Esercizio - Riconoscere i sistemi dalla risposta in frequenza

Testo (esercitazione del corso Multimedia Signal Processing, UniPD, lezione 24, esercizio 2.2 sui filtri IIR). Per ciascuno dei sei grafici A-F della figura (modulo della risposta in frequenza, asse in radianti da $-\pi$ a $\pi$) dire quale dei seguenti otto sistemi lo produce:

1. $H(z)=\dfrac{1-z^{-2}}{1+0{,}64z^{-2}}$
2. $H(z)=1+z^{-1}+z^{-2}$
3. $H(z)=\dfrac{1+z^{-1}}{1-0{,}9z^{-1}}$
4. $H(z)=z^{-1}-z^{-4}$
5. $y[n]=x[n]-x[n-1]$
6. $y[n]=-0{,}8y[n-1]+x[n]+x[n-2]$
7. $y[n]=-0{,}5y[n-2]+x[n-1]$
8. $y[n]=0{,}8y[n-1]+0{,}5x[n]$

Le figure (non riprodotte qui) mostrano, per $\hat\omega\in[-\pi,\pi]$:

• A: massimo $10$ in $\pm\pi$, zeri in $\pm\frac\pi2$ ($\approx\pm1{,}57$), valore $\approx1{,}1$ in $\hat\omega=0$.
• B: due picchi alti (circa $5{,}5$) in $\pm\frac\pi2$, zeri in $0$ e in $\pm\pi$.
• C: zeri in $0$ e $\pm2{,}09$ ($\frac{2\pi}3$), massimo $2$.
• D: massimo $3$ in $0$, zeri in $\pm2{,}09$, valore $1$ in $\pm\pi$.
• E: due massimi $2$ in $\pm\frac\pi2$, minimo $0{,}667$ in $0$ e $\pm\pi$.
• F: zero in $0$, massimo $2$ in $\pm\pi$ (crescita regolare).

Teoria usata: Funzione di sistema, poli, zeri e stabilitàLa funzione di sistema H(z) è la trasformata zeta della risposta impulsiva: con ingresso z^n l'uscita è H(z) z^n. Per un FIR H(z) = Σ b_k z^{-k} è un polinomio con M zeri e M poli in z = 0; in generale H = B(z)/A(z) dall'equazione alle differenze. Sulla circonferenza unitaria H(e^{jω̂}) è la risposta in frequenza: |H| = prodotto delle distanze dagli zeri / prodotto delle distanze dai poli, quindi gli zeri bloccano frequenze e i poli le esaltano. Un LTI causale è BIBO stabile se e solo se tutti i poli hanno modulo < 1 (a meno di cancellazioni polo-zero); i FIR sono sempre stabili.Funzione di sistema, poli, zeri e stabilità →, Risposta in frequenza dei sistemi FIRSe all'ingresso di un FIR c'è un esponenziale complesso A e^{jφ} e^{jω̂n} (per ogni n), l'uscita è lo stesso esponenziale moltiplicato per H(ω̂) = Σ b_k e^{-jω̂k}: la frequenza non cambia, ampiezza e fase sono modificate da |H| (guadagno) e ∠H (sfasamento). Per sovrapposizione si trattano somme di sinusoidi. H è periodica di periodo 2π e, per coefficienti reali, hermitiana (|H| pari, fase dispari). La cascata ha H = H1·H2. Esempi: ritardo (fase lineare), differenza prima (passa-alto), {1,2,1} (passa-basso), media mobile di L punti (Dirichlet: |H| = |sin(Lω̂/2)/(L sin(ω̂/2))|, fase lineare -(L-1)ω̂/2).Risposta in frequenza dei sistemi FIR →, Filtri IIR - definizione e confronto con i FIRUn filtro IIR (infinite impulse response) è un sistema LTI descritto da $y[n]=\sum_{\ell=1}^{N}a_\ell y[n-\ell]+\sum_{k=0}^{M}b_kx[n-k]$: l'uscita usa anche le uscite passate (retroazione), per questo si chiama ricorsivo. Con le condizioni di riposo iniziale è LTI, $H(z)=\frac{\sum b_kz^{-k}}{1-\sum a_\ell z^{-\ell}}$ è un rapporto di polinomi, l'ordine è $N$ (numero di poli) e la risposta impulsiva ha durata infinita. Nel primo ordine $y[n]=a_1y[n-1]+b_0x[n]$ si ha $h[n]=b_0a_1^nu[n]$, ROC $|z|>|a_1|$, stabile se $|a_1|<1$; il gradino dà $b_0\frac{1-a_1^{n+1}}{1-a_1}\to\frac{b_0}{1-a_1}$. Si implementa iterando l'equazione alle differenze, non con la convoluzione. Rispetto ai FIR gli IIR rispettano le stesse specifiche di modulo con ordine molto più basso, ma possono essere instabili e non hanno fase lineare. Progetto: per tentativi (notch), con la trasformazione $s\to z$ dai filtri analogici, o con ottimizzazione numerica.Filtri IIR - definizione e confronto con i FIR →, Filtri notch e applicazioni dei filtri FIRUno zero di H(z) sulla circonferenza unitaria in z0 = e^{j w0} annulla (a regime) le sinusoidi alla pulsazione w0. Per eliminare un coseno servono i due zeri coniugati: H(z) = (1 - e^{jw0} z^-1)(1 - e^{-jw0} z^-1) = 1 - 2 cos(w0) z^-1 + z^-2, cioè h = {1, -2cos w0, 1}, un FIR simmetrico di tipo I (ritardo 1). Si normalizza dividendo per 2 - 2cos(w0) per avere guadagno 1 in continua; più toni si eliminano mettendo in cascata (convoluzione) un filtro per ogni tono. Segue una panoramica delle applicazioni dei FIR (equalizzazione audio), vantaggi (fase lineare, stabilità) e costo (N moltiplicazioni per campione, molte più di un IIR).Filtri notch e applicazioni dei filtri FIR →.

