Esercizio - zeri, poli e indicatore logaritmico

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1. Scomporre numeratore e denominatore

Numeratore. $z^2 - 2z + 5 = 0$ ha $\Delta = 4 - 20 = -16$, quindi $z = \frac{2 \pm 4i}{2} = 1 \pm 2i$: $$z^2 - 2z + 5 = \bigl(z - (1 + 2i)\bigr)\bigl(z - (1 - 2i)\bigr).$$

Denominatore. Si raccoglie $z^2$: $$z^4 - 2iz^3 - (1 + 2i)z^2 = z^2\left(z^2 - 2iz - (1 + 2i)\right).$$ Il fattore di secondo grado ha discriminante $\Delta = (-2i)^2 + 4(1 + 2i) = -4 + 4 + 8i = 8i$. La radice di $8i$: poiché $(2 + 2i)^2 = 4 + 8i - 4 = 8i$, si ha $\sqrt{8i} = 2 + 2i$. Quindi $$z = \frac{2i \pm (2 + 2i)}{2} = \begin{cases}\dfrac{2 + 4i}{2} = 1 + 2i,\\[2mm]\dfrac{-2}{2} = -1.\end{cases}$$ Il fattore è $\bigl(z - (1 + 2i)\bigr)(z + 1)$ (verifica: somma delle radici $= 1 + 2i - 1 = 2i$ ✓ e prodotto $= -(1 + 2i)$ ✓, coerenti con $z^2 - 2iz - (1 + 2i)$).

2. Semplificare prima di classificare

$$f(z) = \frac{\bigl(z - (1 + 2i)\bigr)\bigl(z - (1 - 2i)\bigr)}{z^2\,\bigl(z - (1 + 2i)\bigr)(z + 1)} = \frac{z - 1 + 2i}{z^2\,(z + 1)}.$$ Il fattore $z - (1 + 2i)$ compare sia al numeratore sia al denominatore: in $z = 1 + 2i$ la singolarità è eliminabile (non è né uno zero né un polo di $f$). Dopo la semplificazione:

• Zero: $z = 1 - 2i$, semplice (ordine $1$).
• Poli: $z = 0$ di ordine $2$ e $z = -1$ di ordine $1$ (semplice).

3. L'integrale con il teorema dell'indicatore logaritmico

Per la teoria, $$\frac{1}{2\pi i}\oint_\gamma\frac{f'}{f}\,dz = N - P$$ con $N$ numero degli zeri e $P$ numero dei poli dentro $\gamma$, contati con la molteplicità. La curva è $|z| = 3$ e si controlla quali punti sono interni:

• $|1 - 2i| = \sqrt{1 + 4} = \sqrt5\approx2{,}24 < 3$: interno;
• $|0| = 0 < 3$ e $|-1| = 1 < 3$: interni.

Nessun punto è sulla curva. Quindi $N = 1$ (lo zero semplice $1 - 2i$) e $P = 2 + 1 = 3$ (il polo doppio $0$ conta $2$, il polo semplice $-1$ conta $1$): $$\int_\gamma\frac{f'}{f}\,dz = 2\pi i\,(1 - 3) = -4\pi i.$$

Controllo. Per $|z|$ grande $f(z)\sim\frac{z}{z^3} = \frac{1}{z^2}$, quindi $\frac{f'}{f}\sim-\frac{2}{z}$ e $\oint_{|z|=R}\frac{f'}{f}\,dz\to-2\cdot2\pi i = -4\pi i$ per $R$ abbastanza grande da contenere tutte le singolarità: lo stesso risultato ✓.

La trappola. Senza semplificare, $1 + 2i$ (modulo $\sqrt5 < 3$, interno) appare come zero del numeratore e come zero del denominatore. Contandoli entrambi si ottiene $N = 2$ (zeri $1 \pm 2i$) e $P = 4$ (poli $0$ doppio, $-1$, $1 + 2i$), cioè ancora $N - P = -2$: i contributi $+1$ e $-1$ dello stesso punto si compensano. L'errore nasce se se ne conta uno solo, per esempio il polo senza lo zero ($N - P = 1 - 4 = -3$), o se si dice che $1 + 2i$ è un polo di $f$.

Errori comuni. Contare $1 + 2i$ come polo (è eliminabile); contare il polo doppio $z = 0$ una sola volta; dimenticare che il verso antiorario dà il segno positivo $2\pi i\,(N - P)$.