Zeri, poli e teorema dell'indicatore logaritmico

Prerequisiti: Serie di Laurent e singolarità isolateLe serie di Laurent permettono di sviluppare in serie di potenze funzioni analitiche in una corona circolare, includendo potenze negative (parte principale). Le singolarità isolate si classificano in eliminabili, poli (tramite l'ordine del polo) o essenziali in base al comportamento dei coefficienti della parte principale.Serie di Laurent e singolarità isolate →, Teorema dei residuiIl teorema dei residui permette di calcolare integrali di funzioni complesse su curve chiuse sfruttando il coefficiente $a_{-1}$ della serie di Laurent attorno alle singolarità isolate. Il residuo in un polo semplice si calcola come $\lim_{z \to z_0} (z-z_0)f(z)$, mentre per poli di ordine $n$ si usa la formula di derivazione.Teorema dei residui →, Serie di potenze e serie di TaylorLe serie di potenze sono serie di funzioni della forma $\sum a_n(x-x_0)^n$. Esse convergono assolutamente all'interno del raggio di convergenza $\rho$ e uniformemente nei compatti interni, permettendo l'integrazione e la derivazione termine a termine.Serie di potenze e serie di Taylor →.

Il teorema dei residui calcola un integrale quando si conoscono i residui. Qui si fa il contrario: si guarda un integrale molto particolare, $\oint f'/f\,dz$, il cui valore non richiede nessun calcolo di residui ma solo il conteggio di zeri e poli di $f$ dentro la curva.

Zeri di una funzione olomorfa e loro ordine

Sia $f$ olomorfa in un intorno di $z_0$ con $f(z_0)=0$. Lo sviluppo di Taylor di $f$ in $z_0$ è $f(z)=a_0+a_1(z-z_0)+a_2(z-z_0)^2+\dots$ con $a_0=0$. Se $f$ non è identicamente nulla vicino a $z_0$, esiste un primo coefficiente non nullo $a_k$ (con $k\ge1$), e allora

$$f(z)=(z-z_0)^k g(z),\qquad g(z)=a_k+a_{k+1}(z-z_0)+\dots,\quad g(z_0)=a_k\ne0.$$

Definizione. Il numero $k$ si chiama ordine (o molteplicità) dello zero $z_0$. Equivalentemente $f(z_0)=f'(z_0)=\dots=f^{(k-1)}(z_0)=0$ e $f^{(k)}(z_0)\neq0$ (perché $a_j=f^{(j)}(z_0)/j!$).

Uno zero di ordine 1 si dice semplice. Esempi:

• $f(z)=z^2+1=(z-i)(z+i)$ ha due zeri semplici, $\pm i$.
• $f(z)=\sin z$ ha zeri semplici in $k\pi$ (la derivata $\cos k\pi=\pm1\ne0$).
• $f(z)=e^z-1$ si annulla in $2\pi i k$ e, siccome la derivata $e^z$ vale $1$ lì, sono zeri semplici. In $z=0$: $e^z-1=z+\frac{z^2}{2}+\dots=z\,(1+\frac z2+\dots)$.
• $f(z)=1-\cos z=\frac{z^2}{2}-\frac{z^4}{24}+\dots$ ha in $0$ uno zero di ordine $2$: i coefficienti di $1$ e di $z$ sono nulli, quello di $z^2$ no.

Teorema degli zeri isolati. Se $f$ è olomorfa su un dominio connesso e non è identicamente nulla, ogni suo zero è isolato: esiste un intorno bucato di $z_0$ in cui $f\neq0$.

Perché. Vicino a $z_0$ si ha $f=(z-z_0)^kg$ con $g(z_0)\ne0$; per continuità $g\ne0$ in un intorno di $z_0$, e il fattore $(z-z_0)^k$ si annulla solo in $z_0$. Una conseguenza: una funzione olomorfa che si annulla su una successione di punti che si accumula in un punto del dominio è identicamente nulla. Per le funzioni di variabile reale non è vero (per esempio $x^2\sin(1/x)$ non ha zeri isolati vicino a $0$, ma non è analitica).

Poli e loro ordine, in termini di zeri

Un polo di ordine $m$ in $z_0$ (vedi Serie di Laurent e singolarità isolateLe serie di Laurent permettono di sviluppare in serie di potenze funzioni analitiche in una corona circolare, includendo potenze negative (parte principale). Le singolarità isolate si classificano in eliminabili, poli (tramite l'ordine del polo) o essenziali in base al comportamento dei coefficienti della parte principale.Serie di Laurent e singolarità isolate →) è una singolarità in cui $f(z)=\dfrac{h(z)}{(z-z_0)^m}$ con $h$ olomorfa e $h(z_0)\neq0$. Quindi:

• $z_0$ è un polo di ordine $m$ per $f$ se e solo se è uno zero di ordine $m$ per $1/f$;
• per una funzione razionale $f=P/Q$, dopo aver semplificato i fattori comuni, gli zeri di $P$ sono gli zeri di $f$ e gli zeri di $Q$ i suoi poli, con le stesse molteplicità.

Esempio. $f(z)=\dfrac{z^2-1}{z(z-1)}$. Scomponendo, $f(z)=\dfrac{(z-1)(z+1)}{z(z-1)}=\dfrac{z+1}{z}$ per $z\ne1$. In $z=1$ numeratore e denominatore si annullano, ma il fattore $(z-1)$ si semplifica: la singolarità è eliminabile (il limite vale $2$) e quel punto non è né uno zero né un polo. Zeri di $f$: $z=-1$ (semplice). Poli: $z=0$ (semplice).

La derivata logaritmica

Si chiama derivata logaritmica il rapporto $f'/f$ (è la derivata di "$\log f$"). Si calcola lo sviluppo vicino a uno zero o a un polo.

