Esercizio - flusso attraverso una calotta con il teorema della divergenza

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i) Il flusso attraverso la base

La base è il disco $B = \{x^2 + y^2 \le 1,\ z = 0\}$. La normale uscente da $G$ punta verso il basso (fuori dal solido, che sta sopra il piano $z = 0$): $\mathbf n = (0, 0, -1)$. Sulla base $z = 0$ e il campo vale $$\mathbf F(x, y, 0) = \left(0,\ \tfrac13y^3 + \tan0,\ 0 + y^2\right) = \left(0,\ \tfrac13y^3,\ y^2\right).$$ Il prodotto scalare con $\mathbf n$: $\mathbf F\cdot\mathbf n = -y^2$. Poiché la base è piana e parametrizzata da $(x, y)$, $d\sigma = dx\,dy$ e $$\Phi_{\text{base}} = \iint_{x^2+y^2\le1}(-y^2)\,dx\,dy = -\int_0^{2\pi}\!\!\int_0^1(r\sin\theta)^2\,r\,dr\,d\theta = -\int_0^{2\pi}\sin^2\theta\,d\theta\int_0^1r^3\,dr = -\pi\cdot\frac14 = -\frac\pi4.$$ (Si è usato $\int_0^{2\pi}\sin^2\theta\,d\theta = \pi$.) Il flusso è negativo: attraverso la base il campo, nel complesso, entra nel solido.

ii) Il flusso attraverso la calotta

Divergenza. $$\operatorname{div}\mathbf F = \frac{\partial(xz^2)}{\partial x} + \frac{\partial\left(\frac13y^3 + \tan z\right)}{\partial y} + \frac{\partial(x^2z + y^2)}{\partial z} = z^2 + y^2 + x^2.$$ (Il termine $\tan z$ non dipende da $y$ e il suo contributo scompare: è proprio per questo che nel testo compare, come un distrattore.)

Teorema della divergenza sull'intero solido. La frontiera di $G$ è calotta più base, entrambe con la normale uscente: $$\Phi_{\text{calotta}} + \Phi_{\text{base}} = \iiint_G\operatorname{div}\mathbf F\,dV = \iiint_G(x^2 + y^2 + z^2)\,dV.$$ Con le coordinate sferiche ($\rho \in [0, 1]$, $\varphi \in \left[0, \frac\pi2\right]$ perché $z \ge 0$, $\theta \in [0, 2\pi]$, $dV = \rho^2\sin\varphi\,d\rho\,d\varphi\,d\theta$ e $x^2 + y^2 + z^2 = \rho^2$): $$\iiint_G\rho^2\,dV = \int_0^{2\pi}d\theta\int_0^{\pi/2}\sin\varphi\,d\varphi\int_0^1\rho^4\,d\rho = 2\pi\cdot\left[-\cos\varphi\right]_0^{\pi/2}\cdot\frac15 = 2\pi\cdot1\cdot\frac15 = \frac{2\pi}{5}.$$

Il flusso della calotta per differenza. $$\Phi_{\text{calotta}} = \frac{2\pi}{5} - \Phi_{\text{base}} = \frac{2\pi}{5} - \left(-\frac\pi4\right) = \frac{2\pi}{5} + \frac\pi4 = \frac{8\pi + 5\pi}{20} = \frac{13\pi}{20}.$$

$$\boxed{\Phi_{\text{base}} = -\frac\pi4,\qquad\Phi_{\text{calotta}} = \frac{13\pi}{20}.}$$

Verifica. Sulla calotta il flusso è positivo e piuttosto grande: ha senso, perché $\operatorname{div}\mathbf F = \rho^2\ge0$ è una sorgente e il flusso totale $\frac{2\pi}{5}\approx1{,}26$ esce quasi tutto dalla calotta. La somma $\frac{13\pi}{20} - \frac\pi4 = \frac{8\pi}{20} = \frac{2\pi}5$ ✓.

Errori comuni. Usare la normale $(0, 0, +1)$ sulla base (il flusso uscente richiede $-\mathbf k$, e il segno del risultato cambierebbe); dimenticare che il teorema della divergenza dà il flusso totale (calotta più base), non della sola calotta; usare $\varphi \in [0, \pi]$ nelle coordinate sferiche e ottenere il volume (e l'integrale) di tutta la palla.