Esercizi - punti critici di funzioni di più variabili

Esercizi svolti in aula (videolezioni di Analisi, Ingegneria, Sapienza). Metodo in Massimi e minimi liberi in più variabiliSe f è differenziabile e ha un estremo relativo in un punto interno x0, allora ∇f(x0) = 0 (Fermat): gli estremi interni vanno cercati tra i punti critici. Se f è C², in un punto critico: hessiana definita positiva → minimo, definita negativa → massimo, indefinita → sella, semidefinita → il test non decide e si studia il segno di f(x) − f(x0). In due variabili: det H > 0 e fxx > 0 minimo, det H > 0 e fxx < 0 massimo, det H < 0 sella.Massimi e minimi liberi in più variabili →: si risolve $\nabla f = 0$, si calcola l'hessiana in ogni punto critico e la si classifica con determinante e primo minoreLe derivate seconde ∂²f/∂xj∂xi formano la matrice hessiana Hf; per il teorema di Schwarz (derivate miste continue) è simmetrica. Taylor al secondo ordine: f(x0 + h) = f(x0) + ∇f(x0)·h + ½ hᵀHf(x0)h + o(‖h‖²). Una matrice simmetrica è definita positiva/negativa, semidefinita o indefinita a seconda del segno della forma quadratica hᵀAh; si riconosce con gli autovalori o con i minori principali (in 2×2: determinante e primo elemento).Matrice hessiana e formula di Taylor in più variabili →; se il determinante è nullo si studia il segno di $f - f(x_0)$.

Esercizio 1

Testo. Trovare e classificare i punti critici di $f(x, y) = y^3x + y^2 - x^2$.

1. Gradiente: $f_x = y^3 - 2x$, $\quad f_y = 3xy^2 + 2y$.
2. Sistema. Dalla prima $x = \frac{y^3}{2}$. Sostituendo nella seconda: $$3\cdot\frac{y^3}{2}\cdot y^2 + 2y = y\left(\frac32 y^4 + 2\right) = 0$$ La parentesi è sempre $\geq 2 > 0$, quindi $y = 0$ e $x = 0$: un solo punto critico, $(0, 0)$.
3. Hessiana: $f_{xx} = -2$, $f_{xy} = 3y^2$, $f_{yy} = 6xy + 2$. In $(0,0)$: $$H_f(0,0) = \begin{pmatrix} -2 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}, \qquad \det = -4 < 0$$
4. Conclusione: $(0,0)$ è un punto di sella. Si vede anche dalle restrizioni: $f(x, 0) = -x^2 < 0$ e $f(0, y) = y^2 > 0$.

Esercizio 2 (un caso con determinante nullo)

Testo. Trovare e classificare i punti critici di $f(x, y) = x^4 + y^4 - 2(x - y)^2 + 2$.

1. Gradiente: $f_x = 4x^3 - 4(x - y)$, $\quad f_y = 4y^3 + 4(x - y)$ (la derivata di $-2(x-y)^2$ rispetto a $y$ è $-4(x-y)\cdot(-1)$).

2. Sistema. Sommando le due equazioni il termine $4(x - y)$ si cancella: $4x^3 + 4y^3 = 0$, cioè $y^3 = -x^3$, quindi $y = -x$. Sostituendo nella prima: $$4x^3 - 4(2x) = 4x(x^2 - 2) = 0 \ \Rightarrow\ x = 0,\ x = \pm\sqrt2$$ Punti critici: $(0, 0)$, $(\sqrt2, -\sqrt2)$, $(-\sqrt2, \sqrt2)$.

3. Hessiana: $f_{xx} = 12x^2 - 4$, $f_{xy} = 4$, $f_{yy} = 12y^2 - 4$.

   • $(\pm\sqrt2, \mp\sqrt2)$: $f_{xx} = f_{yy} = 24 - 4 = 20$, $\det = 400 - 16 = 384 > 0$ e $f_{xx} > 0$: minimi locali. Valore: $f = 4 + 4 - 2(2\sqrt2)^2 + 2 = 10 - 16 = -6$.
   • $(0, 0)$: $H_f = \begin{pmatrix} -4 & 4 \\ 4 & -4 \end{pmatrix}$, $\det = 16 - 16 = 0$: il test non decide.

4. Studio diretto in $(0,0)$, dove $f(0,0) = 2$. Si confronta $f$ con $2$ lungo due rette:

   • sulla retta $y = x$: $f(x, x) = 2x^4 + 2 > 2$ per $x \neq 0$;
   • sull'asse $x$: $f(x, 0) = x^4 - 2x^2 + 2 = 2 - x^2(2 - x^2) < 2$ per $0 < |x| < \sqrt2$.

   In ogni intorno dell'origine ci sono punti con $f > 2$ e punti con $f < 2$: $(0,0)$ è un punto di sella.

La retta $y = x$ non è scelta a caso: è la direzione in cui la forma quadratica $-4(h - k)^2$ dell'hessiana si annulla, quindi quella in cui decidono i termini di quarto grado.

Esercizio 3 (infiniti punti critici)

Testo. Trovare e classificare i punti critici di $f(x, y) = x^2 - \sin y$.

1. Gradiente: $f_x = 2x$, $\quad f_y = -\cos y$.
2. Punti critici: $x = 0$ e $\cos y = 0$, cioè $y = \frac{\pi}{2} + k\pi$ con $k \in \mathbb{Z}$.
3. Hessiana: $f_{xx} = 2$, $f_{xy} = 0$, $f_{yy} = \sin y$, quindi $\det H_f = 2\sin y$.
   • $y = \frac{\pi}{2} + 2k\pi$: $\sin y = 1$, $\det = 2 > 0$ e $f_{xx} = 2 > 0$: minimi locali (valore $-1$).
   • $y = \frac{3\pi}{2} + 2k\pi$: $\sin y = -1$, $\det = -2 < 0$: selle.

Lungo l'asse $y$ minimi e selle si alternano, come i minimi e i massimi di $-\sin y$.

Esercizio 4 (tre variabili)

Testo. Trovare e classificare i punti critici di $f(x, y, z) = 3x^2 + 2y^2 + z^2 - 2xz + 2x + 2y + 1$.

1. Gradiente: $f_x = 6x - 2z + 2$, $\quad f_y = 4y + 2$, $\quad f_z = 2z - 2x$.
2. Sistema: dalla seconda $y = -\frac12$; dalla terza $z = x$; nella prima $6x - 2x + 2 = 0$, quindi $x = -\frac12$. Unico punto critico $P = \left(-\frac12, -\frac12, -\frac12\right)$.
3. Hessiana (costante, perché $f$ è un polinomio di secondo grado): $$H_f = \begin{pmatrix} 6 & 0 & -2 \\ 0 & 4 & 0 \\ -2 & 0 & 2 \end{pmatrix}$$
4. Minori principali: $\det A_1 = 6 > 0$; $\det A_2 = 6 \cdot 4 - 0 = 24 > 0$; $\det A_3$, sviluppando lungo la seconda riga: $4 \cdot \det\begin{pmatrix} 6 & -2 \\ -2 & 2 \end{pmatrix} = 4\,(12 - 4) = 32 > 0$.
5. Tutti positivi: $H_f$ è definita positiva e $P$ è un minimo locale. (Essendo $f$ un polinomio di secondo grado con hessiana definita positiva, è anche il minimo assoluto.)