Vicino a uno zero di ordine $k$. Da $f=(z-z_0)^kg$ con $g(z_0)\neq0$, derivando $f'=k(z-z_0)^{k-1}g+(z-z_0)^kg'$ e dividendo per $f$: $$\frac{f'}{f}=\frac{k}{z-z_0}+\frac{g'}{g}.$$ Il secondo addendo è olomorfo vicino a $z_0$ (perché $g\ne0$ lì). Dunque $f'/f$ ha in $z_0$ un polo semplice con residuo $k$.

Vicino a un polo di ordine $m$. Da $f=(z-z_0)^{-m}h$ con $h(z_0)\ne0$ lo stesso calcolo, con $k=-m$, dà $$\frac{f'}{f}=\frac{-m}{z-z_0}+\frac{h'}{h}:$$ polo semplice con residuo $-m$.

In sintesi: $\operatorname{Res}\left(\dfrac{f'}{f},z_0\right)=\text{ordine di }f\text{ in }z_0$, positivo per uno zero, negativo per un polo. Ovunque altrove (dove $f$ è olomorfa e non nulla) $f'/f$ è olomorfa.

Il teorema dell'indicatore logaritmico

Teorema. Sia $f$ meromorfa in un aperto che contiene una curva chiusa semplice $\gamma$, percorsa in senso antiorario, e la regione che essa racchiude. Se $f$ non ha né zeri né poli su $\gamma$, allora $$\frac1{2\pi i}\oint_\gamma\frac{f'(z)}{f(z)}\,dz=N-P,$$ dove $N$ è il numero degli zeri e $P$ il numero dei poli di $f$ dentro $\gamma$, ciascuno contato tante volte quanto è il suo ordine.

Perché. Per il Teorema dei residuiIl teorema dei residui permette di calcolare integrali di funzioni complesse su curve chiuse sfruttando il coefficiente $a_{-1}$ della serie di Laurent attorno alle singolarità isolate. Il residuo in un polo semplice si calcola come $\lim_{z \to z_0} (z-z_0)f(z)$, mentre per poli di ordine $n$ si usa la formula di derivazione.Teorema dei residui → l'integrale è $2\pi i$ per la somma dei residui di $f'/f$ nei punti interni; gli unici punti singolari di $f'/f$ sono zeri e poli di $f$, e i loro residui sono $+k$ e $-m$.

Significato geometrico. Se $\gamma(t)$ è la curva, $f(\gamma(t))$ è una curva chiusa nel piano $w$ e $\oint_\gamma\frac{f'}{f}dz=\oint_{f\circ\gamma}\frac{dw}{w}$: $N-P$ è il numero di giri che la curva immagine fa attorno all'origine.

Esempio 1 (polinomio). $f(z)=z^2+1$ su $\gamma:|z|=2$. Entrambi gli zeri $\pm i$ sono interni, nessun polo: $N-P=2$. Con il calcolo diretto: $\frac{f'}{f}=\frac{2z}{z^2+1}=\frac1{z-i}+\frac1{z+i}$ e l'integrale è $2\pi i+2\pi i=4\pi i$, cioè $2\pi i\cdot2$ ✓.

Esempio 2 (con molteplicità). $f(z)=\dfrac{(z-1)^2}{z(z+2)}$.

• Zeri: $z=1$ di ordine $2$. Poli: $z=0$ e $z=-2$, semplici.
• Su $|z|=3$ (tutto interno): $N-P=2-2=0$, quindi $\oint\frac{f'}{f}dz=0$.
• Su $|z|=\frac12$ (solo $0$ interno): $N-P=0-1=-1$, quindi l'integrale vale $-2\pi i$.
• Su $|z-1|=\frac12$ (solo $z=1$ interno): $N-P=2$, integrale $4\pi i$.

Esempio 3 (singolarità eliminabile). Per $f(z)=\dfrac{z^2-1}{z(z-1)}$ su $|z|=3$: l'unico zero è $-1$ e l'unico polo è $0$ (il punto $1$ è eliminabile e non si conta): $N-P=1-1=0$. Contare lo zero $z=1$ del numeratore senza contare il corrispondente zero del denominatore darebbe un risultato sbagliato, $2-1=1$ (se si contano entrambi i contributi $+1$ e $-1$ si compensano e il risultato torna $0$, ma è più sicuro semplificare prima).

Curva percorsa in senso orario. Basta cambiare segno: $\oint_{\gamma^-}\frac{f'}{f}dz=-2\pi i\,(N-P)$.

Come si usa

1. Si trovano zeri e poli di $f$ (per le funzioni razionali: si semplifica la frazione, poi si scompongono numeratore e denominatore).
2. Si decide quali stanno dentro la curva (con il confronto dei moduli, per una circonferenza $|z-c|=R$: $|z_j-c|<R$).
3. Si calcola $N-P$ con le molteplicità e si moltiplica per $2\pi i$ (con il segno dell'orientamento).

Gli esercizi ricorrenti chiedono anche di determinare zeri, singolarità e classificarle. Un esempio svolto, con una cancellazione nascosta, è in Esercizio - zeri, poli e indicatore logaritmico (tema d'esame settembre 2013).

Errori comuni

• Contare le singolarità eliminabili come zeri o come poli: prima di tutto si semplificano i fattori comuni tra numeratore e denominatore.
• Dimenticare la molteplicità: un polo doppio conta $2$, uno zero triplo conta $3$.
• Contare punti fuori dalla curva o dimenticare che zeri o poli sulla curva rendono l'integrale non definito.
• Sbagliare il segno: vale $N-P$ (zeri meno poli), con curva antioraria.