Esercizi svolti in aula (videolezioni di Analisi, Ingegneria, Sapienza). Il metodo di somiglianza è in Equazioni lineari a coefficienti costanti - equazione completaPer y'' + a1 y' + a0 y = b(t) a coefficienti costanti l'integrale generale è y0 + yp: y0 dal polinomio caratteristico, yp con il metodo di somiglianza quando b(t) = Qm(t) e^(αt) cos(ωt) (o sin). Si pone λ̄ = α + iω: se p(λ̄) ≠ 0, yp = e^(αt)[Pm(t) cos ωt + Rm(t) sin ωt] con polinomi di grado m da determinare; se λ̄ è radice semplice si moltiplica per t, se è doppia per t² (risonanza). Se b = b1 + b2 si sommano le soluzioni particolari (principio di sovrapposizione).Equazioni lineari a coefficienti costanti - equazione completa → ; quando il termine noto non è del tipo giusto si usa il Metodo di variazione delle costantiPer y'' + a(t)y' + b(t)y = f(t), note due soluzioni indipendenti y1, y2 dell'omogenea, una soluzione particolare è yp = c1(t)y1 + c2(t)y2 con c1'y1 + c2'y2 = 0 e c1'y1' + c2'y2' = f. Con Cramer: c1' = −y2 f/W, c2' = y1 f/W, dove W = y1y2' − y2y1' è il wronskiano. Funziona per ogni termine noto continuo (anche 1/sin t, e^(3t)/t), dove il metodo di somiglianza non si applica.Metodo di variazione delle costanti → .
Schema: integrale generale y = y o m + y p y = y_{om} + y_p y = y o m + y p y o m y_{om} y o m y p y_p y p t k t^k t k k k k
Esercizio 1
Testo. y ′ ′ − y = t 2 + 1 y'' - y = t^2 + 1 y ′′ − y = t 2 + 1
Omogenea: λ 2 − 1 = 0 \lambda^2 - 1 = 0 λ 2 − 1 = 0 λ = ± 1 \lambda = \pm 1 λ = ± 1 y o m = C 1 e t + C 2 e − t y_{om} = C_1e^t + C_2e^{-t} y o m = C 1 e t + C 2 e − t Forma di y p y_p y p il termine noto è un polinomio di grado 2 2 2 e 0 ⋅ t ⋅ e^{0\cdot t}\cdot e 0 ⋅ t ⋅ 0 0 0 y p = a t 2 + b t + c y_p = at^2 + bt + c y p = a t 2 + b t + c Sostituzione: y p ′ ′ = 2 a y_p'' = 2a y p ′′ = 2 a 2 a − ( a t 2 + b t + c ) = t 2 + 1 2a - (at^2 + bt + c) = t^2 + 1 2 a − ( a t 2 + b t + c ) = t 2 + 1 − a = 1 -a = 1 − a = 1 − b = 0 -b = 0 − b = 0 2 a − c = 1 2a - c = 1 2 a − c = 1 a = − 1 a = -1 a = − 1 b = 0 b = 0 b = 0 c = − 3 c = -3 c = − 3 Integrale generale: y = C 1 e t + C 2 e − t − t 2 − 3 y = C_1e^t + C_2e^{-t} - t^2 - 3 y = C 1 e t + C 2 e − t − t 2 − 3
Esercizio 2 (risonanza con lo zero)
Testo. y ′ ′ + 2 y ′ = t y'' + 2y' = t y ′′ + 2 y ′ = t
