Antitrasformata zeta

Data $X(z)$ con la sua ROC $R_X$ si vuole risalire a $x[n]$. Il problema ha una soluzione unica solo se si conosce la ROC (si veda Trasformata zeta - definizione e regione di convergenzaLa trasformata zeta bilatera X(z) = Σ x[n] z^{-n} associa a una sequenza una funzione della variabile complessa z, definita nella regione di convergenza (ROC), sempre una corona circolare |z| in (R1, R2). Segnale a durata finita: ROC tutto il piano (tranne eventualmente 0 e ∞); causale: |z| > R1 (teorema di Abel); anticausale: |z| < R2; bilatero: intersezione, se non vuota. La stessa espressione algebrica con ROC diverse è la trasformata di segnali diversi: la ROC fa parte della trasformata. Sulla circonferenza unitaria, se è nella ROC, X(e^{jθ}) è la trasformata di Fourier. Le ROC non contengono poli.Trasformata zeta - definizione e regione di convergenza →): la stessa espressione può appartenere a segnali diversi. Il termine inglese è inverse z-transform. I metodi si vedono nel caso generale e poi per le funzioni razionali, che sono quelle dei sistemi LTI (Funzione di sistema, poli, zeri e stabilitàLa funzione di sistema H(z) è la trasformata zeta della risposta impulsiva: con ingresso z^n l'uscita è H(z) z^n. Per un FIR H(z) = Σ b_k z^{-k} è un polinomio con M zeri e M poli in z = 0; in generale H = B(z)/A(z) dall'equazione alle differenze. Sulla circonferenza unitaria H(e^{jω̂}) è la risposta in frequenza: |H| = prodotto delle distanze dagli zeri / prodotto delle distanze dai poli, quindi gli zeri bloccano frequenze e i poli le esaltano. Un LTI causale è BIBO stabile se e solo se tutti i poli hanno modulo < 1 (a meno di cancellazioni polo-zero); i FIR sono sempre stabili.Funzione di sistema, poli, zeri e stabilità →).

Formula di inversione

Si calcola $X(z)$ su una circonferenza di raggio $r$ nella ROC, $z=re^{j\theta}$: $$X(re^{j\theta})=\sum_nx[n]r^{-n}e^{-jn\theta},$$ che è la trasformata di Fourier della sequenza $x[n]r^{-n}$ (Trasformata di Fourier a tempo discretoLa trasformata di Fourier di un segnale discreto è $S(f)=\sum_nT,s(nT),e^{-i2\pi fnT}$: una funzione continua e periodica in $f$ di periodo $F_p=1/T$. L'antitrasformata è l'integrale su un periodo, $s(nT)=\int_0^{F_p}S(f)e^{i2\pi fnT}df$. Le regole sono quelle del caso continuo (traslazione, convoluzione $\leftrightarrow$ prodotto, Parseval $\sum T|s|^2=\int_0^{F_p}|S|^2$), con incremento e somma corrente al posto di derivata e integrale. Per segnali reali $S(f)=S^*(-f)$, quindi basta $[0,F_p/2]$. Esempi: $\delta\to1$, $1\to\delta_{F_p}$, rect $\to$ sinc periodico, $a^n\mathbf 1_0\to\frac T{1-ae^{-i2\pi fT}}$.Trasformata di Fourier a tempo discreto →). Applicando la formula di inversione di quest'ultima, $x[n]r^{-n}=\frac1{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}X(re^{j\theta})e^{jn\theta}d\theta$, cioè $$x[n]=\frac1{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}X(re^{j\theta})\,(re^{j\theta})^{n}\,d\theta.$$ Con la sostituzione $z=re^{j\theta}$, $d\theta=\frac{dz}{jz}$, l'integrale diventa un integrale di linea complesso sulla circonferenza percorsa in senso antiorario.

