Campi vettoriali e lavoro lungo una curva

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Prerequisiti: Curve regolari, lunghezza e integrale curvilineo di prima specie.

Definizione di campo vettoriale

Un campo vettoriale $\mathbf{f}$ in un dominio $D \subseteq \mathbb{R}^n$ è una funzione che associa a ogni punto $\mathbf{P} = (x, y, z)$ del dominio un vettore $\mathbf{f}(x, y, z)$ . Nel piano, si scrive solitamente come: $\mathbf{f}(x, y) = M(x, y)\mathbf{i} + N(x, y)\mathbf{j} = (M(x, y), N(x, y))$ dove $M$ e $N$ sono le funzioni componenti del campo. Nello spazio le componenti sono tre, $(M, N, P)$ . Esempi fisici: il campo delle velocità di un fluido, un campo di forze (gravità, forza elettrica). Si disegna mettendo in alcuni punti una freccia che rappresenta il vettore.

Esempi classici

Campo costante: $\mathbf{f}(x, y) = (a, b)$ . Ad ogni punto è associato lo stesso vettore costante, per esempio $(2, 1)$ .
Campo $x\,\mathbf{i}$ : vettori orizzontali, nulli sull'asse $y$ , verso destra per $x > 0$ e verso sinistra per $x < 0$ , sempre più lunghi allontanandosi dall'asse.
Campo radiale: $\mathbf{f}(x, y) = (x, y)$ . I vettori hanno direzione radiale rispetto all'origine e modulo pari alla distanza dal centro.
Campo rotazionale: $\mathbf{f}(x, y) = (-y, x)$ . I vettori sono tangenti a circonferenze centrate nell'origine, descrivendo un moto rotatorio antiorario: $(-y, x) \cdot (x, y) = 0$ , quindi il vettore è ortogonale al raggio, e ha lunghezza $\sqrt{x^2+y^2}$ .

Integrale di linea di seconda specie

L'integrale di linea di un campo vettoriale $\mathbf{f}$ lungo una curva orientata $C$ descrive il lavoro compiuto dal campo lungo la traiettoria.

Definizione. Dato un campo vettoriale continuo $\mathbf{f}$ e una curva regolare $C$ parametrizzata da $\mathbf{r}(t) = (x(t), y(t))$ con $t \in [a, b]$ , l'integrale di linea è definito come: $\int_C \mathbf{f} \cdot d\mathbf{r} = \int_a^b \mathbf{f}(\mathbf{r}(t)) \cdot \mathbf{r}'(t) \, dt$ dove $\mathbf{r}'(t)$ è il vettore tangente alla curva.

Perché è un lavoro. In fisica il lavoro di una forza costante lungo uno spostamento rettilineo $\Delta\mathbf{r}$ è il prodotto scalare $\mathbf{f}\cdot\Delta\mathbf{r}$ . Lungo una curva si spezza il percorso in tratti piccoli $\Delta\mathbf{r} \approx \mathbf{r}'(t)\,\Delta t$ , su ognuno dei quali la forza è quasi costante, e si sommano i contributi $\mathbf{f}(\mathbf{r}(t))\cdot\mathbf{r}'(t)\,\Delta t$ .

Questo integrale è spesso indicato con la notazione delle forme differenziali: $\int_C M \, dx + N \, dy$ che corrisponde alla scrittura sintetica del prodotto scalare tra $\mathbf{f}$ e lo spostamento infinitesimo $d\mathbf{r} = (dx, dy)$ . Per calcolarlo si sostituisce $x = x(t)$ , $y = y(t)$ , $dx = x'(t)\,dt$ , $dy = y'(t)\,dt$ .

Interpretazione geometrica

L'integrale di linea rappresenta l'integrale della componente tangenziale del campo lungo la curva: $\int_C \mathbf{f} \cdot \mathbf{t} \, ds$ dove $\mathbf{t} = \frac{\mathbf{r}'(t)}{||\mathbf{r}'(t)||}$ è il versore tangente alla curva e $ds = ||\mathbf{r}'(t)|| \, dt$ è l'elemento di linea (vedi Curve regolari, lunghezza e integrale curvilineo di prima specie). Se il campo è sempre ortogonale alla traiettoria, il lavoro è nullo.

Proprietà fondamentali

Orientamento: L'integrale dipende dall'orientamento della curva. Se si inverte il verso di percorrenza, il segno dell'integrale cambia.
Indipendenza dalla parametrizzazione: Il valore dell'integrale dipende solo dalla curva orientata, non dalla parametrizzazione, purché questa percorra la curva nello stesso verso (con un cambio di parametro $t = \varphi(s)$ , $\varphi' > 0$ , la sostituzione riporta allo stesso integrale; con $\varphi' < 0$ gli estremi si scambiano e cambia il segno). Si sceglie quindi la parametrizzazione più comoda.
Additività: su una curva fatta di più pezzi (per esempio un poligono) si calcola l'integrale su ogni pezzo e si sommano i risultati.
Differenza con la prima specie: nell'integrale di prima specie compare $\|\mathbf{r}'\|$ , che non cambia invertendo il verso; qui compare $\mathbf{r}'$ , che cambia segno.

