Divergenza, rotore e flusso nel piano

Prerequisiti: Campi vettoriali e lavoro lungo una curvaUn campo vettoriale F = (M, N) associa un vettore a ogni punto. Il lavoro (integrale curvilineo di seconda specie) lungo una curva orientata r(t), t ∈ [a, b], è ∫C F·dr = ∫ab F(r(t))·r'(t) dt = ∫C M dx + N dy, cioè l'integrale della componente tangente di F rispetto alla lunghezza d'arco. Non dipende dalla parametrizzazione ma cambia segno se si inverte il verso; si annulla se F è sempre ortogonale alla curva.Campi vettoriali e lavoro lungo una curva →, Teorema di Green nel pianoSe R è un dominio regolare del piano con bordo ∂R orientato positivamente (R a sinistra) e F = (M, N) è C¹ su R, allora ∮∂R M dx + N dy = ∬R (∂N/∂x − ∂M/∂y) dx dy. Serve per calcolare circuitazioni con un integrale doppio, aree (Area = ½∮ x dy − y dx = ∮ x dy) e per dimostrare che un campo irrotazionale su un dominio semplicemente connesso è conservativo. Con i buchi i bordi interni vanno percorsi in senso orario.Teorema di Green nel piano →, Derivate parziali e derivate direzionaliLa derivata parziale ∂f/∂xi(x0) è la derivata della funzione di una variabile che si ottiene fissando tutte le altre variabili: in pratica si deriva in xi trattando le altre come costanti. Il gradiente ∇f raccoglie le derivate parziali. La derivata direzionale lungo un versore v è il limite di [f(x0 + hv) − f(x0)]/h. In più variabili avere tutte le derivate (anche direzionali) non garantisce la continuità.Derivate parziali e derivate direzionali →.

Divergenza e rotore

Per un campo $\mathbf F=(M(x,y),N(x,y))$ di classe $C^1$ si definiscono due funzioni scalari, ottenute combinando le derivate parziali delle componenti.

Definizione. $$\operatorname{div}\mathbf F=\frac{\partial M}{\partial x}+\frac{\partial N}{\partial y},\qquad \operatorname{rot}\mathbf F=\frac{\partial N}{\partial x}-\frac{\partial M}{\partial y}$$ La seconda è il rotore scalareè la componente lungo l'asse z del rotore del campo tridimensionale (M, N, 0) del campo piano.

Significato. La divergenza misura quanto il campo si "espande" attorno a un punto: positiva se il campo esce (una sorgente), negativa se entra (un pozzo). Il rotore misura quanto il campo tende a far girare un piccolo corpo attorno al punto, con segno positivo se la rotazione è antioraria.

Esempi.

• $\mathbf F=(x,y)$ (campo radiale che esce dall'origine): $\operatorname{div}=1+1=2$, $\operatorname{rot}=0-0=0$.
• $\mathbf F=(-y,x)$ (rotazione antioraria attorno all'origine): $\operatorname{div}=0+0=0$, $\operatorname{rot}=1-(-1)=2$.
• $\mathbf F=\left(\dfrac{x}{x^2+y^2},\dfrac{y}{x^2+y^2}\right)$ per $(x,y)\ne(0,0)$: $M_x=\dfrac{y^2-x^2}{(x^2+y^2)^2}$, $N_y=\dfrac{x^2-y^2}{(x^2+y^2)^2}$, quindi $\operatorname{div}=0$; $M_y=\dfrac{-2xy}{(x^2+y^2)^2}=N_x$, quindi $\operatorname{rot}=0$.

Legame con i campi conservativi. Un campo conservativo $\mathbf F=\nabla f$ ha $\operatorname{rot}\mathbf F=f_{yx}-f_{xy}=0$ per il teorema di Schwarz: è la condizione necessaria di Campi conservativi e funzione potenzialeF è conservativo se F = ∇f per un potenziale f; allora il lavoro lungo una curva da P0 a P1 vale f(P1) − f(P0), quindi non dipende dal cammino ed è nullo su ogni curva chiusa (e viceversa). Condizione necessaria (per F di classe C¹): campo irrotazionale, ∂M/∂y = ∂N/∂x; è anche sufficiente su un dominio semplicemente connesso. Controesempio sul piano bucato: (−y, x)/(x² + y²). Il potenziale si trova integrando M in x e imponendo f_y = N.Campi conservativi e funzione potenziale →. Il campo $(x,y)=\nabla\frac{x^2+y^2}{2}$ lo conferma. La divergenza di un gradiente è invece il laplaciano: $\operatorname{div}\nabla f=f_{xx}+f_{yy}$, che compare nelle funzioni armoniche di Funzioni di variabile complessa e condizioni di Cauchy-RiemannStudio delle funzioni complesse come trasformazioni da C in C, definizione di limite, derivata complessa e funzioni olomorfe. Enunciazione e dimostrazione delle condizioni di Cauchy-Riemann e loro legame con l'equazione di Laplace e le funzioni armoniche.Funzioni di variabile complessa e condizioni di Cauchy-Riemann →.

