Teorema dei residui

Prerequisiti: Serie di Laurent e singolarità isolateLe serie di Laurent permettono di sviluppare in serie di potenze funzioni analitiche in una corona circolare, includendo potenze negative (parte principale). Le singolarità isolate si classificano in eliminabili, poli (tramite l'ordine del polo) o essenziali in base al comportamento dei coefficienti della parte principale.Serie di Laurent e singolarità isolate →, Integrale di linea complesso e teorema di CauchyL'integrale di una funzione complessa lungo una curva $z(t)$, $t\in[a,b]$, vale $\int_C f(z),dz=\int_a^b f(z(t)),z'(t),dt$ e dipende in generale dal cammino. Se $f$ è olomorfa in un dominio semplicemente connesso l'integrale su ogni curva chiusa è nullo (teorema di Cauchy), l'integrale dipende solo dagli estremi e vale $F(z_1)-F(z_0)$ con $F'=f$. Si può deformare il cammino senza attraversare singolarità: $\oint\frac{dz}{z-z_0}=2\pi i$ per ogni curva che gira una volta attorno a $z_0$.Integrale di linea complesso e teorema di Cauchy →, Formula integrale di CauchyLa formula integrale di Cauchy permette di calcolare i valori di una funzione olomorfa all'interno di un dominio semplicemente connesso conoscendone i valori sul bordo. Da essa discendono la proprietà di analiticità infinita, le formule per le derivate successive, il teorema di Liouville e la relazione tra il raggio di convergenza di una serie di potenze e la distanza dalle singolarità.Formula integrale di Cauchy →.

Residuo in una singolarità isolata

Sia $f(z)$ olomorfa in un intorno bucato di un punto $z_0$ (singolarità isolata). In tale intorno la funzione si sviluppa in serie di Laurent:

$$f(z) = \sum_{n=-\infty}^{+\infty} a_n (z-z_0)^n$$

Definizione. Si definisce residuo della funzione $f(z)$ nel punto singolare isolato $z_0$ il coefficiente $a_{-1}$ dello sviluppo in serie di Laurent. Si indica con la notazione: $$\text{Res}(f, z_0) = a_{-1} = \frac{1}{2\pi i} \oint_{\gamma} f(z) dz$$ dove $\gamma$ è una curva chiusa semplice percorsa in senso antiorario che racchiude $z_0$ e nessun'altra singolarità.

Il motivo per cui proprio $a_{-1}$ conta è l'integrale delle potenze su una circonferenza (Integrale di linea complesso e teorema di CauchyL'integrale di una funzione complessa lungo una curva $z(t)$, $t\in[a,b]$, vale $\int_C f(z),dz=\int_a^b f(z(t)),z'(t),dt$ e dipende in generale dal cammino. Se $f$ è olomorfa in un dominio semplicemente connesso l'integrale su ogni curva chiusa è nullo (teorema di Cauchy), l'integrale dipende solo dagli estremi e vale $F(z_1)-F(z_0)$ con $F'=f$. Si può deformare il cammino senza attraversare singolarità: $\oint\frac{dz}{z-z_0}=2\pi i$ per ogni curva che gira una volta attorno a $z_0$.Integrale di linea complesso e teorema di Cauchy →, Esempio 3): $\oint(z-z_0)^n\,dz$ vale $0$ per ogni $n\ne-1$ e $2\pi i$ per $n=-1$. Integrando la serie di Laurent termine a termine (lecito perché converge uniformemente sulla circonferenza) sopravvive solo il termine $a_{-1}(z-z_0)^{-1}$, e l'integrale vale $2\pi i\,a_{-1}$.

Il residuo si può quindi leggere direttamente dallo sviluppo di Laurent. Per esempio $e^{1/z}=\sum_{n\ge0}\frac{1}{n!\,z^n}$ ha $a_{-1}=1$, cioè $\text{Res}(e^{1/z},0)=1$ (anche se la singolarità è essenziale). Per i poli, invece, esistono formule che evitano di calcolare lo sviluppo.

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Calcolo del residuo nei poli

Un polo è una singolarità isolata in cui la parte principale della serie di Laurent ha un numero finito di termini negativi. Se il termine di ordine massimo è $-(n)$, il polo si dice di ordine $n$.

