Esercizi - equazioni del primo ordine dai temi d'esame

Tre problemi di Cauchy dai temi d'esame di Analisi Matematica 2 (Ingegneria dell'Informazione): una equazione a variabili separabili con intervallo massimale di esistenza, una lineare con termine noto risonante, una a variabili separabili con un logaritmo. Teoria: Equazioni riconducibili a variabili separabiliCon un cambio di incognita alcune equazioni del primo ordine diventano a variabili separabili o lineari. Omogenee y' = f(y/t): z = y/t, y' = z + tz', quindi tz' = f(z) − z. y' = f(at + by + c): z = at + by + c, z' = a + bf(z). Bernoulli y' = a(t)y + b(t)y^α (α ≠ 0, 1): z = y^(1−α) dà la lineare z' = (1 − α)[a(t)z + b(t)]. Si controllano sempre le soluzioni stazionarie e l'intervallo di esistenza.Equazioni riconducibili a variabili separabili →, Esistenza e unicità per il problema di CauchyProblema di Cauchy: y' = f(t, y), y(t0) = y0. Peano: f continua ⇒ esiste almeno una soluzione locale (non unica: y' = √|y|, y(0) = 0). Cauchy-Lipschitz: f continua e lipschitziana in y (basta f e ∂f/∂y continue) ⇒ soluzione unica in un intorno di t0. La soluzione può esplodere in tempo finito (y' = y², y' = 1 + y²); se f è lipschitziana in y su tutta la striscia [a, b] × R la soluzione esiste su tutto [a, b]. Un'equazione di ordine n si riduce a un sistema del primo ordine.Esistenza e unicità per il problema di Cauchy →, Metodo di variazione delle costantiPer y'' + a(t)y' + b(t)y = f(t), note due soluzioni indipendenti y1, y2 dell'omogenea, una soluzione particolare è yp = c1(t)y1 + c2(t)y2 con c1'y1 + c2'y2 = 0 e c1'y1' + c2'y2' = f. Con Cramer: c1' = −y2 f/W, c2' = y1 f/W, dove W = y1y2' − y2y1' è il wronskiano. Funziona per ogni termine noto continuo (anche 1/sin t, e^(3t)/t), dove il metodo di somiglianza non si applica.Metodo di variazione delle costanti →.

Esercizio 1 (tema d'esame settembre 2013): separabile e intervallo massimale

Testo. Dato il problema di Cauchy $y' = ty^2$, $y(1) = 1$, si calcoli la soluzione $y(t)$, specificando l'intervallo massimale di esistenza.

1. Esistenza e unicità. Il secondo membro $f(t, y) = ty^2$ è $C^1$ su $\mathbb{R}^2$: per ogni dato iniziale c'è una sola soluzione locale (Esistenza e unicità per il problema di CauchyProblema di Cauchy: y' = f(t, y), y(t0) = y0. Peano: f continua ⇒ esiste almeno una soluzione locale (non unica: y' = √|y|, y(0) = 0). Cauchy-Lipschitz: f continua e lipschitziana in y (basta f e ∂f/∂y continue) ⇒ soluzione unica in un intorno di t0. La soluzione può esplodere in tempo finito (y' = y², y' = 1 + y²); se f è lipschitziana in y su tutta la striscia [a, b] × R la soluzione esiste su tutto [a, b]. Un'equazione di ordine n si riduce a un sistema del primo ordine.Esistenza e unicità per il problema di Cauchy →).
2. Equazione a variabili separabili. $y' = a(t)\,b(y)$ con $a(t) = t$ e $b(y) = y^2$. La funzione costante $y \equiv 0$ è una soluzione (annulla $b$), ma il dato iniziale è $y(1) = 1 \ne 0$: per l'unicità, la soluzione cercata non tocca mai $0$ e quindi $y \ne 0$. Si può dividere per $y^2$: $$\frac{y'}{y^2} = t\quad\Longrightarrow\quad\int\frac{dy}{y^2} = \int t\,dt\quad\Longrightarrow\quad-\frac1y = \frac{t^2}{2} + c.$$
3. La costante. Da $y(1) = 1$: $-1 = \frac12 + c$, quindi $c = -\frac32$. Allora $-\frac1y = \frac{t^2 - 3}{2}$, cioè $$y(t) = \frac{2}{3 - t^2}.$$
4. Intervallo massimale. La formula è definita per $t \ne \pm\sqrt3$. L'intervallo massimale è quello che contiene il punto iniziale $t_0 = 1$ e dove la soluzione è una funzione derivabile: $\left]-\sqrt3,\ \sqrt3\right[$. Agli estremi $y \to +\infty$ (per $t \to \pm\sqrt3$ da dentro il denominatore tende a $0^+$): la soluzione esplode in tempo finito e non si può prolungare, perché non resta limitata.
5. Verifica. $y' = \frac{4t}{(3 - t^2)^2}$ e $ty^2 = t\cdot\frac{4}{(3 - t^2)^2}$ ✓; $y(1) = \frac{2}{2} = 1$ ✓.

