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Note per Studenti Esercizio - curva in coordinate polari, lunghezza e integrale di una forma (tema d'esame giugno 2013)

Esercizio - curva in coordinate polari, lunghezza e integrale di una forma

Esame
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Testo (tema d'esame giugno 2013, terzo appello, Analisi Matematica 2, Ingegneria dell'Informazione). Si considerino la curva parametrica in coordinate polari ρ=e−θ,θ∈[0,2π],\rho = e^{-\theta},\qquad\theta \in [0, 2\pi], e la forma differenziale ω=cos⁡y dx−xsin⁡y dy\omega = \cos y\,dx - x\sin y\,dy. i) Calcolare la lunghezza di γ\gamma; ii) calcolare l'integrale ∫γω\int_\gamma\omega.

Teoria usata: Curve regolari, lunghezza e integrale curvilineo di prima specieUna curva è una funzione continua γ: [a, b] → Rn; il sostegno è la sua immagine. È regolare se γ è C¹ con γ'(t) ≠ 0 (γ'(t) è il vettore tangente), regolare a tratti se lo è a pezzi. Lunghezza: L = ∫ab ‖γ'(t)‖ dt (circonferenza 2πR, arco di cicloide 8a). Integrale curvilineo di prima specie: ∫γ f ds = ∫ab f(γ(t)) ‖γ'(t)‖ dt, per esempio la massa di un filo; non dipende né dalla parametrizzazione né dall'orientamento.Curve regolari, lunghezza e integrale curvilineo di prima specie →, Campi conservativi e funzione potenzialeF è conservativo se F = ∇f per un potenziale f; allora il lavoro lungo una curva da P0 a P1 vale f(P1) − f(P0), quindi non dipende dal cammino ed è nullo su ogni curva chiusa (e viceversa). Condizione necessaria (per F di classe C¹): campo irrotazionale, ∂M/∂y = ∂N/∂x; è anche sufficiente su un dominio semplicemente connesso. Controesempio sul piano bucato: (−y, x)/(x² + y²). Il potenziale si trova integrando M in x e imponendo f_y = N.Campi conservativi e funzione potenziale →.

1. La curva in forma cartesiana

Una curva in coordinate polari ρ=ρ(θ)\rho = \rho(\theta) ha la parametrizzazione, con θ\theta come parametro, γ(θ)=(ρ(θ)cos⁡θ, ρ(θ)sin⁡θ)=(e−θcos⁡θ, e−θsin⁡θ),θ∈[0,2π].\gamma(\theta) = \bigl(\rho(\theta)\cos\theta,\ \rho(\theta)\sin\theta\bigr) = \left(e^{-\theta}\cos\theta,\ e^{-\theta}\sin\theta\right),\quad\theta \in [0, 2\pi]. È una spirale che gira attorno all'origine avvicinandosi: parte da γ(0)=(1,0)\gamma(0) = (1, 0), e dopo un giro completo arriva in γ(2π)=(e−2π,0)≈(0,0019; 0)\gamma(2\pi) = \left(e^{-2\pi}, 0\right)\approx(0{,}0019;\ 0).

i) La lunghezza

Derivando (regola del prodotto, ρ′=−e−θ\rho' = -e^{-\theta}): x′(θ)=ρ′cos⁡θ−ρsin⁡θ=−e−θ(cos⁡θ+sin⁡θ),y′(θ)=ρ′sin⁡θ+ρcos⁡θ=e−θ(cos⁡θ−sin⁡θ).x'(\theta) = \rho'\cos\theta - \rho\sin\theta = -e^{-\theta}(\cos\theta + \sin\theta),\qquad y'(\theta) = \rho'\sin\theta + \rho\cos\theta = e^{-\theta}(\cos\theta - \sin\theta). La norma al quadrato della velocità è x′2+y′2=e−2θ[(cos⁡θ+sin⁡θ)2+(cos⁡θ−sin⁡θ)2]=e−2θ[2cos⁡2θ+2sin⁡2θ]=2e−2θ.x'^2 + y'^2 = e^{-2\theta}\left[(\cos\theta + \sin\theta)^2 + (\cos\theta - \sin\theta)^2\right] = e^{-2\theta}\left[2\cos^2\theta + 2\sin^2\theta\right] = 2e^{-2\theta}. (In generale, per una curva polare vale x′2+y′2=ρ2+ρ′2x'^2 + y'^2 = \rho^2 + \rho'^2; qui ρ2+ρ′2=e−2θ+e−2θ=2e−2θ\rho^2 + \rho'^2 = e^{-2\theta} + e^{-2\theta} = 2e^{-2\theta}.) Quindi ∥γ′(θ)∥=2 e−θ\|\gamma'(\theta)\| = \sqrt2\,e^{-\theta} e L=∫02π2 e−θ dθ=2[−e−θ]02π=2(1−e−2π)≈1,412.L = \int_0^{2\pi}\sqrt2\,e^{-\theta}\,d\theta = \sqrt2\left[-e^{-\theta}\right]_0^{2\pi} = \sqrt2\left(1 - e^{-2\pi}\right)\approx1{,}412. Il valore è ragionevole: poco meno di 2\sqrt2, perché la spirale è lunga quasi tutta nel primo giro, e la sua lunghezza totale (per θ→∞\theta\to\infty) è finita: 2\sqrt2.