Poli semplici ($n=1$)

Teorema. Se $z_0$ è un polo semplice per $f(z)$, il residuo si calcola come: $$\text{Res}(f, z_0) = \lim_{z \to z_0} (z - z_0) f(z)$$ In particolare, se $f(z) = \frac{P(z)}{Q(z)}$ con $P(z_0) \neq 0$, $Q(z_0) = 0$ e $Q'(z_0) \neq 0$, allora: $$\text{Res}(f, z_0) = \frac{P(z_0)}{Q'(z_0)}$$

Esempio numerico. Calcoliamo il residuo di $f(z) = \frac{1}{z^2 - 1}$ nei suoi poli. I poli si trovano annullando il denominatore: $z^2 - 1 = 0$, ovvero $z_1 = 1$ e $z_2 = -1$. Sono entrambi poli semplici. Usiamo la regola del rapporto con $P(z) = 1$ e $Q(z) = z^2 - 1$ (quindi $Q'(z) = 2z$):

• Per $z_1 = 1$: $\text{Res}(f, 1) = \frac{1}{2(1)} = \frac{1}{2}$.
• Per $z_2 = -1$: $\text{Res}(f, -1) = \frac{1}{2(-1)} = -\frac{1}{2}$.

È lo stesso risultato della scomposizione $\frac1{z^2-1}=\frac12\left(\frac1{z-1}-\frac1{z+1}\right)$: i coefficienti di $\frac{1}{z-1}$ e $\frac1{z+1}$ sono proprio i residui.

Poli di ordine $n$

Teorema. Se $z_0$ è un polo di ordine $n$ per $f(z)$, il residuo si calcola tramite la formula di derivazione: $$\text{Res}(f, z_0) = \frac{1}{(n-1)!} \lim_{z \to z_0} \frac{d^{n-1}}{dz^{n-1}} \left[ (z - z_0)^n f(z) \right]$$

Esempio numerico. Calcoliamo il residuo di $f(z) = \frac{e^z}{z^3}$ in $z_0 = 0$. Il denominatore si annulla con ordine $3$, quindi $z_0 = 0$ è un polo triplo ($n = 3$). Applichiamo la formula con $n=3$: $$(z - 0)^3 f(z) = z^3 \cdot \frac{e^z}{z^3} = e^z$$ Deriviamo $n-1 = 2$ volte la funzione $e^z$: $$\frac{d^2}{dz^2} [e^z] = e^z$$ Calcoliamo il limite per $z \to 0$: $$\text{Res}(f, 0) = \frac{1}{(3-1)!} \lim_{z \to 0} e^z = \frac{1}{2!} \cdot 1 = \frac{1}{2}$$ È il coefficiente di $\frac1z$ nello sviluppo $\frac{e^z}{z^3}=\frac1{z^3}+\frac1{z^2}+\frac1{2z}+\dots$ visto in Serie di Laurent e singolarità isolateLe serie di Laurent permettono di sviluppare in serie di potenze funzioni analitiche in una corona circolare, includendo potenze negative (parte principale). Le singolarità isolate si classificano in eliminabili, poli (tramite l'ordine del polo) o essenziali in base al comportamento dei coefficienti della parte principale.Serie di Laurent e singolarità isolate →.

Esempio con polo doppio. $f(z)=\frac{1}{z^2(z-1)}$ ha un polo doppio in $0$ e uno semplice in $1$.

• In $z_0=0$ ($n=2$): $(z-0)^2f(z)=\frac1{z-1}$, derivata $-\frac1{(z-1)^2}$, che in $0$ vale $-1$. Quindi $\text{Res}(f,0)=\frac1{1!}\cdot(-1)=-1$.
• In $z_0=1$: $\text{Res}(f,1)=\lim_{z\to1}\frac1{z^2}=1$. La somma dei residui è $0$.

Teorema dei residui

Il teorema fondamentale collega il calcolo degli integrali complessi alla determinazione dei residui interni a un dominio. Si tratta di una generalizzazione della Formula integrale di CauchyLa formula integrale di Cauchy permette di calcolare i valori di una funzione olomorfa all'interno di un dominio semplicemente connesso conoscendone i valori sul bordo. Da essa discendono la proprietà di analiticità infinita, le formule per le derivate successive, il teorema di Liouville e la relazione tra il raggio di convergenza di una serie di potenze e la distanza dalle singolarità.Formula integrale di Cauchy →.

Teorema (dei residui). Sia $\gamma$ una curva chiusa semplice, orientata in senso antiorario, tracciata in un dominio semplicemente connesso. Sia $f(z)$ una funzione analitica all'interno e sul bordo di $\gamma$, ad eccezione di un numero finito di singolarità isolate $z_1, z_2, \dots, z_k$ interne a $\gamma$. Allora: $$\oint_{\gamma} f(z) dz = 2\pi i \sum_{j=1}^{k} \text{Res}(f, z_j)$$

Perché vale. Si traccia una piccola circonferenza attorno a ciascuna singolarità interna. Per la deformazione dei cammini (la funzione è olomorfa nella regione tra $\gamma$ e le circonferenze, con i bordi interni orientati al contrario) l'integrale su $\gamma$ è la somma degli integrali sulle circonferenze, e ciascuno vale $2\pi i\,\text{Res}(f,z_j)$ per quanto visto sopra.