Esercizio 2 (tema d'esame luglio 2012): lineare con termine noto risonante

Testo. Risolvere il problema di Cauchy $y' = \pi y - 3e^{\pi t}$, $y(1) = e^\pi$.

1. Tipo. Lineare del primo ordine $y' = a(t)y + b(t)$ con $a = \pi$ e $b(t) = -3e^{\pi t}$ continue su $\mathbb{R}$: la soluzione esiste su tutto $\mathbb{R}$. Il termine noto $e^{\pi t}$ ha lo stesso esponente dell'equazione omogenea ($y' = \pi y$ ha soluzioni $ce^{\pi t}$): si dice che è in risonanza, e un tentativo $y_p = ke^{\pi t}$ non funziona.
2. Formula risolutiva. Con $t_0 = 1$: $A(t) = \int_1^t\pi\,ds = \pi(t - 1)$ e $$y(t) = e^{A(t)}\left(y_0 + \int_1^te^{-A(s)}b(s)\,ds\right) = e^{\pi(t - 1)}\left(e^\pi + \int_1^te^{-\pi(s - 1)}\cdot(-3e^{\pi s})\,ds\right).$$
3. L'integrale. $e^{-\pi(s-1)}e^{\pi s} = e^{\pi}$ è costante, quindi $\int_1^t(-3e^\pi)\,ds = -3e^\pi(t - 1)$.
4. Soluzione. $$y(t) = e^{\pi(t-1)}\,e^\pi\bigl(1 - 3(t - 1)\bigr) = e^{\pi t}\,(4 - 3t).$$
5. Verifica. $y' = \pi e^{\pi t}(4 - 3t) - 3e^{\pi t} = \pi y - 3e^{\pi t}$ ✓; $y(1) = e^\pi\cdot1$ ✓. La soluzione generale è $(c - 3t)e^{\pi t}$: il termine $-3te^{\pi t}$ è la soluzione particolare "risonante" (con il fattore $t$ in più).

Esercizio 3 (tema d'esame febbraio 2012): separabile con un logaritmo

Testo. Risolvere il problema di Cauchy $y' = \dfrac{ty}{2\log y}$, $y(0) = e$, e calcolare $y(\sqrt6)$.

1. Dominio. Il secondo membro è definito per $y > 0$ e $y \ne 1$ (dove $\log y = 0$); il dato iniziale $y(0) = e > 1$ sta nella zona $y > 1$, dove tutto è $C^1$: esiste una sola soluzione.
2. Separazione. $y' = t\cdot\frac{y}{2\log y}$: si porta $y$ a sinistra moltiplicando per $\frac{2\log y}{y}$: $$\frac{2\log y}{y}\,y' = t\quad\Longrightarrow\quad\int\frac{2\log y}{y}\,dy = \int t\,dt.$$ Con $s = \log y$ ($ds = \frac{dy}{y}$) il primo integrale è $\int2s\,ds = s^2 = (\log y)^2$: $$(\log y)^2 = \frac{t^2}{2} + c.$$
3. La costante. Da $y(0) = e$, $\log e = 1$: $1 = c$. Quindi $(\log y)^2 = 1 + \frac{t^2}{2}$.
4. Il segno della radice. $\log y = \pm\sqrt{1 + t^2/2}$. Poiché il dato iniziale ha $\log y = +1 > 0$ e $\left|\log y\right| = \sqrt{1 + t^2/2} \ge 1$ non si annulla mai, la soluzione resta nel ramo $\log y > 0$: $\log y = +\sqrt{1 + \frac{t^2}{2}}$, cioè $$y(t) = \exp\left(\sqrt{1 + \frac{t^2}{2}}\right),\qquad t \in \mathbb{R}.$$ Mai $y = 1$: la soluzione è definita su tutto $\mathbb{R}$.
5. Il valore. $y(\sqrt6) = \exp\left(\sqrt{1 + \frac62}\right) = \exp\left(\sqrt4\right) = e^2$.
6. Verifica. $\log y = u(t) = \sqrt{1 + t^2/2}$, $u' = \frac{t/2}{u}$; $y' = yu' = y\frac{t}{2u} = \frac{ty}{2\log y}$ ✓.

Errori comuni (esercizi 1-3). Dividere per $y^2$ senza notare che $y \equiv 0$ è soluzione (qui irrilevante per il dato iniziale, ma va detto); dare come intervallo di esistenza tutto $\mathbb{R}\setminus\{\pm\sqrt3\}$ invece del solo intervallo che contiene $t_0$; nell'esercizio 2, cercare $y_p = ke^{\pi t}$ (non funziona, $e^{\pi t}$ risolve l'omogenea); nell'esercizio 3, dimenticare il segno della radice quadrata.