Integrali dipendenti da parametri

Prerequisiti: Integrali doppi e teorema di FubiniL'integrale doppio di f su un rettangolo si definisce con somme inferiori e superiori su partizioni in rettangolini (per f ≥ 0 è il volume sotto il grafico); su un dominio limitato D si estende f con 0 fuori da D. Area(D) = ∬D 1. Per f continua su un dominio y-semplice {a ≤ x ≤ b, g1(x) ≤ y ≤ g2(x)} vale Fubini: ∬D f = ∫ab (∫g1(x)g2(x) f dy) dx, e simmetricamente per i domini x-semplici; scambiare l'ordine può rendere calcolabile l'integrale.Integrali doppi e teorema di Fubini →, Derivate parziali e derivate direzionaliLa derivata parziale ∂f/∂xi(x0) è la derivata della funzione di una variabile che si ottiene fissando tutte le altre variabili: in pratica si deriva in xi trattando le altre come costanti. Il gradiente ∇f raccoglie le derivate parziali. La derivata direzionale lungo un versore v è il limite di [f(x0 + hv) − f(x0)]/h. In più variabili avere tutte le derivate (anche direzionali) non garantisce la continuità.Derivate parziali e derivate direzionali →, Convergenza puntuale e uniforme di successioni e serie di funzioniLa convergenza puntuale valuta il limite per ogni x fissato, mentre la convergenza uniforme controlla l'errore massimo su tutto l'insieme tramite la norma del sup. La convergenza uniforme preserva la continuità e consente lo scambio con integrale e derivata; per le serie di funzioni, il criterio M di Weierstrass ne garantisce la convergenza totale e uniforme.Convergenza puntuale e uniforme di successioni e serie di funzioni →.

Si chiamano integrali dipendenti da parametri le funzioni $$F(y)=\int_a^bf(x,y)\,dx,$$ dove $f$ è una funzione di due variabili: si integra in $x$ tenendo $y$ fisso, e il risultato è una funzione di $y$. Due domande naturali: $F$ è continua? $F$ è derivabile, e come si calcola $F'$? La risposta permette di scambiare "limite", "derivata" e "integrale", come per le serie di funzioni.

Continuità

Teorema. Se $f$ è continua sul rettangolo chiuso $[a,b]\times[c,d]$, allora $F(y)=\int_a^bf(x,y)\,dx$ è continua su $[c,d]$. In particolare, per ogni $y_0\in[c,d]$, $$\lim_{y\to y_0}\int_a^bf(x,y)\,dx=\int_a^b\lim_{y\to y_0}f(x,y)\,dx=\int_a^bf(x,y_0)\,dx.$$

Perché. Un rettangolo chiuso è compatto, quindi $f$ è uniformemente continua: per ogni $\varepsilon>0$ esiste $\delta$ tale che $|f(x,y)-f(x,y_0)|<\varepsilon$ per ogni $x\in[a,b]$ non appena $|y-y_0|<\delta$ (lo stesso $\delta$ per tutti gli $x$: è qui che serve la compattezza, ed è lo stesso fenomeno della convergenza uniforme). Allora $|F(y)-F(y_0)|\le\int_a^b|f(x,y)-f(x,y_0)|\,dx\le\varepsilon(b-a)$.

Esempio. $\displaystyle\lim_{y\to0}\int_0^1\frac{dx}{1+x^2+y\sin x}$: l'integranda è continua su $[0,1]\times[-\frac12,\frac12]$ (il denominatore è $\ge\frac12>0$), quindi il limite si porta dentro: $\int_0^1\frac{dx}{1+x^2}=\arctan1=\frac\pi4$.

Senza uniformità il teorema può essere falso. Con $f_n(x)=2nx\,e^{-nx^2}$ su $[0,1]$ (parametro $n=1,2,\dots$ al posto di $y$) si ha $f_n(x)\to0$ per ogni $x$, ma $\int_0^1f_n\,dx=\left[-e^{-nx^2}\right]_0^1=1-e^{-n}\to1\ne0=\int_0^1\lim f_n$. Qui $f_n$ non è uniformemente convergente (il picco si sposta verso $0$ e diventa sempre più stretto).

Derivazione sotto il segno di integrale

Teorema (regola di Leibniz). Se $f$ e $\dfrac{\partial f}{\partial y}$ sono continue su $[a,b]\times[c,d]$, allora $F$ è derivabile (anzi $C^1$) su $[c,d]$ e $$F'(y)=\int_a^b\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)\,dx.$$

In parole: la derivata dell'integrale è l'integrale della derivata. Idea: $\frac{F(y+h)-F(y)}{h}=\int_a^b\frac{f(x,y+h)-f(x,y)}{h}dx$; per il teorema del valor medio il rapporto incrementale dell'integranda è $f_y(x,\xi)$ con $\xi$ tra $y$ e $y+h$, che per continuità uniforme di $f_y$ è vicino a $f_y(x,y)$, uniformemente in $x$.

