Esercizio - punti critici con un esponenziale

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1. Il gradiente

Per $f_x$ si deriva il prodotto $e^x(x-2)$ rispetto a $x$: $\frac{d}{dx}\left[e^x(x-2)\right] = e^x(x-2) + e^x = e^x(x-1)$. Il fattore $(y-1)$ è una costante rispetto a $x$: $$f_x = e^x(x-1)(y-1).$$ Per $f_y$ si deriva $(y-1)$ e $y^2 - 2y$: $$f_y = e^x(x-2) + 2y - 2.$$

2. Il sistema

$f_x = 0$ è un prodotto: $e^x$ non si annulla mai, quindi si spezza in $x = 1$ oppure $y = 1$.

• $x = 1$. Nella seconda: $e\,(1-2) + 2y - 2 = 0$, cioè $-e + 2y - 2 = 0$, da cui $y = 1 + \frac e2$. Punto $P_1 = \left(1, 1 + \frac e2\right)$.
• $y = 1$. Nella seconda: $e^x(x-2) + 2 - 2 = e^x(x-2) = 0$, quindi $x = 2$. Punto $P_2 = (2, 1)$.

Due punti critici: $P_1$ e $P_2$.

3. L'hessiana

Derivando di nuovo: $$f_{xx} = \frac{\partial}{\partial x}\left[e^x(x-1)(y-1)\right] = e^x\left[(x-1) + 1\right](y-1) = xe^x(y-1),$$ $$f_{xy} = \frac{\partial}{\partial y}\left[e^x(x-1)(y-1)\right] = e^x(x-1), \qquad f_{yy} = 2.$$ (Controllo: $f_{yx} = \frac{\partial}{\partial x}\left[e^x(x-2) + 2y - 2\right] = e^x(x-1)$, uguale a $f_{xy}$ per il teorema di Schwarz.)

• In $P_1 = \left(1, 1 + \frac e2\right)$: $f_{xx} = 1\cdot e\cdot\frac e2 = \frac{e^2}{2}$, $f_{xy} = e\cdot0 = 0$, $f_{yy} = 2$. L'hessiana è diagonale, $H = \begin{pmatrix}\frac{e^2}{2} & 0 \\ 0 & 2\end{pmatrix}$, con $\det H = e^2 > 0$ e $f_{xx} > 0$: minimo locale. Valore: $f(P_1) = e\cdot(-1)\cdot\frac e2 + \left(1+\frac e2\right)^2 - 2\left(1+\frac e2\right) = -\frac{e^2}{2} + 1 + e + \frac{e^2}{4} - 2 - e = -\frac{e^2}{4} - 1$.
• In $P_2 = (2, 1)$: $f_{xx} = 2e^2\cdot0 = 0$, $f_{xy} = e^2\cdot1 = e^2$, $f_{yy} = 2$. $H = \begin{pmatrix}0 & e^2 \\ e^2 & 2\end{pmatrix}$, $\det H = 0\cdot2 - e^4 = -e^4 < 0$: sella. Valore $f(P_2) = 0 + 1 - 2 = -1$.

4. Conclusione

$\left(1, 1 + \frac e2\right)$ è un punto di minimo locale (valore $-\frac{e^2}{4} - 1\approx-2{,}85$), $(2, 1)$ è un punto di sella (valore $-1$).

Verifica. Il minimo locale ha un valore più basso della sella ($-2{,}85 < -1$), come ci si aspetta. Su una retta $x = 1$ la funzione è $f(1, y) = -e(y-1) + y^2 - 2y = y^2 - (2+e)y + e$, una parabola con minimo in $y = 1 + \frac e2$: coincide con $P_1$.

Errori comuni. Dimenticare il termine $e^x$ derivando $(x-2)e^x$; trovare solo il caso $x = 1$ o solo il caso $y = 1$.