Massimi e minimi vincolati e moltiplicatori di Lagrange

Prerequisiti: Massimi e minimi assoluti su insiemi compattiTeorema di Weierstrass: una funzione continua su un compatto (chiuso e limitato) di Rn ha massimo e minimo assoluti. Si trovano confrontando i valori nei punti critici interni, nei punti critici delle restrizioni ai pezzi della frontiera (parametrizzati) e nei vertici. Su un insieme chiuso illimitato, se f → +∞ all'infinito il minimo esiste e il massimo no.Massimi e minimi assoluti su insiemi compatti →, Teorema delle funzioni implicite (Dini)Se F è C¹, F(x0, y0) = 0 e Fy(x0, y0) ≠ 0, vicino a (x0, y0) l'insieme F(x, y) = 0 è il grafico di un'unica funzione y = g(x) di classe C¹, con g'(x) = −Fx/Fy (si ottiene derivando F(x, g(x)) = 0). La retta tangente è ortogonale a ∇F. Dove Fy = 0 ma Fx ≠ 0 si esplicita x = h(y); dove ∇F = 0 il punto è singolare.Teorema delle funzioni implicite (Dini) →, Differenziabilità e gradientef è differenziabile in x0 se f(x) = f(x0) + ∇f(x0)·(x − x0) + o(‖x − x0‖): vicino a x0 il grafico si confonde con il piano tangente z = f(x0) + ∇f(x0)·(x − x0). Differenziabile ⇒ continua, derivabile e D_v f = ∇f·v; derivate parziali continue ⇒ differenziabile. Il gradiente indica la direzione di massima crescita (pendenza ‖∇f‖) ed è ortogonale alle curve di livello.Differenziabilità e gradiente →.

Il problema dell'ottimizzazione vincolata consiste nel determinare i punti di massimo o minimo di una funzione $f: A \subseteq \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$ considerando solo i punti che appartengono a un sottoinsieme definito da un vincolo $g(x_1, \dots, x_n) = c$.

Metodi elementari

Prima di introdurre il metodo di Lagrange, è utile ricordare le tecniche di base per affrontare il problema:

1. Sostituzione: Se il vincolo $g(x, y) = 0$ può essere esplicitato (ad esempio $y = h(x)$), si sostituisce l'espressione nella funzione obiettivo ottenendo $f(x, h(x))$. Il problema si riconduce a una ricerca di massimi e minimi per una funzione di una sola variabile.
2. Parametrizzazione: Se il vincolo descrive una curva $\gamma(t) = (x(t), y(t))$, si compone la funzione obiettivo con la curva: $f(\gamma(t))$. Si studiano quindi gli estremi di $f(x(t), y(t))$ al variare del parametro $t$.

Questi metodi sono spesso proibitivi in dimensioni superiori o quando il vincolo non è facilmente esplicitabile.

Esempio (parametrizzazione). Estremi di $f(x, y) = xy$ sulla circonferenza $x^2 + y^2 = 1$: con $(\cos t, \sin t)$ si ottiene $\frac12\sin 2t$, massimo $\frac12$ e minimo $-\frac12$ (svolto in Massimi e minimi assoluti su insiemi compattiTeorema di Weierstrass: una funzione continua su un compatto (chiuso e limitato) di Rn ha massimo e minimo assoluti. Si trovano confrontando i valori nei punti critici interni, nei punti critici delle restrizioni ai pezzi della frontiera (parametrizzati) e nei vertici. Su un insieme chiuso illimitato, se f → +∞ all'infinito il minimo esiste e il massimo no.Massimi e minimi assoluti su insiemi compatti →). Lo stesso problema è risolto sotto con Lagrange.

Interpretazione geometrica

Consideriamo $f(x, y)$ e il vincolo $g(x, y) = c$. In un punto di estremo vincolato $(x_0, y_0)$, la curva di livello di $f$ che passa per tale punto deve essere tangente alla curva di livello di $g$. Se non lo fosse, potremmo muoverci lungo il vincolo aumentando o diminuendo il valore di $f$, contraddicendo l'ipotesi di estremo. Poiché il gradiente di una funzione è sempre ortogonale alla sua curva di livelloinsieme dei punti in cui la funzione assume lo stesso valore, la tangenza tra le due curve implica che i gradienti $\nabla f$ e $\nabla g$ siano vettori paralleli.