Esempio numerico svolto. Calcolare l'integrale $\oint_{\gamma} \frac{1}{z(z-2)} dz$, dove $\gamma$ è la circonferenza di equazione $|z| = 1$ percorsa in senso antiorario.

1. Individuiamo le singolarità della funzione $f(z) = \frac{1}{z(z-2)}$: esse si trovano in $z_1 = 0$ e $z_2 = 2$.
2. Verifichiamo quali singolarità sono interne a $\gamma$:
   • $z_1 = 0$ ha modulo $|0| = 0 \le 1$, quindi è interno.
   • $z_2 = 2$ ha modulo $|2| = 2 > 1$, quindi è esterno e non contribuisce all'integrale.
3. Calcoliamo il residuo nel polo semplice interno $z_1 = 0$: $$\text{Res}(f, 0) = \lim_{z \to 0} z \cdot \frac{1}{z(z-2)} = \lim_{z \to 0} \frac{1}{z-2} = -\frac{1}{2}$$
4. Applichiamo il teorema dei residui considerando solo la singolarità interna: $$\oint_{\gamma} \frac{1}{z(z-2)} dz = 2\pi i \cdot \text{Res}(f, 0) = 2\pi i \left(-\frac{1}{2}\right) = -\pi i$$

Secondo esempio. $\oint_{|z|=2}\frac{1}{z^2(z-1)}dz$: entrambe le singolarità ($0$ e $1$) sono interne, quindi l'integrale vale $2\pi i\,(-1+1)=0$ (residui calcolati sopra). Su $|z|=\frac12$ è interna solo $z=0$ e l'integrale vale $-2\pi i$.

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Applicazione a integrali reali impropri di funzioni razionali

Il teorema dei residui consente di calcolare integrali definiti reali su tutto l'asse reale del tipo $\int_{-\infty}^{+\infty} R(x) dx$, dove $R(x) = \frac{P(x)}{Q(x)}$ è una funzione razionale tale che:

1. Il denominatore $Q(x)$ non si annulla mai sull'asse reale ($Q(x) \neq 0$ per ogni $x \in \mathbb{R}$).
2. Il grado del denominatore supera di almeno $2$ il grado del numeratore ($\text{grado}(Q) \ge \text{grado}(P) + 2$).

Il metodo consiste nel considerare la funzione complessa $f(z) = \frac{P(z)}{Q(z)}$ estesa al piano complesso e integrare lungo una curva chiusa formata da un segmento sull'asse reale $[-R, R]$ e da una semicirconferenza superiore $\gamma_R$ nel semipiano positivo ($\text{Im}(z) > 0$). Per $R \to +\infty$, l'integrale sulla semicirconferenza tende a zero, e si ottiene:

$$\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{P(x)}{Q(x)} dx = 2\pi i \sum_{\text{Im}(z_j) > 0} \text{Res}\left(\frac{P}{Q}, z_j\right)$$ dove la sommatoria è estesa unicamente ai poli $z_j$ che si trovano nel semipiano superiore.

Perché l'arco scompare. Se $\text{grado}(Q)\ge\text{grado}(P)+2$, per $|z|=R$ grande si ha $|f(z)|\le\frac{C}{R^2}$, e la semicirconferenza ha lunghezza $\pi R$: per la stima $|\int|\le M\cdot L$ l'integrale sull'arco è al più $\frac{C\pi}{R}\to0$. Resta l'integrale sul segmento $[-R,R]$, che per $R\to\infty$ è l'integrale improprio cercato (la curva chiusa contiene, per $R$ grande, tutti i poli del semipiano superiore).

Esempio numerico svolto. Calcolare l'integrale reale improprio: $$I = \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{1}{x^2 + 1} dx$$

1. La funzione integranda è $f(z) = \frac{1}{z^2 + 1} = \frac{1}{(z-i)(z+i)}$.
2. Le singolarità sono i poli semplici $z_1 = i$ e $z_2 = -i$.
3. Solo il polo $z_1 = i$ si trova nel semipiano superiore ($\text{Im}(i) = 1 > 0$).
4. Calcoliamo il residuo in $z_1 = i$: $$\text{Res}(f, i) = \lim_{z \to i} (z - i) \frac{1}{(z-i)(z+i)} = \lim_{z \to i} \frac{1}{z+i} = \frac{1}{i + i} = \frac{1}{2i}$$
5. Applichiamo la formula per gli integrali impropri: $$I = 2\pi i \cdot \text{Res}(f, i) = 2\pi i \left(\frac{1}{2i}\right) = \pi$$ Coincide con $[\arctan x]_{-\infty}^{+\infty}=\frac\pi2+\frac\pi2=\pi$, calcolato con le primitive.

