Esercizio - forma esatta con funzione incognita

---

Si pone $D(x, y) = 4 + (x + y^2)^2$ (il denominatore comune, sempre $\ge4$, quindi mai nullo) e $M = \frac4D$, $N = \frac{g(y)}{D}$. Il dominio è tutto $\mathbb{R}^2$.

i) La condizione di chiusura determina $g$

Una forma esatta è chiusa, quindi deve essere $M_y = N_x$. Le derivate di $D$: $D_x = 2(x + y^2)$ e $D_y = 2(x + y^2)\cdot2y = 4y(x + y^2)$. Con la regola del quoziente (derivata di $\frac{1}{D}$ uguale a $-\frac{D'}{D^2}$): $$M_y = -\frac{4D_y}{D^2} = -\frac{16\,y\,(x + y^2)}{D^2},\qquad N_x = -\frac{g(y)\,D_x}{D^2} = -\frac{2\,g(y)\,(x + y^2)}{D^2}.$$ Uguagliando e moltiplicando per $-D^2$: $$16\,y\,(x + y^2) = 2\,g(y)\,(x + y^2)\quad\Longleftrightarrow\quad(x + y^2)\bigl(16y - 2g(y)\bigr) = 0.$$ Per i punti con $x + y^2 \ne 0$ questo impone $g(y) = 8y$. Per ogni $y$ fissato esistono valori di $x$ con $x + y^2 \ne 0$, quindi $g(y) = 8y$ per ogni $y$: in particolare la scelta non dipende dalla scelta del punto e $g$ è unica: $g(y) = 8y$.

Con questa scelta la forma è chiusa su $\mathbb{R}^2$, che è semplicemente connesso, quindi è anche esatta (Campi conservativi e funzione potenzialeF è conservativo se F = ∇f per un potenziale f; allora il lavoro lungo una curva da P0 a P1 vale f(P1) − f(P0), quindi non dipende dal cammino ed è nullo su ogni curva chiusa (e viceversa). Condizione necessaria (per F di classe C¹): campo irrotazionale, ∂M/∂y = ∂N/∂x; è anche sufficiente su un dominio semplicemente connesso. Controesempio sul piano bucato: (−y, x)/(x² + y²). Il potenziale si trova integrando M in x e imponendo f_y = N.Campi conservativi e funzione potenziale →). (Per $g \ne 8y$ la forma non sarebbe chiusa, quindi nemmeno esatta.)

ii) Una primitiva

Ora $\omega = \frac{4}{4 + (x + y^2)^2}dx + \frac{8y}{4 + (x + y^2)^2}dy$. Si cerca $U$ con $U_x = M$, $U_y = N$.

Integrando $M$ in $x$ (con $y$ fissato). Si pone $s = x + y^2$ (a $y$ fissato $ds = dx$) e si ricorda $\int\frac{ds}{4 + s^2} = \frac12\arctan\frac s2$: $$U = \int\frac{4\,dx}{4 + (x+y^2)^2} = 4\cdot\frac12\arctan\frac{x + y^2}{2} + h(y) = 2\arctan\frac{x + y^2}{2} + h(y).$$ Derivando in $y$, con la regola della catena, $\frac{d}{dy}\arctan u = \frac{u'}{1 + u^2}$ con $u = \frac{x + y^2}{2}$, $u_y = y$: $$U_y = 2\cdot\frac{y}{1 + \frac{(x + y^2)^2}{4}} + h'(y) = \frac{8y}{4 + (x + y^2)^2} + h'(y).$$ Si deve avere $U_y = N = \frac{8y}{4 + (x+y^2)^2}$, quindi $h'(y) = 0$ e $h$ è costante. Una primitiva è $$U(x, y) = 2\arctan\frac{x + y^2}{2}.$$ (Le altre differiscono per una costante.)

iii) L'integrale su $\gamma$

La curva $\gamma(t) = (t^5, t)$, $t \in [0, 1]$, è regolare (la seconda componente ha derivata $1$) e va da $\gamma(0) = (0, 0)$ a $\gamma(1) = (1, 1)$. Poiché $\omega$ è esatta, l'integrale dipende solo dagli estremi: $$\int_\gamma\omega = U(1, 1) - U(0, 0) = 2\arctan\frac{1 + 1}{2} - 2\arctan0 = 2\cdot\frac\pi4 - 0 = \frac\pi2.$$ Con la definizione si dovrebbe calcolare $\int_0^1\frac{4\cdot5t^4 + 8t}{4 + (t^5 + t^2)^2}dt$: il teorema fondamentale dei campi conservativi evita questo calcolo.

Errori comuni. Dimenticare che $x + y^2$ è un fattore comune e concludere con una $g$ dipendente da $x$ (non ammesso: $g$ è una funzione di $y$ solo); calcolare la primitiva come se $y$ non comparisse nell'argomento dell'arcotangente; calcolare $\int_\gamma\omega$ con i limiti sbagliati: gli estremi della curva sono i punti $(0,0)$ e $(1,1)$, non i valori del parametro $0$ e $1$ messi nella primitiva.