Metodo: leggere poli e zeri

Per un sistema con $H(z)=B(z)/A(z)$ la risposta in frequenza si ottiene con $z=e^{j\hat\omega}$ e il modulo è il prodotto delle distanze dagli zeri diviso il prodotto delle distanze dai poli (ciascuno misurato dal punto $e^{j\hat\omega}$ sulla circonferenza):

• uno zero sulla circonferenza in $e^{j\hat\omega_1}$ annulla il modulo in $\hat\omega_1$;
• un polo vicino alla circonferenza in $re^{j\hat\omega_1}$ con $r$ vicino a $1$ crea un picco in $\hat\omega_1$, alto circa $\frac1{1-r}$ nel caso di un solo polo.

Quindi per ogni sistema si cerca: dove sono gli zeri, dove stanno i poli, quanto vale il modulo nei punti $0$, $\frac\pi2$, $\frac{2\pi}3$, $\pi$. Prima si riscrivono i sistemi 5-8 come funzioni di sistema.

Calcoli per i singoli sistemi

Come si ottengono le funzioni di sistema (si trasforma con $Y(z)=\dots$):

• (5): $Y=(1-z^{-1})X$.
• (6): $Y(1+0{,}8z^{-1})=(1+z^{-2})X$.
• (7): $Y(1+0{,}5z^{-2})=z^{-1}X$.
• (8): $Y(1-0{,}8z^{-1})=0{,}5X$.

Alcuni valori a mano: sistema 6 in $\hat\omega=\pi$: $\frac{1+1}{1-0{,}8}=10$; in $0$: $\frac{2}{1{,}8}=1{,}11$; in $\frac\pi2$ il numeratore $1+e^{-j\pi}=0$. Sistema 7 in $\frac\pi2$: $|1+0{,}5e^{-j\pi}|=0{,}5$, quindi $|H|=\frac1{0{,}5}=2$; in $0$: $\frac1{1{,}5}=0{,}667$. Sistema 1 in $\frac\pi2$: $\frac{|1-e^{-j\pi}|}{|1+0{,}64e^{-j\pi}|}=\frac2{0{,}36}=5{,}56$. Sistema 4: $z^{-1}-z^{-4}=z^{-1}(1-z^{-3})$, e $|1-e^{-j3\hat\omega}|$ si annulla per $3\hat\omega=2\pi k$, cioè $\hat\omega=0,\pm\frac{2\pi}3$, con massimo $2$.

Associazione

• A (picco $10$ in $\pi$, zeri in $\pm\frac\pi2$, $1{,}1$ in $0$) $\to$ 6.
• B (picchi in $\pm\frac\pi2$, zeri in $0,\pm\pi$) $\to$ 1.
• C (zeri in $0,\pm\frac{2\pi}3$, massimo $2$) $\to$ 4.
• D (massimo $3$ in $0$, zeri in $\pm\frac{2\pi}3$) $\to$ 2.
• E (massimi $2$ in $\pm\frac\pi2$, minimo $0{,}667$) $\to$ 7.
• F (zero in $0$, massimo $2$ in $\pi$) $\to$ 5.

Coincide con la soluzione del corso ($A\to6$, $C\to4$, $E\to7$, $B\to1$, $D\to2$, $F\to5$). I sistemi 3 e 8 non corrispondono a nessun grafico: sono passa-basso del primo ordine (massimi $20$ e $2{,}5$ in $\hat\omega=0$) che non compaiono. I valori della tabella sono calcolati con scipy.signal.freqz.