Estremi che dipendono da $y$. Se $G(y)=\int_{\alpha(y)}^{\beta(y)}f(x,y)\,dx$, con $\alpha,\beta$ derivabili, allora $$G'(y)=f\bigl(\beta(y),y\bigr)\,\beta'(y)-f\bigl(\alpha(y),y\bigr)\,\alpha'(y)+\int_{\alpha(y)}^{\beta(y)}\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)\,dx.$$ (Si ottiene scrivendo $G(y)=H(\alpha(y),\beta(y),y)$ con $H(u,v,y)=\int_u^vf(x,y)\,dx$ e applicando la regola della catena: $\partial_vH=f(v,y)$ per il teorema fondamentale del calcolo, $\partial_uH=-f(u,y)$, $\partial_yH=\int_u^vf_y\,dx$.)

Esempi svolti

Esempio 1: un integrale senza primitiva elementare. Calcolare, per $y>0$, $$F(y)=\int_0^1\frac{x^y-1}{\ln x}\,dx.$$ L'integranda $g(x,y)=\frac{x^y-1}{\ln x}$ non ha una primitiva elementare in $x$, ma la sua derivata rispetto a $y$ sì. Si controllano le ipotesi: per $x\to1$, $\frac{x^y-1}{\ln x}\to y$ (limite notevole $\frac{e^{s}-1}{s}\to1$ con $s=y\ln x$), per $x\to0^+$ tende a $0$ (perché $x^y\to0$ e $\ln x\to-\infty$): estesa con questi valori, $g$ è continua su $[0,1]\times[\varepsilon,Y]$ per ogni $0<\varepsilon<Y$.

1. Derivata sotto il segno. $\frac{\partial g}{\partial y}=\frac{x^y\ln x}{\ln x}=x^y$ (derivata di $x^y=e^{y\ln x}$ rispetto a $y$), continua su $[0,1]\times[\varepsilon,Y]$. Quindi $$F'(y)=\int_0^1x^y\,dx=\left[\frac{x^{y+1}}{y+1}\right]_0^1=\frac1{y+1}.$$
2. Integrazione in $y$. $F(y)=\ln(1+y)+c$.
3. La costante. $g(x,0)=0$ per ogni $x$, quindi $F(0)=0$; e $F$ è continua in $0$ (continuità di $g$ su $[0,1]\times[0,Y]$ e teorema di continuità), dunque $c=F(0)-\ln1=0$: $$\int_0^1\frac{x^y-1}{\ln x}\,dx=\ln(1+y).$$ Controllo numerico: per $y=2$ l'integrale vale $1{,}0986=\ln3$ ✓.

Esempio 2: estremi variabili. $G(y)=\displaystyle\int_y^{y^2}\frac{\sin(xy)}{x}\,dx$ per $y>0$ ($x$ varia in un intervallo che non contiene $0$). Qui $\alpha(y)=y$, $\beta(y)=y^2$, $f(x,y)=\frac{\sin(xy)}{x}$ e $f_y=\frac{x\cos(xy)}{x}=\cos(xy)$. La formula: $$G'(y)=\frac{\sin(y^2\cdot y)}{y^2}\cdot2y-\frac{\sin(y\cdot y)}{y}\cdot1+\int_y^{y^2}\cos(xy)\,dx.$$ L'ultimo integrale: $\left[\frac{\sin(xy)}{y}\right]_{x=y}^{x=y^2}=\frac{\sin(y^3)-\sin(y^2)}{y}$. Sommando: $$G'(y)=\frac{2\sin(y^3)}{y}-\frac{\sin(y^2)}{y}+\frac{\sin(y^3)-\sin(y^2)}{y}=\frac{3\sin(y^3)-2\sin(y^2)}{y}.$$ Controllo numerico in $y=1{,}3$: derivata numerica di $G$ $=0{,}3423$; formula $=0{,}3423$ ✓.

Esempio 3: il segno della derivata senza calcolare l'integrale. Se $F(y)=\int_0^1e^{-yx^2}dx$ ($f=e^{-yx^2}$ è $C^1$ su ogni rettangolo), $F'(y)=-\int_0^1x^2e^{-yx^2}dx<0$: $F$ è decrescente, senza dover calcolare l'integrale (che non ha primitiva elementare).

Errori comuni

• Derivare solo l'integranda senza controllare le ipotesi ($f_y$ continua sul rettangolo chiuso, estremi di integrazione finiti): se l'integranda è discontinua in un punto del rettangolo il teorema può cadere.
• Dimenticare i termini di bordo quando gli estremi dipendono da $y$ ($f(\beta,y)\beta'-f(\alpha,y)\alpha'$).
• Derivare rispetto alla variabile sbagliata: si deriva rispetto al parametro $y$, non rispetto alla variabile di integrazione $x$.
• Scambiare limite e integrale "a occhio": l'esempio $2nxe^{-nx^2}$ mostra che serve almeno la continuità di $f$ sul rettangolo compatto (uniformità).