Esempio con polo doppio. $J=\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{dx}{(x^2+1)^2}$: la funzione $\frac1{(z-i)^2(z+i)^2}$ ha nel semipiano superiore il polo doppio $z=i$. Con $n=2$: $(z-i)^2f(z)=(z+i)^{-2}$, derivata $-2(z+i)^{-3}$, che in $z=i$ vale $\frac{-2}{(2i)^3}=\frac{-2}{-8i}=\frac1{4i}$. Quindi $J=2\pi i\cdot\frac1{4i}=\frac\pi2$.

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Residuo in una singolarità essenziale: prodotto di serie

Per una singolarità essenziale non esiste una formula con il limite: il residuo è il coefficiente di $\frac1z$ della serie di Laurent, e si trova moltiplicando le serie dei fattori.

Esempio. $f(z)=\dfrac{e^{1/z}}{(z-1)^2}$ ha una singolarità essenziale in $0$ e un polo doppio in $1$.

• In $z_0=1$ ($n=2$): $(z-1)^2f(z)=e^{1/z}$, derivata $-\frac{e^{1/z}}{z^2}$, che in $1$ vale $-e$. Quindi $\text{Res}(f,1)=-e$.
• In $z_0=0$, per $0<|z|<1$: $e^{1/z}=\sum_{k\ge0}\frac{z^{-k}}{k!}$ e $\frac{1}{(z-1)^2}=\frac{1}{(1-z)^2}=\sum_{n\ge0}(n+1)z^n$ (derivata della serie geometrica). Il prodotto ha termini $z^{n-k}$; il coefficiente di $z^{-1}$ si ottiene per $n=k-1$ (con $k\ge1$): $\sum_{k\ge1}\frac{k}{k!}=\sum_{k\ge1}\frac1{(k-1)!}=e$. Quindi $\text{Res}(f,0)=e$.

La somma dei residui è $e-e=0$, coerente con $f(z)\sim\frac1{z^2}$ per $z\to\infty$ (un integrale su una circonferenza molto grande tende a $0$). Un esercizio completo di questo tipo è in Esercizio - residui con una singolarità essenziale (tema d'esame giugno 2010); un esempio con poli semplici e una classificazione delle singolarità è in Esercizio - singolarità e residui di una funzione con esponenziale (tema d'esame gennaio 2013).

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Integrali di funzioni razionali di seno e coseno

Un integrale $\int_0^{2\pi}R(\cos\theta,\sin\theta)\,d\theta$, con $R$ razionale, si trasforma in un integrale sulla circonferenza unitaria con la sostituzione $z=e^{i\theta}$ ($\theta$ da $0$ a $2\pi$ fa percorrere $|z|=1$ una volta in senso antiorario). Dalla formula di Eulero: $$\cos\theta=\frac{z+z^{-1}}{2},\qquad\sin\theta=\frac{z-z^{-1}}{2i},\qquad d\theta=\frac{dz}{iz}.$$ Si ottiene un integrale di una funzione razionale di $z$ su $|z|=1$, da calcolare con il teorema dei residui, considerando solo i poli con $|z|<1$.

Esempio. $I=\int_0^{2\pi}\frac{d\theta}{2+\cos\theta}$. Si sostituisce: $2+\cos\theta=2+\frac{z+z^{-1}}2=\frac{z^2+4z+1}{2z}$, quindi $$I=\oint_{|z|=1}\frac{2z}{z^2+4z+1}\cdot\frac{dz}{iz}=\frac2i\oint_{|z|=1}\frac{dz}{z^2+4z+1}.$$ Il denominatore ha radici $z=-2\pm\sqrt3$. Solo $z_0=-2+\sqrt3\approx-0{,}27$ è dentro il cerchio unitario (l'altra, $-2-\sqrt3\approx-3{,}73$, è fuori). Polo semplice con $Q'(z)=2z+4$: $\text{Res}=\frac{1}{2z_0+4}=\frac{1}{2\sqrt3}$. Dunque $$I=\frac2i\cdot2\pi i\cdot\frac1{2\sqrt3}=\frac{2\pi}{\sqrt3}.$$ (Il fattore $i$ si semplifica sempre: se alla fine resta un $i$, c'è un errore.)

