Esercizio - derivate e differenziabilità di una radice con valori assoluti

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i) Derivate parziali

Si usa il rapporto incrementale. Sull'asse $x$: $f_\alpha(h, 0) = \sqrt{|h|^\alpha\cdot0} = 0$ per ogni $h$, quindi $$\frac{\partial f_\alpha}{\partial x}(0,0) = \lim_{h\to0}\frac{f_\alpha(h, 0) - f_\alpha(0, 0)}{h} = \lim_{h\to0}\frac{0}{h} = 0.$$ Sull'asse $y$: $f_\alpha(0, k) = \sqrt{0\cdot|k|} = 0$, quindi $\frac{\partial f_\alpha}{\partial y}(0, 0) = 0$.

Le derivate parziali esistono per ogni $\alpha > 0$ e valgono $0$: $\nabla f_\alpha(0, 0) = (0, 0)$.

ii) Derivata direzionale

La derivata nella direzione $(v, w)$ è il limite (bilatero) di $$\frac{f_\alpha(tv, tw) - f_\alpha(0, 0)}{t}\quad\text{per }t \to 0.$$ Si calcola il numeratore, con $|tv|^\alpha = |t|^\alpha|v|^\alpha$ e $|tw| = |t||w|$: $$f_\alpha(tv, tw) = \sqrt{|t|^{\alpha}|v|^\alpha\cdot|t||w|} = |t|^{\frac{\alpha+1}{2}}\sqrt{|v|^\alpha|w|}.$$ Il coefficiente $c = \sqrt{|v|^\alpha|w|}$ è un numero positivo (perché $v \ne 0$, $w \ne 0$), quindi il rapporto incrementale è $$\frac{|t|^{\frac{\alpha+1}{2}}}{t}\;c.$$ Si distinguono i casi secondo l'esponente $\frac{\alpha+1}{2}$ rispetto a $1$, cioè $\alpha$ rispetto a $1$:

• $\alpha > 1$: l'esponente è $> 1$, quindi $\frac{|t|^{(\alpha+1)/2}}{t} \to 0$ (è come $|t|^{(\alpha-1)/2}$ in modulo): la derivata direzionale esiste e vale $0$.
• $\alpha = 1$: l'esponente è $1$ e il rapporto vale $\frac{|t|}{t}c = \pm c$: per $t \to 0^+$ vale $+c$, per $t \to 0^-$ vale $-c$. I due limiti sono diversi: la derivata direzionale non esiste.
• $\alpha < 1$: l'esponente è $< 1$ e $\frac{|t|^{(\alpha+1)/2}}{t}$ diverge in modulo: non esiste.

Risposta ii): la derivata nella direzione $(v, w)$ con $v, w \ne 0$ esiste (ed è $0$) se e solo se $\alpha > 1$.

iii) Il caso $\alpha = 1$

Per $\alpha = 1$ si ha $f_1(x, y) = \sqrt{|x||y|}$. Se $f_1$ fosse differenziabile in $(0, 0)$, esisterebbero tutte le derivate direzionali, e varrebbero $\nabla f_1(0, 0)\cdot(v, w) = 0$. Ma al punto ii) abbiamo visto che per $\alpha = 1$ la derivata direzionale lungo $(v, w)$ con $v, w \ne 0$ non esiste. Quindi $f_1$ non è differenziabile in $(0, 0)$, pur avendo derivate parziali (nulle).

Controllo diretto con la definizione. Il gradiente è $(0,0)$, quindi la condizione di differenziabilità è $\frac{f_1(x,y)}{\sqrt{x^2+y^2}} \to 0$. Lungo la bisettrice $y = x$: $f_1(x, x) = |x|$ e $\sqrt{x^2 + x^2} = \sqrt2|x|$, cioè il rapporto vale $\frac{1}{\sqrt2} \ne 0$ per ogni $x \ne 0$. Il limite non è $0$: non differenziabile.

Errori comuni. Concludere che $f_1$ è differenziabile perché le due derivate parziali esistono; calcolare la derivata direzionale con il solo limite per $t \to 0^+$ (per la derivata direzionale "bilatera" richiesta dal corso servono entrambi i lati: a destra il limite sarebbe $c$, a sinistra $-c$); dimenticare i valori assoluti in $|t|^{\alpha}$ (la radice di un numero negativo non esiste).