Formula (inversione della zeta). $x[n]=\dfrac1{2\pi j}\displaystyle\oint_CX(z)\,z^{n-1}\,dz$, con $C$ una qualsiasi curva chiusa semplice, antioraria, che circonda l'origine e sta dentro la ROC (per il teorema di Cauchy il risultato non dipende dalla curva: Integrale di linea complesso e teorema di CauchyL'integrale di una funzione complessa lungo una curva $z(t)$, $t\in[a,b]$, vale $\int_C f(z),dz=\int_a^b f(z(t)),z'(t),dt$ e dipende in generale dal cammino. Se $f$ è olomorfa in un dominio semplicemente connesso l'integrale su ogni curva chiusa è nullo (teorema di Cauchy), l'integrale dipende solo dagli estremi e vale $F(z_1)-F(z_0)$ con $F'=f$. Si può deformare il cammino senza attraversare singolarità: $\oint\frac{dz}{z-z_0}=2\pi i$ per ogni curva che gira una volta attorno a $z_0$.Integrale di linea complesso e teorema di Cauchy →).

Per il teorema dei residui (Teorema dei residuiIl teorema dei residui permette di calcolare integrali di funzioni complesse su curve chiuse sfruttando il coefficiente $a_{-1}$ della serie di Laurent attorno alle singolarità isolate. Il residuo in un polo semplice si calcola come $\lim_{z \to z_0} (z-z_0)f(z)$, mentre per poli di ordine $n$ si usa la formula di derivazione.Teorema dei residui →) l'integrale è la somma dei residui di $X(z)z^{n-1}$ nei poli dentro $C$: $x[n]=\sum_{p_k\text{ in }C}\mathrm{Res}\big[X(z)z^{n-1}\big]_{z=p_k}$, con $\mathrm{Res}[F]_{z=p}=\lim_{z\to p}(z-p)F(z)$ per un polo semplice.

Esempio. $X(z)=\frac1{1-0{,}5z^{-1}}$, $\lvert z\rvert>0{,}5$: $X(z)z^{n-1}=\frac{z^n}{z-0{,}5}$. Per $n\ge0$ l'unico polo dentro $C$ è $0{,}5$, residuo $0{,}5^n$: $x[n]=0{,}5^n$ ($n\ge0$). Per $n<0$ compare anche un polo in $z=0$ di ordine $-n$ e la somma dei residui dà $0$ (la ROC è esterna: segnale causale). Nella pratica il calcolo con i residui si usa poco: si usano i metodi seguenti.

Ispezione e scelta della ROC

L'ispezione (inspection) consiste nel riconoscere nell'espressione di $X(z)$ le coppie note (vedi la tabella in Proprietà della trasformata zetaProprietà della zeta bilatera con le ROC: linearità (ROC ⊇ intersezione), ritardo x[n-n0] → z^{-n0}X(z) (unilatera: + termini iniziali), convoluzione → prodotto, stabilità BIBO ⇔ circonferenza unitaria nella ROC di H, coniugato X*(z*), inversione temporale X(1/z) con ROC invertita, derivazione n x[n] → -z X'(z), moltiplicazione per a^n → X(z/a) (ROC scalata di |a|), teoremi del valore iniziale e finale (ipotesi sul polo in 1). Con la tabella delle coppie notevoli.Proprietà della trasformata zeta →). I poli non stanno nella ROC e la ROC è connessa, quindi i poli separano le ROC possibili: ogni polo che sta fuori dalla ROC (cioè $\lvert z\rvert<\lvert p\rvert$ nella ROC) dà una componente anticausale, ogni polo dentro ($\lvert z\rvert>\lvert p\rvert$) una componente causale.

Esempio (tre ROC per la stessa $X$). $X(z)=\dfrac1{1-0{,}5z^{-1}}+\dfrac1{1-2z^{-1}}$, poli in $0{,}5$ e $2$ (e zeri in $0$ e in $\frac{0{,}5+2}2=1{,}25$: $X=\frac{z(2z-2{,}5)}{(z-0{,}5)(z-2)}$; le slide del corso ne citano solo uno). Tre ROC possibili:

• $\lvert z\rvert<0{,}5$: entrambi i poli sono fuori: $x[n]=-(0{,}5)^nu[-n-1]-2^nu[-n-1]$ (anticausale);
• $0{,}5<\lvert z\rvert<2$: il polo $0{,}5$ è dentro, il $2$ fuori: $x[n]=(0{,}5)^nu[n]-2^nu[-n-1]$ (bilatero);
• $\lvert z\rvert>2$: entrambi dentro: $x[n]=\big[(0{,}5)^n+2^n\big]u[n]$ (causale).