Perché, con più precisione. Se $\nabla g(P_0) \neq 0$, per il teorema del DiniSe F è C¹, F(x0, y0) = 0 e Fy(x0, y0) ≠ 0, vicino a (x0, y0) l'insieme F(x, y) = 0 è il grafico di un'unica funzione y = g(x) di classe C¹, con g'(x) = −Fx/Fy (si ottiene derivando F(x, g(x)) = 0). La retta tangente è ortogonale a ∇F. Dove Fy = 0 ma Fx ≠ 0 si esplicita x = h(y); dove ∇F = 0 il punto è singolare.Teorema delle funzioni implicite (Dini) → vicino a $P_0$ il vincolo è una curva regolare $\gamma(t)$ con $\gamma(0) = P_0$. La funzione di una variabile $t \mapsto f(\gamma(t))$ ha un estremo in $t = 0$, quindi la sua derivata è nulla: $\nabla f(P_0) \cdot \gamma'(0) = 0$. Anche $g(\gamma(t)) = c$ è costante, quindi $\nabla g(P_0) \cdot \gamma'(0) = 0$. Nel piano due vettori entrambi ortogonali allo stesso vettore non nullo $\gamma'(0)$ sono paralleli.

Teorema dei moltiplicatori di Lagrange

Teorema. Siano $f, g: A \subseteq \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$ funzioni di classe $C^1$. Sia $P_0$ un punto di estremo locale per $f$ vincolato a $g(x) = c$. Se $\nabla g(P_0) \neq 0$, allora esiste un numero reale $\lambda$ (moltiplicatore di Lagrange) tale che: $$\nabla f(P_0) = \lambda \nabla g(P_0)$$

L'ipotesi $\nabla g(P_0) \neq 0$ (punto regolare del vincolo) serve per avere una curva vera attorno a $P_0$. I punti del vincolo in cui $\nabla g = 0$ vanno quindi aggiunti a parte all'elenco dei candidati.

Per risolvere il problema, si definisce la funzione lagrangianafunzione ausiliaria che incorpora il vincolo $\mathcal{L}(x, y, \lambda) = f(x, y) - \lambda(g(x, y) - c)$. Imporre $\nabla \mathcal{L} = 0$ (gradiente rispetto a $x$, $y$ e $\lambda$) dà esattamente le condizioni di Lagrange più il vincolo. I candidati punti di estremo si ottengono risolvendo il sistema: $$\begin{cases} f_x = \lambda g_x \\ f_y = \lambda g_y \\ g(x, y) = c \end{cases}$$ Sono tre equazioni in tre incognite ($x$, $y$, $\lambda$). In $n$ variabili sono $n + 1$ equazioni in $n + 1$ incognite. Il valore di $\lambda$ di solito non interessa: serve solo come incognita di appoggio.

Esempio: Distanza minima dall'origine

Ricerca del punto sulla iperbole $xy = 3$ più vicino all'origine. La distanza al quadrato è $f(x, y) = x^2 + y^2$. Il vincolo è $g(x, y) = xy = 3$.

1. Calcolo gradienti: $\nabla f = (2x, 2y)$, $\nabla g = (y, x)$.
2. Impostazione sistema: $$\begin{cases} 2x = \lambda y \\ 2y = \lambda x \\ xy = 3 \end{cases}$$
3. Dalle prime due: $x = \frac{\lambda y}{2}$. Sostituendo nella seconda: $2y = \lambda (\frac{\lambda y}{2}) \implies 4y = \lambda^2 y$.
4. Se $y = 0$, il vincolo darebbe $xy = 0 \neq 3$: impossibile. Quindi $y \neq 0$ e si può dividere: $\lambda^2 = 4 \implies \lambda = \pm 2$.
   • Se $\lambda = 2$: $x=y$. Dal vincolo $x^2 = 3 \implies x = \pm \sqrt{3}$. Punti: $(\sqrt{3}, \sqrt{3})$ e $(-\sqrt{3}, -\sqrt{3})$.
   • Se $\lambda = -2$: $x=-y$. Dal vincolo $-x^2 = 3$ (impossibile).
5. $\nabla g = (y, x)$ si annulla solo in $(0, 0)$, che non sta sul vincolo: non ci sono punti singolari da aggiungere.