Esempio numerico

Calcoliamo il lavoro del campo $\mathbf{f} = (-y, x)$ lungo la parabola $y = x^2$ per $x \in [0, 1]$ .

Parametrizziamo: $\mathbf{r}(t) = (t, t^2)$ , con $t \in [0, 1]$ .
Derivata: $\mathbf{r}'(t) = (1, 2t)$ .
Valutiamo il campo sulla curva: $\mathbf{f}(\mathbf{r}(t)) = (-t^2, t)$ .
Prodotto scalare: $\mathbf{f}(\mathbf{r}(t)) \cdot \mathbf{r}'(t) = (-t^2 \cdot 1) + (t \cdot 2t) = -t^2 + 2t^2 = t^2$ .
Integrale: $\int_0^1 t^2 \, dt = \left[ \frac{t^3}{3} \right]_0^1 = \frac{1}{3}$ .

Con la notazione delle forme: $\int_C -y\,dx + x\,dy$ con $x = t$ , $y = t^2$ , $dx = dt$ , $dy = 2t\,dt$ dà $\int_0^1(-t^2 + 2t^2)\,dt$ , lo stesso conto.

Due campi sulla circonferenza

Sulla circonferenza di raggio $a$ percorsa in senso antiorario, $\mathbf{r}(\theta) = (a\cos\theta, a\sin\theta)$ , $\mathbf{r}'(\theta) = (-a\sin\theta, a\cos\theta)$ :

campo radiale $(x, y)$ : $\mathbf{f}\cdot\mathbf{r}' = -a^2\cos\theta\sin\theta + a^2\sin\theta\cos\theta = 0$ . Il lavoro è nullo: il campo è sempre ortogonale alla curva;
campo rotazionale $(-y, x)$ : $\mathbf{f}\cdot\mathbf{r}' = a^2\sin^2\theta + a^2\cos^2\theta = a^2$ , quindi il lavoro è $\int_0^{2\pi}a^2\,d\theta = 2\pi a^2$ . Il campo è tangente e concorde al moto, con modulo costante $a$ : il lavoro è modulo per lunghezza, $a \cdot 2\pi a$ .

Altri esercizi: Esercizi - lavoro di un campo lungo una curva.

Quando il lavoro dipende solo dagli estremi

In generale il lavoro per andare da $A$ a $B$ dipende dal percorso. Per i campi che sono gradienti di una funzione, $\mathbf{f} = \nabla U$ , invece vale $\int_C \mathbf{f}\cdot d\mathbf{r} = U(B) - U(A)$ per ogni curva da $A$ a $B$ . Questi campi (conservativi) e il modo di riconoscerli sono in Campi conservativi e funzione potenziale.

Errori comuni

Confusione tra integrali: Non confondere l'integrale di prima specie (che dipende dalla funzione scalare e dalla lunghezza) con quello di seconda specie (che dipende dal campo vettoriale e dalla direzione).
Campi non conservativi: Non assumere che ogni integrale su una curva chiusa sia nullo. Ad esempio, il campo rotazionale $\mathbf{f} = (-y, x)$ ha circuitazione non nulla lungo una circonferenza centrata nell'origine: il lavoro è positivo perché il campo "aiuta" il movimento.
Parametrizzazioni: Utilizzare parametrizzazioni eccessivamente complesse quando ne esistono di naturali (es. la parametrizzazione canonica per un grafico $y=g(x)$ è $(t, g(t))$ ).
Verso sbagliato: se la curva va da $B$ ad $A$ e la si parametrizza da $A$ a $B$ , il risultato ha il segno opposto. Su un segmento percorso "all'indietro" si può integrare con gli estremi scambiati (da $t = 1$ a $t = 0$ ).

Versione ripasso

Campo vettoriale: Funzione $\mathbf{f}(x, y) = (M, N)$ .
Integrale di linea (lavoro): $\int_C \mathbf{f} \cdot d\mathbf{r} = \int_a^b \mathbf{f}(\mathbf{r}(t)) \cdot \mathbf{r}'(t) \, dt = \int_C M \, dx + N \, dy$
Interpretazione: Somma della proiezione del campo sulla tangente ( $\int_C \mathbf{f} \cdot \mathbf{t} \, ds$ ).
Esempi: $(-y, x)$ su $y = x^2$ , $x \in [0, 1]$ : $\int_0^1 t^2\,dt = \frac13$ . Sulla circonferenza di raggio $a$ (antioraria): campo radiale $(x, y)$ lavoro $0$ ; campo rotazionale $(-y, x)$ lavoro $2\pi a^2$ .
Campi gradiente: il lavoro dipende solo dagli estremi (Campi conservativi e funzione potenziale).
Proprietà: L'integrale cambia segno se si inverte l'orientamento di $C$ , ma non dipende dalla parametrizzazione scelta (a parità di verso); è additivo sui pezzi della curva.