Omogenea: λ 2 + 2 λ = λ ( λ + 2 ) \lambda^2 + 2\lambda = \lambda(\lambda + 2) λ 2 + 2 λ = λ ( λ + 2 ) 0 0 0 − 2 -2 − 2 y o m = C 1 + C 2 e − 2 t y_{om} = C_1 + C_2e^{-2t} y o m = C 1 + C 2 e − 2 t Forma di y p y_p y p il termine noto è un polinomio di grado 1 1 1 0 0 0 t t t y p = t ( a t + b ) = a t 2 + b t y_p = t(at + b) = at^2 + bt y p = t ( a t + b ) = a t 2 + b t a t + b at + b a t + b b b b t t t Sostituzione: y p ′ = 2 a t + b y_p' = 2at + b y p ′ = 2 a t + b y p ′ ′ = 2 a y_p'' = 2a y p ′′ = 2 a 2 a + 2 ( 2 a t + b ) = 4 a t + ( 2 a + 2 b ) = t 2a + 2(2at + b) = 4at + (2a + 2b) = t 2 a + 2 ( 2 a t + b ) = 4 a t + ( 2 a + 2 b ) = t a = 1 4 a = \frac14 a = 4 1 b = − 1 4 b = -\frac14 b = − 4 1 Integrale generale: y = C 1 + C 2 e − 2 t + t 2 4 − t 4 y = C_1 + C_2e^{-2t} + \frac{t^2}{4} - \frac t4 y = C 1 + C 2 e − 2 t + 4 t 2 − 4 t
Esercizio 3 (termine noto trigonometrico)
Testo. y ′ ′ + 2 y ′ − y = 2 cos ( 3 t ) y'' + 2y' - y = 2\cos(3t) y ′′ + 2 y ′ − y = 2 cos ( 3 t )
Omogenea: λ 2 + 2 λ − 1 = 0 \lambda^2 + 2\lambda - 1 = 0 λ 2 + 2 λ − 1 = 0 λ = − 1 ± 2 \lambda = -1 \pm \sqrt2 λ = − 1 ± 2 y o m = C 1 e ( − 1 + 2 ) t + C 2 e ( − 1 − 2 ) t y_{om} = C_1e^{(-1+\sqrt2)t} + C_2e^{(-1-\sqrt2)t} y o m = C 1 e ( − 1 + 2 ) t + C 2 e ( − 1 − 2 ) t
Forma di y p y_p y p ± 3 i \pm 3i ± 3 i sia il coseno sia il seno: y p = A cos 3 t + B sin 3 t y_p = A\cos3t + B\sin3t y p = A cos 3 t + B sin 3 t
Sostituzione: y p ′ = − 3 A sin 3 t + 3 B cos 3 t y_p' = -3A\sin3t + 3B\cos3t y p ′ = − 3 A sin 3 t + 3 B cos 3 t y p ′ ′ = − 9 A cos 3 t − 9 B sin 3 t y_p'' = -9A\cos3t - 9B\sin3t y p ′′ = − 9 A cos 3 t − 9 B sin 3 t
coefficiente di cos 3 t \cos3t cos 3 t − 9 A + 6 B − A = − 10 A + 6 B = 2 -9A + 6B - A = -10A + 6B = 2 − 9 A + 6 B − A = − 10 A + 6 B = 2
coefficiente di sin 3 t \sin3t sin 3 t − 9 B − 6 A − B = − 6 A − 10 B = 0 -9B - 6A - B = -6A - 10B = 0 − 9 B − 6 A − B = − 6 A − 10 B = 0 B = − 3 5 A B = -\frac35A B = − 5 3 A
Sostituendo: − 10 A − 18 5 A = − 68 5 A = 2 -10A - \frac{18}{5}A = -\frac{68}{5}A = 2 − 10 A − 5 18 A = − 5 68 A = 2 A = − 5 34 A = -\frac{5}{34} A = − 34 5 B = 3 34 B = \frac{3}{34} B = 34 3
Integrale generale: y = y o m − 5 34 cos 3 t + 3 34 sin 3 t y = y_{om} - \frac{5}{34}\cos3t + \frac{3}{34}\sin3t y = y o m − 34 5 cos 3 t + 34 3 sin 3 t
Esercizio 4 (polinomio per esponenziale)
Testo. y ′ ′ + 2 y ′ + 2 y = t e t y'' + 2y' + 2y = te^t y ′′ + 2 y ′ + 2 y = t e t
Omogenea: λ 2 + 2 λ + 2 = 0 \lambda^2 + 2\lambda + 2 = 0 λ 2 + 2 λ + 2 = 0 λ = − 1 ± i \lambda = -1 \pm i λ = − 1 ± i y o m = e − t ( C 1 cos t + C 2 sin t ) y_{om} = e^{-t}(C_1\cos t + C_2\sin t) y o m = e − t ( C 1 cos t + C 2 sin t ) Forma di y p y_p y p 1 1 1 y p = e t ( a t + b ) y_p = e^t(at + b) y p = e t ( a t + b ) Sostituzione: y p ′ = e t ( a t + a + b ) y_p' = e^t(at + a + b) y p ′ = e t ( a t + a + b ) y