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Integrali con esponenziali: il lemma di Jordan

Per calcolare $\int_{-\infty}^{+\infty}R(x)\cos(ax)\,dx$ o $\int_{-\infty}^{+\infty}R(x)\sin(ax)\,dx$ con $a>0$ si considera l'integrale con l'esponenziale, $\int R(x)e^{iax}dx$, di cui i due integrali cercati sono parte reale e parte immaginaria (da $e^{iax}=\cos ax+i\sin ax$).

Lemma di Jordan. Sia $a>0$ e sia $f$ olomorfa nel semipiano superiore salvo un numero finito di singolarità, con $f(z)\to0$ per $|z|\to\infty$ ($\text{Im}\,z\ge0$). Allora l'integrale di $f(z)e^{iaz}$ sulla semicirconferenza $\gamma_R:\ z=Re^{i\theta}$, $\theta\in[0,\pi]$, tende a $0$ per $R\to\infty$.

La differenza con il caso precedente è che qui basta $f\to0$: per $\frac{P}{Q}$ è sufficiente $\text{grado}(Q)\ge\text{grado}(P)+1$ (non $+2$), perché sul semicerchio il fattore $|e^{iaz}|=e^{-aR\sin\theta}$ è piccolo tranne vicino a $\theta=0$ e $\theta=\pi$, e questo compensa la decrescita più lenta di $f$. Se $Q$ non ha zeri reali: $$\int_{-\infty}^{+\infty}R(x)e^{iax}\,dx=2\pi i\sum_{\text{Im}(z_j)>0}\text{Res}\left(R(z)e^{iaz},z_j\right).$$ (Per $a<0$ si chiude nel semipiano inferiore, con un segno meno.)

Esempio. $\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{\cos x}{x^2+1}\,dx$. Si considera $f(z)=\frac{e^{iz}}{z^2+1}$, con poli semplici in $\pm i$; nel semipiano superiore c'è $i$: $$\text{Res}(f,i)=\frac{e^{i\cdot i}}{2i}=\frac{e^{-1}}{2i},\qquad\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{e^{ix}}{x^2+1}dx=2\pi i\cdot\frac{e^{-1}}{2i}=\frac\pi e.$$ Parte reale: $\int\frac{\cos x}{x^2+1}dx=\frac\pi e$; parte immaginaria: $\int\frac{\sin x}{x^2+1}dx=0$ (come deve essere, perché l'integranda è dispari).

Esempio con due poli nel semipiano superiore. $\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{dx}{x^4+1}$: i poli di $\frac{1}{z^4+1}$ sono le radici quarte di $-1$, $e^{i\pi/4},e^{3i\pi/4},e^{5i\pi/4},e^{7i\pi/4}$; nel semipiano superiore ci sono i primi due. Residuo in un polo semplice $z_j$: $\frac1{4z_j^3}=\frac{z_j}{4z_j^4}=-\frac{z_j}4$ (perché $z_j^4=-1$). Somma: $-\frac{e^{i\pi/4}+e^{3i\pi/4}}{4}=-\frac{i\sqrt2}{4}$ (le parti reali si annullano, quelle immaginarie valgono $\frac{\sqrt2}2$ ciascuna). Quindi l'integrale vale $2\pi i\cdot\left(-\frac{i\sqrt2}{4}\right)=\frac{\pi\sqrt2}{2}=\frac\pi{\sqrt2}$.

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Errori comuni

• Residuo di una singolarità essenziale con il limite: per $e^{1/z}$ o $\cosh\frac1z$ non c'è nessuna formula: si moltiplicano le serie e si legge il coefficiente di $\frac1z$.
• Integrali trigonometrici: includere i poli con $|z|>1$, o dimenticare il fattore $\frac{1}{iz}$ che viene da $d\theta$.
• Includere singolarità esterne: Sommare i residui di tutti i poli della funzione anziché considerare esclusivamente quelli racchiusi all'interno della curva di integrazione $\gamma$.
• Errata identificazione dell'ordine del polo: Applicare la formula del polo semplice a una singolarità che presenta molteplicità superiore (ad esempio un fattore al denominatore elevato al quadrato).
• Segno dell'orientamento: Dimenticare che il teorema dei residui richiede che la curva chiusa sia percorsa in senso antiorario. Se la curva è percorsa in senso orario, il risultato finale va moltiplicato per $-1$.
• Confusione negli integrali reali: Dimenticarsi di scartare i poli situati nel semipiano inferiore quando si calcolano gli integrali impropri su $\mathbb{R}$ tramite i residui.