I candidati sono $(\sqrt{3}, \sqrt{3})$ e $(-\sqrt{3}, -\sqrt{3})$, entrambi con $f = 6$. L'iperbole non è compatta, quindi Weierstrass non si applica direttamente; ma lungo l'iperbole, allontanandosi, $x^2 + y^2 \to +\infty$, quindi il minimo esiste (come per le funzioni che tendono a $+\infty$ su un chiuso) e il massimo no. La distanza minima dall'origine è $\sqrt6$, raggiunta nei due punti trovati.

Esempio: $xy$ sulla circonferenza

$f(x, y) = xy$ con il vincolo $g(x, y) = x^2 + y^2 = 1$.

1. $\nabla f = (y, x)$, $\nabla g = (2x, 2y)$, mai nullo sulla circonferenza.
2. Sistema: $y = 2\lambda x$, $x = 2\lambda y$, $x^2 + y^2 = 1$.
3. Sostituendo la prima nella seconda: $x = 4\lambda^2 x$. Se $x = 0$, dalla prima $y = 0$, che non sta sul vincolo; quindi $x \neq 0$ e $\lambda^2 = \frac14$, $\lambda = \pm\frac12$.
   • $\lambda = \frac12$: $y = x$, e $2x^2 = 1$: punti $\pm\left(\frac{1}{\sqrt2}, \frac{1}{\sqrt2}\right)$, con $f = \frac12$.
   • $\lambda = -\frac12$: $y = -x$: punti $\pm\left(\frac{1}{\sqrt2}, -\frac{1}{\sqrt2}\right)$, con $f = -\frac12$.
4. La circonferenza è compatta e $f$ è continua: massimo e minimo esistono e sono tra i candidati. Massimo $\frac12$, minimo $-\frac12$, come con la parametrizzazione.

Un esercizio in tre variabili (la piramide di superficie laterale minima): Esercizio - piramide di superficie laterale minima.

Uso con il Teorema di Weierstrass

Se il vincolo è un insieme chiuso e limitato, il teorema di Weierstrass (Massimi e minimi assoluti su insiemi compattiTeorema di Weierstrass: una funzione continua su un compatto (chiuso e limitato) di Rn ha massimo e minimo assoluti. Si trovano confrontando i valori nei punti critici interni, nei punti critici delle restrizioni ai pezzi della frontiera (parametrizzati) e nei vertici. Su un insieme chiuso illimitato, se f → +∞ all'infinito il minimo esiste e il massimo no.Massimi e minimi assoluti su insiemi compatti →) garantisce l'esistenza di massimo e minimo vincolati. Il metodo di Lagrange fornisce tutti i candidati tra i punti regolari del vincolo; vanno aggiunti i punti in cui $\nabla g = 0$ e, se il vincolo è un arco con estremi, i due estremi. Il confronto dei valori decide.

Lo stesso metodo serve per la frontiera di un dominio nella ricerca degli estremi assoluti: invece di parametrizzare la circonferenza $x^2 + y^2 = 1$ si scrive il sistema di Lagrange con $g = x^2 + y^2$.

Errori comuni

• Confusione con estremi liberi: Il sistema di Lagrange cerca punti dove il gradiente di $f$ non è nullo, ma è solo "bilanciato" dal gradiente del vincolo. Non cercare i punti dove $\nabla f = 0$ a meno che non soddisfino $g=c$.
• Natura dei punti: Il metodo non dice se un punto è di massimo o minimo. È necessario confrontare i valori di $f$ in tutti i punti trovati.
• Dimenticare il vincolo: Includere sempre l'equazione $g(x, y) = c$ nel sistema; senza di essa, il sistema è sottodeterminato.
• Dividere per zero nel sistema: prima di dividere per $x$, $y$ o $\lambda$ bisogna trattare a parte il caso in cui sono nulli (nell'esempio dell'iperbole il caso $y = 0$).