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Note per Studenti Esercizio - forma differenziale chiusa con parametri e primitiva nello spazio (tema d'esame novembre 2012)

Esercizio - forma differenziale chiusa con parametri e primitiva nello spazio

Esame

Testo (tema d'esame novembre 2012, primo compitino, Analisi Matematica 2, Ingegneria dell'Informazione). Per a,b∈Ra, b \in \mathbb{R}, si consideri la forma differenziale ω=x(ay+bz) dx+(x2+2yz) dy+(y2−z2) dz.\omega = x(ay + bz)\,dx + (x^2 + 2yz)\,dy + (y^2 - z^2)\,dz. i) Perché ω\omega sia chiusa deve risultare a=…a = \ldots e b=…b = \ldots; ii) per a,ba, b come sopra, la primitiva di ω\omega nulla in (0,0,1)(0, 0, 1) è U(x,y,z)=…U(x, y, z) = \ldots

Teoria usata: Campi conservativi e funzione potenzialeF è conservativo se F = ∇f per un potenziale f; allora il lavoro lungo una curva da P0 a P1 vale f(P1) − f(P0), quindi non dipende dal cammino ed è nullo su ogni curva chiusa (e viceversa). Condizione necessaria (per F di classe C¹): campo irrotazionale, ∂M/∂y = ∂N/∂x; è anche sufficiente su un dominio semplicemente connesso. Controesempio sul piano bucato: (−y, x)/(x² + y²). Il potenziale si trova integrando M in x e imponendo f_y = N.Campi conservativi e funzione potenziale →, Campi vettoriali e lavoro lungo una curvaUn campo vettoriale F = (M, N) associa un vettore a ogni punto. Il lavoro (integrale curvilineo di seconda specie) lungo una curva orientata r(t), t ∈ [a, b], è ∫C F·dr = ∫ab F(r(t))·r'(t) dt = ∫C M dx + N dy, cioè l'integrale della componente tangente di F rispetto alla lunghezza d'arco. Non dipende dalla parametrizzazione ma cambia segno se si inverte il verso; si annulla se F è sempre ortogonale alla curva.Campi vettoriali e lavoro lungo una curva →.

i) Condizioni di chiusura

Una forma ω=M dx+N dy+P dz\omega = M\,dx + N\,dy + P\,dz è chiusa se il campo (M,N,P)(M, N, P) ha rotore nullo, cioè se le tre condizioni My=Nx,Mz=Px,Nz=PyM_y = N_x,\qquad M_z = P_x,\qquad N_z = P_y valgono ovunque. Qui M=x(ay+bz)=axy+bxzM = x(ay + bz) = axy + bxz, N=x2+2yzN = x^2 + 2yz, P=y2−z2P = y^2 - z^2. Le derivate:

condizione primo membro secondo membro risultato
My=NxM_y = N_x My=axM_y = ax Nx=2xN_x = 2x ax=2xax = 2x per ogni xx: a=2a = 2
Mz=PxM_z = P_x Mz=bxM_z = bx Px=0P_x = 0 bx=0bx = 0 per ogni xx: b=0b = 0
Nz=PyN_z = P_y Nz=2yN_z = 2y Py=2yP_y = 2y sempre vera

La terza condizione è vera per ogni scelta di aa e bb, le prime due impongono a=2,b=0.a = 2,\qquad b = 0. La forma è allora ω=2xy dx+(x2+2yz) dy+(y2−z2) dz\omega = 2xy\,dx + (x^2 + 2yz)\,dy + (y^2 - z^2)\,dz.

Il dominio è R3\mathbb{R}^3, che è semplicemente connesso (è convesso): una forma chiusa C1C^1 è anche esatta, cioè ha una primitiva (un potenziale) UU con ∇U=(M,N,P)\nabla U = (M, N, P).

ii) La primitiva

Si cerca UU con Ux=2xyU_x = 2xy, Uy=x2+2yzU_y = x^2 + 2yz, Uz=y2−z2U_z = y^2 - z^2. Si procede per integrazioni successive, una variabile alla volta.

