Integrali doppi e teorema di Fubini

Prerequisiti: Integrale definito di RiemannL'integrale definito di f limitata su [a,b] è il limite delle somme di Cauchy-Riemann (somme di aree di rettangoli), se esiste finito e uguale per ogni scelta dei punti; equivale a sup delle somme inferiori = inf delle somme superiori. Se f ≥ 0 è l'area del trapezoide, in generale area sopra l'asse meno area sotto. Sono integrabili le funzioni continue, monotone, continue a tratti; la funzione di Dirichlet no.Integrale definito di Riemann →, Topologia di RnIn Rn la distanza tra due punti è la norma euclidea della differenza, ‖X − Y‖ = √(Σ(xi − yi)²). Con le palle aperte B(X0, r) si classificano i punti rispetto a un insieme D (interni, esterni, di frontiera, di accumulazione, isolati) e si definiscono insiemi aperti, chiusi, limitati, compatti (= chiusi e limitati) e connessi per archi.Topologia di Rn →.

Definizione di integrale doppio su rettangolo

Sia $f: R \to \mathbb{R}$ una funzione definita su un rettangolo $R = [a, b] \times [c, d]$. L'integrale doppio è la naturale estensione dell'integrale di Riemann unidimensionale: esso rappresenta, nel caso di $f(x, y) \ge 0$, il volume del solido compreso tra il dominio $R$ e il grafico della funzione.

Definizione. Data una funzione limitata $f$ su un rettangolo $R$, si consideri una partizione $P$ di $R$ in sotto-rettangoli $R_{ij}$. Siano $m_{ij} = \inf_{(x,y) \in R_{ij}} f(x, y)$ e $M_{ij} = \sup_{(x,y) \in R_{ij}} f(x, y)$. Definiamo le somme di Darboux:

• Somma inferiore: $s_f(P) = \sum_{i,j} m_{ij} \cdot \text{Area}(R_{ij})$
• Somma superiore: $S_f(P) = \sum_{i,j} M_{ij} \cdot \text{Area}(R_{ij})$ La funzione $f$ è integrabile se $\sup_P \{s_f(P)\} = \inf_P \{S_f(P)\}$. Il valore comune è l'integrale doppio $\iint_R f(x, y) \, dx \, dy$.

L'idea è la stessa delle somme di Riemann in una variabile: si approssima il solido con parallelepipedi di base $R_{ij}$ e altezza $m_{ij}$ (per difetto) o $M_{ij}$ (per eccesso); raffinando la partizione le due approssimazioni si avvicinano.

Le funzioni continue su rettangoli chiusi e limitati sono sempre integrabili. Non tutte le funzioni limitate lo sono: la funzione di Dirichlet su $[0,1]\times[0,1]$, che vale $0$ nei punti con entrambe le coordinate razionali e $1$ altrove, ha somme inferiori sempre $0$ e superiori sempre $1$ (ogni rettangolino contiene punti dei due tipi), quindi non è integrabile.

Esempio. Se $f(x,y) = C$ è costante su $R = [a,b] \times [c,d]$, tutte le somme valgono $C\,(b-a)(d-c)$: l'integrale è $C \cdot \text{Area}(R)$, il volume di un parallelepipedo.

Proprietà (come in una variabile):

• linearità: $\iint_D (\alpha f + \beta g) = \alpha\iint_D f + \beta\iint_D g$;
• monotonia: se $f \leq g$ su $D$, allora $\iint_D f \leq \iint_D g$; in particolare $\left|\iint_D f\right| \leq \iint_D |f|$;
• additività sul dominio: se $D = D_1 \cup D_2$ e $D_1 \cap D_2$ ha area nulla (per esempio è un segmento o un arco di curva), $\iint_D f = \iint_{D_1} f + \iint_{D_2} f$;
• media: se $f$ è continua e $D$ è compatto e connesso, esiste $P_0 \in D$ con $\iint_D f = f(P_0)\cdot\text{Area}(D)$.

Estensione a domini generici

Per integrare su un insieme $D$ non rettangolare, si definisce l'estensione $\tilde{f}$: $$\tilde{f}(x, y) = \begin{cases} f(x, y) & (x, y) \in D \\ 0 & (x, y) \in R \setminus D \end{cases}$$ dove $R$ è un rettangolo tale che $D \subseteq R$ (il risultato non dipende dal rettangolo scelto, perché fuori da $D$ si integra $0$). Si pone $\iint_D f(x, y) \, dx \, dy = \iint_R \tilde{f}(x, y) \, dx \, dy$. Un insieme $D$ si dice misurabileinsieme per cui la funzione costante 1 è integrabile e la sua area è data da $\text{Area}(D) = \iint_D 1 \, dx \, dy$.

Domini normali e Teorema di Fubini

Il calcolo pratico si basa sulla scomposizione dell'integrale doppio in due integrali in una variabile.

Teorema (di Fubini). Se $f$ è continua su un dominio semplice $D$, l'integrale doppio può essere calcolato come integrale iterato:

• Se $D$ è Y-semplice: $D = \{ (x,y) : x \in [a,b], \, g_1(x) \leq y \leq g_2(x) \}$ $$\iint_D f(x,y) \, dx \, dy = \int_a^b \left( \int_{g_1(x)}^{g_2(x)} f(x,y) \, dy \right) dx$$
• Se $D$ è X-semplice: $D = \{ (x,y) : y \in [c,d], \, h_1(y) \leq x \leq h_2(y) \}$ $$\iint_D f(x,y) \, dx \, dy = \int_c^d \left( \int_{h_1(y)}^{h_2(y)} f(x,y) \, dx \right) dy$$

(con $g_1 \le g_2$ e $h_1 \le h_2$ funzioni continue).