p ′ ′ = e t ( a t + 2 a + b ) y_p'' = e^t(at + 2a + b) y p ′′ = e t ( a t + 2 a + b ) e t [ ( a t + 2 a + b ) + 2 ( a t + a + b ) + 2 ( a t + b ) ] = e t [ 5 a t + 4 a + 5 b ] = t e t e^t\left[(at + 2a + b) + 2(at + a + b) + 2(at + b)\right] = e^t\left[5at + 4a + 5b\right] = te^t e t [ ( a t + 2 a + b ) + 2 ( a t + a + b ) + 2 ( a t + b ) ] = e t [ 5 a t + 4 a + 5 b ] = t e t 5 a = 1 5a = 1 5 a = 1 4 a + 5 b = 0 4a + 5b = 0 4 a + 5 b = 0 a = 1 5 a = \frac15 a = 5 1 b = − 4 25 b = -\frac{4}{25} b = − 25 4 Integrale generale: y = e − t ( C 1 cos t + C 2 sin t ) + e t ( t 5 − 4 25 ) y = e^{-t}(C_1\cos t + C_2\sin t) + e^t\left(\frac t5 - \frac{4}{25}\right) y = e − t ( C 1 cos t + C 2 sin t ) + e t ( 5 t − 25 4 )
Esercizio 5 (oscillatore armonico)
Testo. y ′ ′ + Ω 2 y = 0 y'' + \Omega^2y = 0 y ′′ + Ω 2 y = 0 Ω > 0 \Omega > 0 Ω > 0 y ( 0 ) = 0 y(0) = 0 y ( 0 ) = 0 y ′ ( 0 ) = 1 y'(0) = 1 y ′ ( 0 ) = 1
λ 2 + Ω 2 = 0 \lambda^2 + \Omega^2 = 0 λ 2 + Ω 2 = 0 λ = ± i Ω \lambda = \pm i\Omega λ = ± i Ω y = C 1 cos ( Ω t ) + C 2 sin ( Ω t ) y = C_1\cos(\Omega t) + C_2\sin(\Omega t) y = C 1 cos ( Ω t ) + C 2 sin ( Ω t ) y ( 0 ) = C 1 = 0 y(0) = C_1 = 0 y ( 0 ) = C 1 = 0 y ′ ( t ) = Ω C 2 cos ( Ω t ) y'(t) = \Omega C_2\cos(\Omega t) y ′ ( t ) = Ω C 2 cos ( Ω t ) y ′ ( 0 ) = Ω C 2 = 1 y'(0) = \Omega C_2 = 1 y ′ ( 0 ) = Ω C 2 = 1 C 2 = 1 Ω C_2 = \frac{1}{\Omega} C 2 = Ω 1 Soluzione: y ( t ) = 1 Ω sin ( Ω t ) y(t) = \frac{1}{\Omega}\sin(\Omega t) y ( t ) = Ω 1 sin ( Ω t ) Ω \Omega Ω 1 Ω \frac1\Omega Ω 1
Versione ripasso
Somiglianza: Equazioni lineari a coefficienti costanti - equazione completaPer y'' + a1 y' + a0 y = b(t) a coefficienti costanti l'integrale generale è y0 + yp: y0 dal polinomio caratteristico, yp con il metodo di somiglianza quando b(t) = Qm(t) e^(αt) cos(ωt) (o sin). Si pone λ̄ = α + iω: se p(λ̄) ≠ 0, yp = e^(αt)[Pm(t) cos ωt + Rm(t) sin ωt] con polinomi di grado m da determinare; se λ̄ è radice semplice si moltiplica per t, se è doppia per t² (risonanza). Se b = b1 + b2 si sommano le soluzioni particolari (principio di sovrapposizione).Equazioni lineari a coefficienti costanti - equazione completa → ; altrimenti Metodo di variazione delle costantiPer y'' + a(t)y' + b(t)y = f(t), note due soluzioni indipendenti y1, y2 dell'omogenea, una soluzione particolare è yp = c1(t)y1 + c2(t)y2 con c1'y1 + c2'y2 = 0 e c1'y1' + c2'y2' = f. Con Cramer: c1' = −y2 f/W, c2' = y1 f/W, dove W = y1y2' − y2y1' è il wronskiano. Funziona per ogni termine noto continuo (anche 1/sin t, e^(3t)/t), dove il metodo di somiglianza non si applica.Metodo di variazione delle costanti → . y = y o m + y p y = y_{om} + y_p y = y o m + y p y p y_p y p t k t^k t k k k k