  1. Dalla prima, integrando in xx (con yy e zz fissati): U=x2y+g(y,z)U = x^2y + g(y, z), dove la "costante" può dipendere da yy e zz.
  2. Si deriva in yy e si confronta con la seconda: Uy=x2+gyU_y = x^2 + g_y. Deve essere uguale a x2+2yzx^2 + 2yz, quindi gy=2yzg_y = 2yz (se comparisse ancora xx ci sarebbe un errore). Integrando in yy: g=y2z+h(z)g = y^2z + h(z). Dunque U=x2y+y2z+h(z)U = x^2y + y^2z + h(z).
  3. Si deriva in zz e si confronta con la terza: Uz=y2+h′(z)=y2−z2U_z = y^2 + h'(z) = y^2 - z^2, quindi h′(z)=−z2h'(z) = -z^2 e h(z)=−z33+ch(z) = -\frac{z^3}{3} + c.

La famiglia di tutte le primitive è U(x,y,z)=x2y+y2z−z33+c,c∈R.U(x, y, z) = x^2y + y^2z - \frac{z^3}{3} + c,\quad c\in\mathbb{R}. Condizione U(0,0,1)=0U(0, 0, 1) = 0: U(0,0,1)=0+0−13+c=0U(0, 0, 1) = 0 + 0 - \frac13 + c = 0, quindi c=13c = \frac13: U(x,y,z)=x2y+y2z−z33+13.\boxed{U(x, y, z) = x^2y + y^2z - \frac{z^3}{3} + \frac13.}

Verifica. Ux=2xyU_x = 2xy ✓; Uy=x2+2yzU_y = x^2 + 2yz ✓; Uz=y2−z2U_z = y^2 - z^2 ✓; U(0,0,1)=−13+13=0U(0,0,1) = -\frac13 + \frac13 = 0 ✓. Con questa primitiva, il lavoro (integrale di ω\omega) lungo qualunque curva da AA a BB è U(B)−U(A)U(B) - U(A): per esempio da (0,0,1)(0, 0, 1) a (1,1,1)(1, 1, 1) vale U(1,1,1)=1+1−13+13=2U(1,1,1) = 1 + 1 - \frac13 + \frac13 = 2.

Errori comuni. Imporre solo una delle tre condizioni di chiusura; dimenticare la funzione g(y,z)g(y, z) (e poi h(z)h(z)) invece della semplice costante; non fissare la costante cc con il dato U(0,0,1)=0U(0, 0, 1) = 0.

Versione ripasso

Testo (tema d'esame novembre 2012). ω=x(ay+bz)dx+(x2+2yz)dy+(y2−z2)dz\omega = x(ay + bz)dx + (x^2 + 2yz)dy + (y^2 - z^2)dz: valori di a,ba, b per cui è chiusa; primitiva nulla in (0,0,1)(0, 0, 1).

  1. Chiusura (M=axy+bxzM = axy + bxz, N=x2+2yzN = x^2 + 2yz, P=y2−z2P = y^2 - z^2): My=NxM_y = N_x dà ax=2xax = 2x, a=2a = 2; Mz=PxM_z = P_x dà bx=0bx = 0, b=0b = 0; Nz=PyN_z = P_y: 2y=2y2y = 2y sempre.
  2. Primitiva (dominio R3\mathbb{R}^3, semplicemente connesso, quindi esatta): Ux=2xy⇒U=x2y+g(y,z)U_x = 2xy \Rightarrow U = x^2y + g(y, z); Uy=x2+gy=x2+2yz⇒g=y2z+h(z)U_y = x^2 + g_y = x^2 + 2yz \Rightarrow g = y^2z + h(z); Uz=y2+h′=y2−z2⇒h=−z33+cU_z = y^2 + h' = y^2 - z^2 \Rightarrow h = -\frac{z^3}{3} + c.
  3. U(0,0,1)=0U(0, 0, 1) = 0 dà c=13c = \frac13: U=x2y+y2z−z33+13U = x^2y + y^2z - \frac{z^3}{3} + \frac13.

Errori tipici: usare una sola condizione di chiusura; dimenticare g(y,z)g(y, z).

Teoria collegata