Esercizi - lavoro di un campo lungo una curva

Esercizi svolti in aula (videolezioni di Multivariable Calculus, MIT). Teoria: Campi vettoriali e lavoro lungo una curvaUn campo vettoriale F = (M, N) associa un vettore a ogni punto. Il lavoro (integrale curvilineo di seconda specie) lungo una curva orientata r(t), t ∈ [a, b], è ∫C F·dr = ∫ab F(r(t))·r'(t) dt = ∫C M dx + N dy, cioè l'integrale della componente tangente di F rispetto alla lunghezza d'arco. Non dipende dalla parametrizzazione ma cambia segno se si inverte il verso; si annulla se F è sempre ortogonale alla curva.Campi vettoriali e lavoro lungo una curva →, Campi conservativi e funzione potenzialeF è conservativo se F = ∇f per un potenziale f; allora il lavoro lungo una curva da P0 a P1 vale f(P1) − f(P0), quindi non dipende dal cammino ed è nullo su ogni curva chiusa (e viceversa). Condizione necessaria (per F di classe C¹): campo irrotazionale, ∂M/∂y = ∂N/∂x; è anche sufficiente su un dominio semplicemente connesso. Controesempio sul piano bucato: (−y, x)/(x² + y²). Il potenziale si trova integrando M in x e imponendo f_y = N.Campi conservativi e funzione potenziale →.

Esercizio 1

Testo. Calcolare il lavoro del campo $\mathbf{F} = (-y, x)$ lungo l'arco di parabola $x = t$, $y = t^2$, $t \in [0, 1]$.

1. $\mathbf{r}(t) = (t, t^2)$, $\mathbf{r}'(t) = (1, 2t)$.
2. Sulla curva $\mathbf{F}(\mathbf{r}(t)) = (-t^2, t)$.
3. $\mathbf{F}\cdot\mathbf{r}' = -t^2 + 2t^2 = t^2$.
4. Lavoro: $\displaystyle\int_0^1 t^2\,dt = \frac13$.

Esercizio 2 (una curva chiusa fatta di tre pezzi)

Testo. Calcolare $\oint_C y\,dx + x\,dy$, dove $C$ è il bordo del settore circolare $\{x^2 + y^2 \le 1,\ 0 \le y \le x\}$, percorso in senso antiorario: dall'origine a $(1, 0)$ lungo l'asse $x$, poi lungo la circonferenza fino a $\left(\frac{1}{\sqrt2}, \frac{1}{\sqrt2}\right)$, poi lungo la bisettrice fino all'origine.

1. Segmento sull'asse $x$: $x = t$, $y = 0$, $t \in [0, 1]$: $dy = 0$ e $y = 0$, quindi l'integrando $y\,dx + x\,dy$ è nullo. Contributo $0$.
2. Arco: $x = \cos\theta$, $y = \sin\theta$, $\theta \in \left[0, \frac\pi4\right]$; $dx = -\sin\theta\,d\theta$, $dy = \cos\theta\,d\theta$: $$\int_0^{\pi/4}\left(-\sin^2\theta + \cos^2\theta\right)d\theta = \int_0^{\pi/4}\cos 2\theta\,d\theta = \left[\frac{\sin2\theta}{2}\right]_0^{\pi/4} = \frac12$$
3. Bisettrice, verso l'origine: $x = y = t$ con $t$ che va da $\frac{1}{\sqrt2}$ a $0$ (gli estremi seguono il verso di percorrenza); $dx = dy = dt$: $$\int_{1/\sqrt2}^{0} 2t\,dt = \left[t^2\right]_{1/\sqrt2}^{0} = -\frac12$$
4. Totale: $0 + \frac12 - \frac12 = 0$.

Perché viene zero. Il campo $(y, x)$ è il gradiente di $U(x, y) = xy$ (infatti $U_x = y$, $U_y = x$): il lavoro lungo una curva chiusa è $U(\text{fine}) - U(\text{inizio}) = 0$. Lo stesso conto pezzo per pezzo: $U(1,0) - U(0,0) = 0$, $U\left(\frac{1}{\sqrt2},\frac{1}{\sqrt2}\right) - U(1, 0) = \frac12$, $U(0,0) - U\left(\frac{1}{\sqrt2},\frac{1}{\sqrt2}\right) = -\frac12$.

Esercizio 3 (un campo non conservativo)

Testo. Calcolare la circuitazione di $\mathbf{F} = (-y, x)$ lungo la circonferenza unitaria percorsa in senso antiorario.

$\mathbf{r}(\theta) = (\cos\theta, \sin\theta)$, $\mathbf{r}'(\theta) = (-\sin\theta, \cos\theta)$, $\mathbf{F}(\mathbf{r}(\theta)) = (-\sin\theta, \cos\theta)$, quindi $\mathbf{F}\cdot\mathbf{r}' = \sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$ e $$\oint_C \mathbf{F}\cdot d\mathbf{r} = \int_0^{2\pi}1\,d\theta = 2\pi \neq 0$$

Una curva chiusa con lavoro non nullo: $(-y, x)$ non è un campo gradiente. Il campo "spinge" sempre nel verso del moto.