lungo le rette $y=mx$ con $m \neq 0$: $\dfrac{x^2 \cdot mx}{x^4 + m^2x^2} = \dfrac{mx}{x^2 + m^2} \to \dfrac{0}{m^2} = 0$; lungo gli assi la funzione vale $0$. Tutte le rette danno $0$.
2. Ma $x^2y$ e $x^4 + y^2$ hanno lo stesso "peso" se $y$ è dell'ordine di $x^2$: conviene provare la curva che pareggia i gradi, la parabola $y=x^2$: $$\lim_{x \to 0} \frac{x^2(x^2)}{x^4 + (x^2)^2} = \lim_{x \to 0} \frac{x^4}{2x^4} = \frac{1}{2}$$ Poiché $0 \neq 1/2$, il limite non esiste.

Condizione sufficiente: coordinate polari

Per dimostrare che il limite è $L$, è spesso utile passare alle coordinate polari ($x = \rho \cos \theta, y = \rho \sin \theta$). Se $|f(\rho \cos \theta, \rho \sin \theta) - L| \leq g(\rho)$ con $\lim_{\rho \to 0} g(\rho) = 0$, allora il limite esiste ed è $L$.

Esempio di esistenza: Si studi $\lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac{x^2y}{x^2 + y^2}$. In polari: $\frac{\rho^2 \cos^2 \theta \cdot \rho \sin \theta}{\rho^2} = \rho \cos^2 \theta \sin \theta$. Poiché $|\cos^2 \theta \sin \theta| \leq 1$, abbiamo $|\rho \cos^2 \theta \sin \theta| \leq \rho$. Dato che $\lim_{\rho \to 0} \rho = 0$, il limite è $0$.

Perché la stima deve valere per ogni $\theta$. Non basta che per ogni $\theta$ fissato l'espressione tenda a $0$: fissare $\theta$ significa muoversi lungo una retta, cioè rifare il test delle rette. Per $\frac{x^2y}{x^4 + y^2}$ in polari si ottiene $\frac{\rho \cos^2\theta \sin\theta}{\rho^2\cos^4\theta + \sin^2\theta}$, che per ogni $\theta$ fissato tende a $0$, eppure il limite non esiste (lungo la parabola vale $\frac12$). Serve una $g(\rho)$ che non dipende da $\theta$.

Esempio (stima con $|\sin t| \le |t|$). $\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{\sin(x^2y^2)}{x^2 + y^2}$. Si usa $|\sin t| \leq |t|$: $$\left|\frac{\sin(x^2y^2)}{x^2+y^2}\right| \leq \frac{x^2y^2}{x^2+y^2} = \frac{\rho^4\cos^2\theta\sin^2\theta}{\rho^2} \leq \rho^2 \to 0$$ Il limite è $0$. Maggiorare $|\sin(x^2y^2)| \le 1$ sarebbe stato inutile: resta $\frac{1}{\rho^2}$, che non tende a $0$.

Altri esempi

1. $\lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac{2xy^2 - x^3}{x^2 + y^2}$. Lungo le rette $y = mx$: $\frac{x^3(2m^2 - 1)}{x^2(1 + m^2)} = \frac{x(2m^2-1)}{1+m^2} \to 0$; il candidato è $L = 0$. In polari: $$\left|\frac{\rho^3(2\cos\theta\sin^2\theta - \cos^3\theta)}{\rho^2}\right| = \rho\,|2\cos\theta\sin^2\theta - \cos^3\theta| \leq \rho\,(2 + 1) = 3\rho \to 0$$ (ogni seno e coseno ha modulo al più $1$). Il limite esiste e vale $0$.

2. $\lim_{(x,y) \to (0,0)} x\,e^{y/x}$ (definita per $x \neq 0$). Lungo $y = mx$: $x e^{m} \to 0$. Lungo la curva $y = \sqrt{x}$ con $x > 0$: $\frac yx = \frac{1}{\sqrt x} \to +\infty$ e $$x\,e^{1/\sqrt{x}} \to +\infty$$ (posto $s = \frac{1}{\sqrt x} \to +\infty$, è $\frac{e^s}{s^2}$, e l'esponenziale batte la potenza). Due cammini danno limiti diversi ($0$ e $+\infty$): il limite non esiste. Le rette non bastavano a vederlo.

Continuità

Definizione. Una funzione $f: D \to \mathbb{R}$ è continua in $X_0 \in D$ se: $$\lim_{X \to X_0} f(X) = f(X_0)$$ Se $X_0$ è un punto isolato, la funzione è sempre continua in $X_0$.

Le funzioni elementari (polinomi, esponenziali, seno, coseno) sono continue nel loro dominio. La somma, il prodotto e la composizione di funzioni continue sono funzioni continue. Per esempio $f(x, y) = e^{xy}\cos(x + y^2)$ è continua in tutto $\mathbb{R}^2$ senza bisogno di calcolare limiti.

I problemi nascono nei punti in cui la funzione è definita "a pezzi". Per esempio $$f(x, y) = \begin{cases} \dfrac{xy}{x^2 + y^2} & (x, y) \neq (0, 0) \\ 0 & (x, y) = (0, 0) \end{cases}$$ è continua fuori dall'origine (quoziente di funzioni continue con denominatore non nullo), ma non nell'origine, perché il limite lì non esiste. Invece la stessa costruzione con $\frac{x^2y}{x^2+y^2}$ dà una funzione continua anche nell'origine, perché il limite vale $0 = f(0, 0)$.

Errori comuni

• Scambiare la condizione necessaria con quella sufficiente: Aver trovato lo stesso limite lungo tutte le rette non garantisce che il limite esista; potrebbe cambiare lungo una parabola o altra curva.
• Maggiorazioni errate: Usare stime che non tendono a $0$ o che mantengono una dipendenza da $\theta$ che impedisce di isolare il comportamento in $\rho$.
• Confondere il limite lungo gli assi con il limite nel punto: Il limite deve valere per ogni possibile direzione di avvicinamento.

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