Flusso attraverso una curva

Il flusso di $\mathbf F$ attraverso una curva misura quanto campo la attraversa. Se $C$ è una curva chiusa semplice, percorsa in senso antiorario, e $\mathbf n$ è la normale uscente di lunghezza $1$, il flusso uscente è l'integrale di linea di prima specie (Curve regolari, lunghezza e integrale curvilineo di prima specieUna curva è una funzione continua γ: [a, b] → Rn; il sostegno è la sua immagine. È regolare se γ è C¹ con γ'(t) ≠ 0 (γ'(t) è il vettore tangente), regolare a tratti se lo è a pezzi. Lunghezza: L = ∫ab ‖γ'(t)‖ dt (circonferenza 2πR, arco di cicloide 8a). Integrale curvilineo di prima specie: ∫γ f ds = ∫ab f(γ(t)) ‖γ'(t)‖ dt, per esempio la massa di un filo; non dipende né dalla parametrizzazione né dall'orientamento.Curve regolari, lunghezza e integrale curvilineo di prima specie →) $$\Phi=\oint_C\mathbf F\cdot\mathbf n\,ds .$$

Come si calcola. Con $\mathbf r(t)=(x(t),y(t))$ antioraria, il vettore tangente è $(x',y')$ e la normale uscente è quella ottenuta ruotando la tangente di $90°$ in senso orario, cioè $\mathbf n=\dfrac{(y',-x')}{\sqrt{x'^2+y'^2}}$. Poiché $ds=\sqrt{x'^2+y'^2}\,dt$, il modulo si semplifica: $$\Phi=\oint_C\mathbf F\cdot\mathbf n\,ds=\int_a^b\big(M\,y'-N\,x'\big)\,dt=\oint_C M\,dy-N\,dx .$$

Esempio. $\mathbf F=(x,y)$ sulla circonferenza di raggio $a$, $x=a\cos t$, $y=a\sin t$, $t\in[0,2\pi]$: $x'=-a\sin t$, $y'=a\cos t$ e $$\Phi=\int_0^{2\pi}\big(a\cos t\cdot a\cos t-a\sin t\cdot(-a\sin t)\big)\,dt=\int_0^{2\pi}a^2\,dt=2\pi a^2 .$$ Si vede anche senza calcoli: sulla circonferenza $\mathbf F\cdot\mathbf n=a$ è costante, e $a$ per la lunghezza $2\pi a$ dà $2\pi a^2$.

Teorema della divergenza nel piano

Il teorema di Green ha due forme: la forma tangenziale (circuitazione e rotore) già vista, e la forma normale (flusso e divergenza).

Teorema (della divergenza nel piano). Sia $R$ un dominio regolare con bordo $\partial R$ orientato positivamente (antiorario, buchi in senso orario) e $\mathbf F=(M,N)$ di classe $C^1$ su $R$. Allora $$\oint_{\partial R}\mathbf F\cdot\mathbf n\,ds=\iint_R\operatorname{div}\mathbf F\,dx\,dy .$$

Perché. Il flusso è $\oint M\,dy-N\,dx$. Si applica il Teorema di Green nel pianoSe R è un dominio regolare del piano con bordo ∂R orientato positivamente (R a sinistra) e F = (M, N) è C¹ su R, allora ∮∂R M dx + N dy = ∬R (∂N/∂x − ∂M/∂y) dx dy. Serve per calcolare circuitazioni con un integrale doppio, aree (Area = ½∮ x dy − y dx = ∮ x dy) e per dimostrare che un campo irrotazionale su un dominio semplicemente connesso è conservativo. Con i buchi i bordi interni vanno percorsi in senso orario.Teorema di Green nel piano → al campo $(P,Q)=(-N,M)$: $\oint P\,dx+Q\,dy=\iint(Q_x-P_y)\,dx\,dy$, e $Q_x-P_y=M_x+N_y=\operatorname{div}\mathbf F$.

Esempio (verifica). Per $\mathbf F=(x,y)$ sul disco di raggio $a$: $\iint\operatorname{div}\mathbf F\,dx\,dy=2\cdot\pi a^2=2\pi a^2$, uguale al flusso calcolato sopra.

Esempio (campo con singolarità). $\mathbf F=\dfrac{(x,y)}{x^2+y^2}$ ha $\operatorname{div}=0$ per $(x,y)\neq(0,0)$. Sulla circonferenza di raggio $r$: $\mathbf F\cdot\mathbf n=\frac{r}{r^2}=\frac1r$, quindi $\Phi=\frac1r\cdot2\pi r=2\pi$, non $0$. Il teorema della divergenza non si applica al disco perché $\mathbf F$ non è definito nell'origine: la sorgente puntuale concentrata nell'origine produce flusso $2\pi$ qualunque sia $r$. Su una corona circolare (origine esclusa) la divergenza è nulla, quindi il flusso uscente dalla circonferenza esterna è uguale a quello della circonferenza interna: lo stesso ragionamento delle circuitazioni di $\frac{(-y,x)}{x^2+y^2}$.

Errori comuni

• Scambiare le due forme. La circuitazione (lavoro, $\mathbf F\cdot\mathbf T$) si lega al rotore $N_x-M_y$; il flusso ($\mathbf F\cdot\mathbf n$) si lega alla divergenza $M_x+N_y$. Nel rotore c'è una differenza, nella divergenza una somma.
• Normale sbagliata. Nel flusso uscente la normale è $(y',-x')$ (curva antioraria), non $(-y',x')$, che punta verso l'interno e cambia il segno del risultato.
• Dimenticare le singolarità. Se il campo non è $C^1$ in un punto interno al dominio (come l'origine nell'esempio), non basta dire $\operatorname{div}=0$.