Si è verificato numericamente in un punto di ciascuna ROC che la somma della serie corrispondente coincide con $X(z)$. Solo la ROC intermedia contiene la circonferenza unitaria: è l'unica con trasformata di Fourier.

Funzioni razionali e divisione lunga

Si lavora con $$X(z)=\frac{P}{Q}=\frac{\sum_{k=0}^{M}b_kz^{-k}}{\sum_{k=0}^{N}a_kz^{-k}},\qquad a_0\ne0.$$ Per avere un'unica soluzione si cerca il segnale causale, la cui ROC è l'esterno del cerchio del polo di modulo maggiore. Condizione necessaria: nessuna singolarità all'infinito, $X(\infty)=b_0/a_0$ finito.

Divisione lunga (long division). Si divide $P$ per $Q$ ottenendo uno sviluppo in serie di potenze di $z^{-1}$ (causale) i cui coefficienti sono i campioni: $X(z)=x[0]+x[1]z^{-1}+x[2]z^{-2}+\dots$. È un metodo numerico: dà i primi campioni ma non la legge generale.

Esempio. $\frac1{1-0{,}5z^{-1}}=1+0{,}5z^{-1}+0{,}25z^{-2}+0{,}125z^{-3}+\dots$, quindi $x[n]=0{,}5^nu[n]$. Per una ROC interna ($\lvert z\rvert<0{,}5$) si divide in potenze crescenti di $z$: $\frac1{1+0{,}5z^{-1}}=2z-4z^2+8z^3-\dots$ per $\lvert z\rvert<0{,}5$, cioè $x[n]=-(-0{,}5)^nu[-n-1]$ (nel punto $z=0{,}1$ la serie somma a $\frac16$, come $X$, verificato). Per un FIR la divisione è banale: $X(z)=\sum b_kz^{-k}$ e i campioni sono i coefficienti, $x[n]=b_n$.

Frazioni parziali

Poli semplici, $M<N$. Se i poli non nulli $p_1,\dots,p_N$ sono distinti e $X$ è propria (grado del numeratore minore del denominatore, come polinomi in $z^{-1}$), si scrive $$X(z)=\sum_{k=1}^{N}\frac{A_k}{1-p_kz^{-1}},\qquad A_k=\Big[(1-p_kz^{-1})X(z)\Big]_{z=p_k}$$ (si moltiplica per il fattore del polo e si valuta in quel polo: gli altri termini si annullano). Per ispezione, con ROC $\lvert z\rvert>\max\lvert p_k\rvert$: $$x[n]=\sum_{k=1}^{N}A_k\,p_k^{\,n}\,u[n].$$ Ogni polo contribuisce con un modo $p_k^n$ moltiplicato per il proprio residuo $A_k$ (residue).

Esempio svolto. $X(z)=\dfrac1{(1-z^{-1})(1-0{,}5z^{-1})}$, causale. $A_1=\big[(1-z^{-1})X\big]_{z=1}=\frac1{1-0{,}5}=2$; $A_2=\big[(1-0{,}5z^{-1})X\big]_{z=0{,}5}=\frac1{1-2}=-1$. Quindi $X=\frac2{1-z^{-1}}-\frac1{1-0{,}5z^{-1}}$ e $x[n]=\big[2-0{,}5^n\big]u[n]$: $1;\ 1{,}5;\ 1{,}75;\ 1{,}875;\dots\to2$ (verificato con scipy.signal.residuez e con la ricorsione). Il polo in $z=1$ dà il valore costante $2$ a regime.

Caso improprio, $M\ge N$. Come nei polinomi, si divide: $X(z)=\sum_{k=0}^{M-N}c_kz^{-k}+\sum_{k=1}^{N}\frac{A_k}{1-p_kz^{-1}}$, e $$x[n]=\sum_{k=0}^{M-N}c_k\,\delta[n-k]+\sum_kA_kp_k^nu[n].$$ Esempio. $\frac{1+2z^{-1}+3z^{-2}}{1-0{,}5z^{-1}}=-16-6z^{-1}+\frac{17}{1-0{,}5z^{-1}}$, quindi $x[n]=-16\delta[n]-6\delta[n-1]+17(0{,}5)^nu[n]$: $1;\ 2{,}5;\ 4{,}25;\ 2{,}125;\dots$ (verificato).

