Esercizio - volume di un cono privato di una palla

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1. Capire la forma di $E$

• $C$ è un cono con il vertice nell'origine e l'asse lungo l'asse $y$ (la variabile "che sale" è $y$, non $z$): la sezione a quota $y$ è il disco $x^2 + z^2 \le y^2$ di raggio $y$ (per $0 \le y \le 1$). È il cono di semiapertura $45°$, tagliato dal piano $y = 1$.
• $D$ è l'esterno di una palla: la palla $x^2 + (y-2)^2 + z^2 \le 2$ ha centro $(0, 2, 0)$ e raggio $\sqrt2$. Sull'asse $y$ occupa $y \in [2 - \sqrt2,\ 2 + \sqrt2]\approx[0{,}59;\ 3{,}41]$.
• $E$ è il cono a cui è stata tolta la parte che cade dentro la palla: una specie di "gelato" con una cavità sferica sulla parte alta (la palla morde il cono dall'alto, dalla parte della base $y = 1$).

Come la palla taglia il cono. Alla quota $y$, la sezione della palla è il disco $x^2 + z^2 \le r_b(y)^2$ con $$r_b(y)^2 = 2 - (y - 2)^2 = -y^2 + 4y - 2,$$ che esiste (è $\ge0$) solo per $y \ge 2 - \sqrt2$ (zona in cui $-y^2 + 4y - 2 \ge 0$). Il raggio della sezione del cono è $y$. Si confrontano i quadrati: $$y^2 - r_b(y)^2 = y^2 + y^2 - 4y + 2 = 2y^2 - 4y + 2 = 2(y - 1)^2 \ge 0.$$ Quindi il disco della palla sta sempre dentro il disco del cono, e i due bordi si toccano solo in $y = 1$: la sfera è tangente al cono lungo la circonferenza $y = 1$, $x^2 + z^2 = 1$.

2. Il volume per strati

Si integra per strati perpendicolari all'asse $y$ (Integrali tripli e coordinate cilindriche e sfericheL'integrale triplo ∭R f dV si calcola per fili (prima in z tra due superfici z = φ1(x, y) e z = φ2(x, y), poi un integrale doppio sull'ombra D del solido) o per strati (prima un integrale doppio sulla sezione Rz, poi in z). Volume = ∭R 1 dV. Coordinate cilindriche: dV = r dr dθ dz (simmetria attorno all'asse z); sferiche x = ρ sin φ cos θ, y = ρ sin φ sin θ, z = ρ cos φ: dV = ρ² sin φ dρ dφ dθ (sfere, coni con vertice nell'origine).Integrali tripli e coordinate cilindriche e sferiche →): la sezione di $E$ a quota $y$ è

• per $0 \le y \le 2 - \sqrt2$: il disco di raggio $y$ (la palla non c'è ancora), di area $\pi y^2$;
• per $2 - \sqrt2 \le y \le 1$: la corona circolare tra i raggi $r_b(y)$ e $y$, di area $\pi y^2 - \pi r_b(y)^2 = \pi\left[y^2 - (-y^2 + 4y - 2)\right]$.

Il volume è l'integrale dell'area della sezione. Scritto come cono intero meno la parte di palla dentro il cono: $$|E| = \int_0^1\pi y^2\,dy - \int_{2-\sqrt2}^{1}\pi\left(-y^2 + 4y - 2\right)dy.$$ (Il primo integrale è il volume del cono pieno, il secondo il volume della palla compresa tra $y = 2 - \sqrt2$ e $y = 1$: la calotta sferica che sta dentro il cono.)

3. Il calcolo

Il primo termine: $\pi\int_0^1y^2\,dy = \frac\pi3$.

Il secondo: una primitiva di $-y^2 + 4y - 2$ è $F(y) = -\frac{y^3}{3} + 2y^2 - 2y$. Si calcola in $y = 1$ e in $a = 2 - \sqrt2$:

• $F(1) = -\frac13 + 2 - 2 = -\frac13$.
• Per $a$: $a^2 = (2 - \sqrt2)^2 = 4 - 4\sqrt2 + 2 = 6 - 4\sqrt2$ e $a^3 = a\cdot a^2 = (2 - \sqrt2)(6 - 4\sqrt2) = 12 - 8\sqrt2 - 6\sqrt2 + 8 = 20 - 14\sqrt2$. Quindi $$F(a) = -\frac{20 - 14\sqrt2}{3} + 2(6 - 4\sqrt2) - 2(2 - \sqrt2) = \frac{-20 + 14\sqrt2}{3} + 8 - 6\sqrt2 = \frac{-20 + 14\sqrt2 + 24 - 18\sqrt2}{3} = \frac{4 - 4\sqrt2}{3}.$$
• $F(1) - F(a) = -\frac13 - \frac{4 - 4\sqrt2}{3} = \frac{4\sqrt2 - 5}{3}\approx0{,}219$.

Il volume: $$|E| = \frac\pi3 - \pi\cdot\frac{4\sqrt2 - 5}{3} = \frac{\pi\,(6 - 4\sqrt2)}{3} = \frac{2\pi}{3}\left(3 - 2\sqrt2\right) = \frac{2\pi}{3}\left(\sqrt2 - 1\right)^2\approx0{,}359.$$ (Si è usato $3 - 2\sqrt2 = (\sqrt2 - 1)^2$.)

Controlli. Il cono pieno ha volume $\frac\pi3\approx1{,}047$: il risultato $0{,}359$ è minore, come deve, perché è stata tolta una parte. Un controllo con il metodo di Monte Carlo (punti a caso nel parallelepipedo $[-1,1]\times[0,1]\times[-1,1]$ e conteggio di quelli dentro $E$) dà $0{,}359$.

In coordinate cilindriche attorno all'asse $y$. Si pone $x = \rho\cos\theta$, $z = \rho\sin\theta$ ($\rho \ge 0$): l'elemento di volume è $\rho\,d\rho\,d\theta\,dy$ e $E$ è $\{\rho_b(y) \le \rho \le y\}$ con $\rho_b = r_b$ dove esiste e $0$ altrimenti. Si ritrova lo stesso integrale: $\int_0^1 \int_0^{2\pi}\int_{\rho_b}^{y}\rho\,d\rho\,d\theta\,dy = \int_0^12\pi\frac{y^2 - \rho_b^2}{2}\,dy$.

Errori comuni. Prendere $z$ come asse del cono (l'asse è $y$ perché la disuguaglianza è $x^2 + z^2 \le y^2$); non accorgersi che la palla non parte da $y = 0$ ma da $y = 2 - \sqrt2$; confondere il volume dell'insieme $D$ (infinito) con quello della palla.