Come si legge. Nel caso y-semplice si fissa $x$ e si integra in $y$ lungo il segmento verticale che va dalla curva inferiore $y = g_1(x)$ a quella superiore $y = g_2(x)$: il risultato è l'area della "fetta" del solido sopra quel segmento, una funzione di $x$ sola. Poi si sommano le fette integrando in $x$. Durante l'integrale interno $x$ si tratta come una costante.

Un dominio che si può scomporre in un numero finito di domini semplici si dice regolare; si integra pezzo per pezzo e si somma.

Caso del rettangolo e funzioni a variabili separate. Su $[a,b]\times[c,d]$ gli estremi sono costanti e l'ordine è indifferente. Se inoltre $f(x,y) = u(x)\,v(y)$, l'integrale si spezza nel prodotto: $$\iint_{[a,b]\times[c,d]} u(x)v(y)\,dx\,dy = \int_a^b u(x)\,dx \cdot \int_c^d v(y)\,dy$$ Esempio: $\iint_{[0,1]\times[0,2]} x\,y^2 = \frac12 \cdot \frac83 = \frac43$.

Esempio su un dominio y-semplice

$\iint_D 2x^2y \, dx\,dy$ con $D = \{0 \le x \le 1,\ x + 1 \le y \le 2\}$ (il triangolo tra la retta $y = x + 1$ e la retta $y = 2$).

1. Integrale interno, con $x$ fissato: $\displaystyle\int_{x+1}^{2} 2x^2 y\,dy = x^2\left[y^2\right]_{x+1}^{2} = x^2\left(4 - (x+1)^2\right) = 3x^2 - 2x^3 - x^4$.
2. Integrale esterno: $\displaystyle\int_0^1 (3x^2 - 2x^3 - x^4)\,dx = 1 - \frac12 - \frac15 = \frac{3}{10}$.

Area di un dominio

Con $f = 1$ l'integrale interno è la lunghezza del segmento verticale, $g_2(x) - g_1(x)$, e si ritrova la formula di Analisi 1 per l'area tra due grafici: $\text{Area}(D) = \int_a^b (g_2(x) - g_1(x))\,dx$. Per la regione tra $y = x^2$ e $y = x$ (che si incontrano in $x = 0$ e $x = 1$, con $x \geq x^2$ in mezzo): $\int_0^1 (x - x^2)\,dx = \frac12 - \frac13 = \frac16$.

Esempio di inversione dell'ordine

Si voglia calcolare $\iint_D \sin(y^3) \, dx \, dy$ con $D = \{0 \le x \le 1, \sqrt{x} \le y \le 1\}$. L'ordine $dy \, dx$ porterebbe a $\int_0^1 (\int_{\sqrt{x}}^1 \sin(y^3) \, dy) \, dx$, non risolvibile elementarmente ($\sin(y^3)$ non ha una primitiva esprimibile con funzioni elementari).

Interpretiamo $D$ come X-semplice. $D$ è la regione sopra la curva $y = \sqrt{x}$, cioè $x = y^2$, e sotto $y = 1$, con $0 \leq x \leq 1$. Fissato $y \in [0, 1]$, i punti di $D$ su quella orizzontale vanno da $x = 0$ (asse $y$) a $x = y^2$ (la curva). Quindi $D = \{0 \le y \le 1, 0 \le x \le y^2\}$. $$\int_0^1 \left( \int_0^{y^2} \sin(y^3) \, dx \right) dy = \int_0^1 y^2 \sin(y^3) \, dy = \left[ -\frac{1}{3} \cos(y^3) \right]_0^1 = \frac{1}{3}(1 - \cos(1))$$

L'integrale interno in $x$ è banale perché $\sin(y^3)$ non dipende da $x$: vale $\sin(y^3)\cdot y^2$. Il fattore $y^2$ che compare è proprio la derivata di $y^3$ (a meno di $\frac13$), e rende possibile l'integrale esterno con la sostituzione $t = y^3$.

Altri esercizi: Esercizi - integrali doppi in coordinate polari (dopo Cambio di variabili negli integrali doppi e coordinate polariSe Φ(u, v) = (x, y) è C¹, iniettiva (salvo insiemi di area nulla) con det JΦ ≠ 0, allora ∬D f dx dy = ∬D' f(Φ(u, v)) |det JΦ(u, v)| du dv: il fattore |det J| misura come Φ dilata le aree. Trasformazioni lineari: |det A| costante (ellisse: area πab). Coordinate polari x = r cos θ, y = r sin θ: dx dy = r dr dθ, adatte a dischi, corone e settori. Applicazioni: area, massa, baricentro, momento d'inerzia.Cambio di variabili negli integrali doppi e coordinate polari →).

Errori comuni

• Scambiare l'ordine senza ridisegnare il dominio: gli estremi nuovi si ricavano dal disegno di $D$, non scambiando quelli vecchi.
• Confusione negli estremi: Se l'ordine di integrazione è $dy \, dx$, gli estremi dell'integrale interno devono essere funzioni di $x$ (o costanti), mentre quelli esterni devono essere costanti.
• Insiemi non misurabili: Non tutti gli insiemi delimitati da curve sono misurabili secondo Riemann (es. insiemi con frontiere frattali); tuttavia, nel contesto dei corsi base, si considerano solo domini regolari (unione finita di domini semplici).