Poli multipli. Con un polo doppio in $p$ entrano i termini $\frac{A}{1-pz^{-1}}+\frac{B}{(1-pz^{-1})^2}$, e si usa $n\,p^nu[n]\leftrightarrow\frac{pz^{-1}}{(1-pz^{-1})^2}$. La coppia utile è $\frac1{(1-pz^{-1})^2}\leftrightarrow(n+1)p^nu[n]$. Esempio. $\frac1{(1-0{,}5z^{-1})^2}$: $x[n]=(n+1)0{,}5^nu[n]=1;\ 1;\ 0{,}75;\ 0{,}5;\ 0{,}3125;\dots$ (verificato).

Poli complessi coniugati. Per un'$X$ reale i poli complessi vengono a coppie $p,p^*$ con residui coniugati e la somma dei due modi è reale: $r^n\cos(\omega_0n+\varphi)$ con $r=\lvert p\rvert$ e $\omega_0=\angle p$. Esempio. $X(z)=\frac1{1-z^{-1}+0{,}5z^{-2}}$ ha poli $0{,}5(1\pm j)=\frac1{\sqrt2}e^{\pm j\pi/4}$ (modulo $0{,}707<1$: stabile) e $x[n]=\frac{(1/\sqrt2)^n\sin((n+1)\pi/4)}{\sin(\pi/4)}u[n]=1;\ 1;\ 0{,}5;\ 0;\ -0{,}25;\ -0{,}25;\dots$ (verificato): oscillazione di periodo $8$ campioni e decadimento $0{,}707^n$. Attenzione all'angolo dei poli: il polinomio $z^2-az+r^2$ ha poli $re^{\pm j\omega_0}$ con $\cos\omega_0=\frac a{2r}$. Per esempio $1-0{,}9\cos(\frac\pi4)z^{-1}+0{,}81z^{-2}$ ha $r=0{,}9$ ma $\omega_0=\arccos\frac{0{,}9\cos(\pi/4)}{2\cdot0{,}9}=\arccos0{,}354=1{,}209$ rad $=69{,}3^\circ$ e non $\frac\pi4$ (il coefficiente $0{,}9\cos\frac\pi4$ contiene $\cos\omega_0$ moltiplicato per $2r$, non per $r$).

In Python

import numpy as np
from scipy.signal import residuez, lfilter

b, a = [1], [1, -1.5, 0.5]                   # coefficienti in potenze di z^-1
r, p, k = residuez(b, a)                      # residui A_k, poli p_k, parte diretta
print(r, p, k)                                # [-1, 2], [0.5, 1], []
n = np.arange(12)
x_pf = np.real(sum(rk * pk**n for rk, pk in zip(r, p)))
imp = np.zeros(12); imp[0] = 1
x_imp = lfilter(b, a, imp)                    # risposta impulsiva = antitrasformata causale
print(np.allclose(x_pf, x_imp))               # True

lfilter(b, a, δ) risolve la ricorsione $y[n]=1{,}5\,y[n-1]-0{,}5\,y[n-2]+\delta[n]$ e dà direttamente la risposta impulsiva, cioè l'antitrasformata causale (è ciò che in MATLAB fa impz); residuez è la scomposizione in frazioni parziali (come in MATLAB).

Domande d'esame

1. Spiegare come si calcola l'antitrasformata zeta di una funzione razionale, specificando il ruolo della ROC. Traccia: serve la ROC; per il causale ROC esterna al polo massimo e nessuna singolarità all'infinito; scomposizione in frazioni parziali con $A_k=[(1-p_kz^{-1})X]_{z=p_k}$; $x[n]=\sum A_kp_k^nu[n]$; parte polinomiale se il grado del numeratore è $\ge$ del denominatore; poli doppi e complessi; per ROC bilatere, componenti causali dai poli interni e anticausali dagli esterni; verifica con la divisione lunga.
2. Esistono più segnali con la stessa espressione di $X(z)$? Esempio. Traccia: $\frac1{1-az^{-1}}$ con ROC $\lvert z\rvert>\lvert a\rvert$ e $<\lvert a\rvert$; con due poli, tre ROC e tre segnali; solo una contiene $\lvert z\rvert=1$.