Esercizio 1
Testo. y ′ ′ − y = t 2 + 1 y'' - y = t^2 + 1 y ′′ − y = t 2 + 1 λ = ± 1 \lambda = \pm1 λ = ± 1 y p = a t 2 + b t + c y_p = at^2 + bt + c y p = a t 2 + b t + c a = − 1 a = -1 a = − 1 b = 0 b = 0 b = 0 c = − 3 c = -3 c = − 3 y = C 1 e t + C 2 e − t − t 2 − 3 y = C_1e^t + C_2e^{-t} - t^2 - 3 y = C 1 e t + C 2 e − t − t 2 − 3
Esercizio 2 (risonanza con lo zero)
Testo. y ′ ′ + 2 y ′ = t y'' + 2y' = t y ′′ + 2 y ′ = t λ = 0 , − 2 \lambda = 0, -2 λ = 0 , − 2 y p = a t 2 + b t y_p = at^2 + bt y p = a t 2 + b t 4 a t + 2 a + 2 b = t 4at + 2a + 2b = t 4 a t + 2 a + 2 b = t a = 1 4 a = \frac14 a = 4 1 b = − 1 4 b = -\frac14 b = − 4 1 y = C 1 + C 2 e − 2 t + t 2 4 − t 4 y = C_1 + C_2e^{-2t} + \frac{t^2}4 - \frac t4 y = C 1 + C 2 e − 2 t + 4 t 2 − 4 t
Esercizio 3 (termine noto trigonometrico)
Testo. y ′ ′ + 2 y ′ − y = 2 cos ( 3 t ) y'' + 2y' - y = 2\cos(3t) y ′′ + 2 y ′ − y = 2 cos ( 3 t ) λ = − 1 ± 2 \lambda = -1 \pm \sqrt2 λ = − 1 ± 2 y p = A cos 3 t + B sin 3 t y_p = A\cos3t + B\sin3t y p = A cos 3 t + B sin 3 t − 10 A + 6 B = 2 -10A + 6B = 2 − 10 A + 6 B = 2 − 6 A − 10 B = 0 -6A - 10B = 0 − 6 A − 10 B = 0 A = − 5 34 A = -\frac5{34} A = − 34 5 B = 3 34 B = \frac3{34} B = 34 3 y = C 1 e ( − 1 + 2 ) t + C 2 e ( − 1 − 2 ) t − 5 34 cos 3 t + 3 34 sin 3 t y = C_1e^{(-1+\sqrt2)t} + C_2e^{(-1-\sqrt2)t} - \frac5{34}\cos3t + \frac3{34}\sin3t y = C 1 e ( − 1 + 2 ) t + C 2 e ( − 1 − 2 ) t − 34 5 cos 3 t + 34 3 sin 3 t
Esercizio 4 (polinomio per esponenziale)
Testo. y ′ ′ + 2 y ′ + 2 y = t e t y'' + 2y' + 2y = te^t y ′′ + 2 y ′ + 2 y = t e t λ = − 1 ± i \lambda = -1 \pm i λ = − 1 ± i y p = e t ( a t + b ) y_p = e^t(at + b) y p = e t ( a t + b ) e t [ 5 a t + 4 a + 5 b ] = t e t e^t[5at + 4a + 5b] = te^t e t [ 5 a t + 4 a + 5 b ] = t e t a = 1 5 a = \frac15 a = 5 1 b = − 4 25 b = -\frac4{25} b = − 25 4 y = e − t ( C 1 cos t + C 2 sin t ) + e t ( t 5 − 4 25 ) y = e^{-t}(C_1\cos t + C_2\sin t) + e^t\left(\frac t5 - \frac4{25}\right) y = e − t ( C 1 cos t + C 2 sin t ) + e t ( 5 t − 25 4 )
Esercizio 5 (oscillatore armonico)
Testo. y ′ ′ + Ω 2 y = 0 y'' + \Omega^2y = 0 y ′′ + Ω 2 y = 0 Ω > 0 \Omega > 0 Ω > 0 y ( 0 ) = 0 y(0) = 0 y ( 0 ) = 0 y ′ ( 0 ) = 1 y'(0) = 1 y ′ ( 0 ) = 1 y = C 1 cos Ω t + C 2 sin Ω t y = C_1\cos\Omega t + C_2\sin\Omega t y = C 1 cos Ω t + C 2 sin Ω t C 1 = 0 C_1 = 0 C 1 = 0 Ω C 2 = 1 \Omega C_2 = 1 Ω C 2 = 1 y = 1 Ω sin Ω t y = \frac1\Omega\sin\Omega t y = Ω 1 sin Ω t