Esercizio - Train your brain 5 - risposta impulsiva da ingresso e uscita

Testo ("Train your brain #5", lezione 7 del corso Multimedia Signal Processing, UniPD). Un sistema causale riceve l'ingresso $x[n]=(\frac12)^nu[n]$ e produce l'uscita $y[n]=(\frac13)^nu[n]$. Calcolare $h[n]$.

Teoria usata: Proprietà della trasformata zetaProprietà della zeta bilatera con le ROC: linearità (ROC ⊇ intersezione), ritardo x[n-n0] → z^{-n0}X(z) (unilatera: + termini iniziali), convoluzione → prodotto, stabilità BIBO ⇔ circonferenza unitaria nella ROC di H, coniugato X*(z*), inversione temporale X(1/z) con ROC invertita, derivazione n x[n] → -z X'(z), moltiplicazione per a^n → X(z/a) (ROC scalata di |a|), teoremi del valore iniziale e finale (ipotesi sul polo in 1). Con la tabella delle coppie notevoli.Proprietà della trasformata zeta → (convoluzione $\to$ prodotto, ritardo, ROC), Funzione di sistema, poli, zeri e stabilitàLa funzione di sistema H(z) è la trasformata zeta della risposta impulsiva: con ingresso z^n l'uscita è H(z) z^n. Per un FIR H(z) = Σ b_k z^{-k} è un polinomio con M zeri e M poli in z = 0; in generale H = B(z)/A(z) dall'equazione alle differenze. Sulla circonferenza unitaria H(e^{jω̂}) è la risposta in frequenza: |H| = prodotto delle distanze dagli zeri / prodotto delle distanze dai poli, quindi gli zeri bloccano frequenze e i poli le esaltano. Un LTI causale è BIBO stabile se e solo se tutti i poli hanno modulo < 1 (a meno di cancellazioni polo-zero); i FIR sono sempre stabili.Funzione di sistema, poli, zeri e stabilità →, Antitrasformata zetaPer tornare da X(z) a x[n] serve anche la ROC. Formula di inversione x[n] = (1/2πj)∮ X(z)z^{n-1}dz (somma dei residui). Nella pratica: ispezione (riconoscere coppie note, scegliendo la ROC), divisione lunga (sviluppo in serie di potenze), frazioni parziali per le razionali. Causale con poli semplici p_k: X = Σ A_k/(1-p_k z^-1) con A_k = [(1-p_k z^-1)X]_{z=p_k}, x[n] = Σ A_k p_k^n u[n]; se il grado del numeratore in z^-1 è ≥ di quello del denominatore c'è anche una parte polinomiale (impulsi). Poli doppi: n a^n u[n]; poli complessi coniugati: r^n cos(ω0 n + φ).Antitrasformata zeta →.

Svolgimento

Nel dominio $n$, $y=x*h$ non si inverte facilmente (si dovrebbe "deconvolvere"). Con la zeta la convoluzione è un prodotto, $Y(z)=H(z)X(z)$, e quindi $H=\frac YX$. Trasformate (esponenziali causali, Trasformata zeta - definizione e regione di convergenzaLa trasformata zeta bilatera X(z) = Σ x[n] z^{-n} associa a una sequenza una funzione della variabile complessa z, definita nella regione di convergenza (ROC), sempre una corona circolare |z| in (R1, R2). Segnale a durata finita: ROC tutto il piano (tranne eventualmente 0 e ∞); causale: |z| > R1 (teorema di Abel); anticausale: |z| < R2; bilatero: intersezione, se non vuota. La stessa espressione algebrica con ROC diverse è la trasformata di segnali diversi: la ROC fa parte della trasformata. Sulla circonferenza unitaria, se è nella ROC, X(e^{jθ}) è la trasformata di Fourier. Le ROC non contengono poli.Trasformata zeta - definizione e regione di convergenza →): $$X(z)=\frac1{1-\frac12z^{-1}},\ \ \lvert z\rvert>\tfrac12;\qquad Y(z)=\frac1{1-\frac13z^{-1}},\ \ \lvert z\rvert>\tfrac13.$$ Allora $$H(z)=\frac{Y}{X}=\frac{1-\frac12z^{-1}}{1-\frac13z^{-1}}.$$ Un solo polo in $z=\frac13$ e uno zero in $z=\frac12$. Il sistema è causale (dato), quindi la ROC di $H$ è l'esterno del cerchio del suo polo: $\lvert z\rvert>\frac13$. (Nello svolgimento a lezione si indica $\lvert z\rvert>\frac12$: è una ROC ammissibile in senso lato, ma non la regione di convergenza di $H$; il polo è solo in $\frac13$, quindi per un sistema causale la ROC è $\lvert z\rvert>\frac13$. La differenza non cambia la risposta.)

Antitrasformata. Si separano i due termini del numeratore: $H=\dfrac1{1-\frac13z^{-1}}-\dfrac12\,z^{-1}\dfrac1{1-\frac13z^{-1}}$. Il primo è $(\frac13)^nu[n]$; il secondo, per la linearità e il ritardo di un campione ($z^{-1}\leftrightarrow n\to n-1$), è $-\frac12(\frac13)^{n-1}u[n-1]$. Quindi $$h[n]=\Big(\frac13\Big)^nu[n]-\frac12\Big(\frac13\Big)^{n-1}u[n-1].$$ Per $n=0$ resta solo il primo termine, $h[0]=1$. Per $n\ge1$: $(\frac13)^n-\frac12\cdot3(\frac13)^n=(\frac13)^n(1-\frac32)=-\frac12(\frac13)^n$. Quindi $$h[0]=1,\qquad h[n]=-\tfrac12\big(\tfrac13\big)^n\ \ (n\ge1):\quad 1;\ -\tfrac16;\ -\tfrac1{18};\ -\tfrac1{54};\dots$$ (verificato con la ricorsione lfilter: $1;\ -0{,}1667;\ -0{,}0556;\ -0{,}0185;\dots$).

Verifica. Con questa $h$ e $x[n]=(\frac12)^nu[n]$ la convoluzione dà $(\frac13)^n$ (errore massimo $7\cdot10^{-18}$ sui primi $12$ campioni). Equazione alle differenze: $Y(1-\frac13z^{-1})=X(1-\frac12z^{-1})$, cioè $$y[n]-\tfrac13\,y[n-1]=x[n]-\tfrac12\,x[n-1].$$ Controllo diretto sul campione $n=1$: $y[1]=\frac13y[0]+x[1]-\frac12x[0]=\frac13+\frac12-\frac12=\frac13$ ✓.

Stabilità. Polo $\frac13$ dentro il cerchio unitario: stabile, $\sum\lvert h\rvert=1+\frac12\cdot\frac{1/3}{1-1/3}=1{,}25$. Osservazione: lo zero di $H$ in $z=\frac12$ cancella il polo di $X$ in $z=\frac12$, per questo $Y$ ha un solo polo ($\frac13$) e la ROC di $Y$ ($\lvert z\rvert>\frac13$) è più grande dell'intersezione $R_X\cap R_H=\{\lvert z\rvert>\frac12\}$ (una cancellazione polo-zero può allargare la ROC del prodotto).