ii) L'integrale della forma

La forma ω=cos⁡y dx−xsin⁡y dy\omega = \cos y\,dx - x\sin y\,dy è esatta: ha M=cos⁡yM = \cos y, N=−xsin⁡yN = -x\sin y e My=−sin⁡y=NxM_y = -\sin y = N_x (chiusa su R2\mathbb{R}^2, semplicemente connesso). Una primitiva si trova a occhio: U(x,y)=xcos⁡yU(x, y) = x\cos y, infatti Ux=cos⁡yU_x = \cos y e Uy=−xsin⁡yU_y = -x\sin y ✓.

Per il teorema fondamentale dei campi conservativi l'integrale dipende solo dagli estremi della curva: ∫γω=U(γ(2π))−U(γ(0))\int_\gamma\omega = U(\gamma(2\pi)) - U(\gamma(0)).

  • Punto finale: γ(2π)=(e−2π,0)\gamma(2\pi) = \left(e^{-2\pi}, 0\right) e U=e−2πcos⁡0=e−2πU = e^{-2\pi}\cos0 = e^{-2\pi}.
  • Punto iniziale: γ(0)=(1,0)\gamma(0) = (1, 0) e U=1⋅cos⁡0=1U = 1\cdot\cos0 = 1.

∫γω=e−2π−1≈−0,998.\int_\gamma\omega = e^{-2\pi} - 1\approx-0{,}998. Non serve integrare lungo la spirale: la parametrizzazione dà un integrale in θ\theta molto più complicato (con cos⁡(e−θsin⁡θ)\cos\left(e^{-\theta}\sin\theta\right) nell'integrando), mentre la primitiva lo riduce a una sottrazione.

Errori comuni. Dimenticare che per le curve polari il vettore velocità ha un termine ρ′\rho' oltre a ρ\rho (e scrivere L=∫ρ dθL = \int\rho\,d\theta); sbagliare l'estremo finale e usare γ(2π)=(1,0)\gamma(2\pi) = (1, 0) come se la curva fosse chiusa: qui ρ\rho cambia con θ\theta, quindi la curva non si chiude; non riconoscere che ω\omega è esatta.

Versione ripasso

Testo (tema d'esame giugno 2013). γ: ρ=e−θ\gamma:\ \rho = e^{-\theta}, θ∈[0,2π]\theta \in [0, 2\pi]; ω=cos⁡y dx−xsin⁡y dy\omega = \cos y\,dx - x\sin y\,dy: lunghezza di γ\gamma e ∫γω\int_\gamma\omega.

  1. Parametrizzazione: γ(θ)=(e−θcos⁡θ, e−θsin⁡θ)\gamma(\theta) = \left(e^{-\theta}\cos\theta,\ e^{-\theta}\sin\theta\right); da (1,0)(1, 0) a (e−2π,0)\left(e^{-2\pi}, 0\right).
  2. Lunghezza: x′2+y′2=ρ2+ρ′2=2e−2θx'^2 + y'^2 = \rho^2 + \rho'^2 = 2e^{-2\theta}, L=∫02π2e−θdθ=2(1−e−2π)L = \int_0^{2\pi}\sqrt2e^{-\theta}d\theta = \sqrt2\left(1 - e^{-2\pi}\right).
  3. Forma esatta: My=−sin⁡y=NxM_y = -\sin y = N_x, primitiva U=xcos⁡yU = x\cos y.
  4. Integrale: U(e−2π,0)−U(1,0)=e−2π−1U\left(e^{-2\pi}, 0\right) - U(1, 0) = e^{-2\pi} - 1.

Errori tipici: L=∫ρ dθL = \int\rho\,d\theta (manca ρ′\rho'); trattare la spirale come curva chiusa.

Teoria collegata