Esercizio - Fase lineare e zeri dei filtri FIR

Testo (esercizio di ripasso sulle lezioni 11 e 13 del corso Multimedia Signal Processing, UniPD; dati scelti dall'esempio delle slide). Sono dati cinque FIR causali: $$h_1=\{3,1,-4,1,3\},\quad h_2=\{1,2,3,3,2,1\},\quad h_3=\{1,2,0,-2,-1\},\quad h_4=\{2,3,-3,-2\},\quad h_5=\{1,2,3,2\}.$$

1. Per ciascuno dire se ha fase lineare; in caso affermativo indicare il tipo (I-IV), l'ordine $N$, il ritardo di gruppo e quali zeri in $z=\pm1$ sono forzati; verificare calcolando $H(1)$ e $H(-1)$.
2. Fattorizzare $h_2$, $h_3$, $h_4$ come prodotto di $(1+z^{-1})$, $(1-z^{-2})$ o $(1-z^{-1})$ per un tipo I.
3. Costruire un FIR di tipo II di ordine $3$ con zeri in $e^{\pm j\pi/3}$.
4. Quali di questi filtri possono essere passa-basso? Passa-alto?

Teoria usata: Sistemi a fase lineare e assenza di distorsioneUn sistema non deforma il segnale se y[n] = K x[n-n0]: modulo costante e fase lineare -n0 w, cioè ritardo di gruppo costante n0. Un sistema reale e causale ha fase lineare (generalizzata) se e solo se è FIR con risposta impulsiva simmetrica h[n] = h[N-n] (ampiezza pari, fase -N w/2) o antisimmetrica h[n] = -h[N-n] (ampiezza dispari, fase -N w/2 + pi/2). Il ritardo di gruppo è N/2: intero se N è pari (vale la condizione di non distorsione), semi-intero se N è dispari (uscita interpolata e ritardata). Un IIR causale non può essere simmetrico, quindi non ha fase lineare esatta.Sistemi a fase lineare e assenza di distorsione →, Filtri FIR a fase lineare - tipi e zeriI FIR a fase lineare di ordine N si dividono in quattro tipi: I (N pari, h simmetrica), II (N dispari, simmetrica), III (N pari, antisimmetrica), IV (N dispari, antisimmetrica). Si scrive H = e^{-jwN/2} e^{jb} A(w), con A somma di coseni (tipi I e II) o di seni (III e IV). Dalla relazione H(z) = ±z^{-N} H(1/z) segue che gli zeri vengono in gruppi (z0, z0*, 1/z0, 1/z0*) e che ci sono zeri forzati: tipo II in z = -1, tipo III in z = 1 e z = -1, tipo IV in z = 1, tipo I nessuno. Quindi II non fa passa-alto, III non fa passa-basso né passa-alto, IV non fa passa-basso. Ogni tipo II, III, IV è un tipo I moltiplicato per (1+z^-1), (1-z^-2), (1-z^-1).Filtri FIR a fase lineare - tipi e zeri →, Funzione di sistema, poli, zeri e stabilitàLa funzione di sistema H(z) è la trasformata zeta della risposta impulsiva: con ingresso z^n l'uscita è H(z) z^n. Per un FIR H(z) = Σ b_k z^{-k} è un polinomio con M zeri e M poli in z = 0; in generale H = B(z)/A(z) dall'equazione alle differenze. Sulla circonferenza unitaria H(e^{jω̂}) è la risposta in frequenza: |H| = prodotto delle distanze dagli zeri / prodotto delle distanze dai poli, quindi gli zeri bloccano frequenze e i poli le esaltano. Un LTI causale è BIBO stabile se e solo se tutti i poli hanno modulo < 1 (a meno di cancellazioni polo-zero); i FIR sono sempre stabili.Funzione di sistema, poli, zeri e stabilità →.

Punto 1: tipo, ritardo e zeri forzati

Si controlla la simmetria $h[n]=\pm h[N-n]$ e la lunghezza ($N+1$ campioni).

Calcoli: $H(1)=\sum h[n]$ e $H(-1)=\sum h[n](-1)^n$. Per $h_2$: $1-2+3-3+2-1=0$; per $h_3$: $1-2+0+2-1=0$; per $h_4$: $2-3-3+2=-2$ (e quindi $H(-1)\neq0$, perché il tipo IV non ha lo zero in $-1$). Il ritardo di gruppo calcolato numericamente (scipy.signal.group_delay) è costante e vale $2$, $2.5$, $2$, $1.5$ per $h_1,\dots,h_4$; per $h_5$ varia ($1.76$ in $0.3$ rad, $1.97$ in $1$ rad, $4.41$ in $2$ rad), quindi $h_5$ distorce la fase.

Nota su $h_1$. È di tipo I, quindi il tipo non forza zeri in $\pm1$; ma può averne: qui $H(-1)=3-1-4-1+3=0$ per i valori scelti. Basta cambiare un coefficiente (per esempio $\{1,2,3,2,1\}$ ha $H(-1)=1$) per perdere lo zero: non è un vincolo del tipo. Gli zeri di $h_1$ sono $-1$ (doppio) e $0.8333\pm0.5528j$, che sta sulla circonferenza ($\lvert\cdot\rvert=1$); la coppia è coniugata e coincide con la propria reciproca, come previsto.

Punto 2: fattorizzazioni

Si divide per il fattore noto (divisione di polinomi in $z^{-1}$):

• $h_2=\{1,2,3,3,2,1\}=(1+z^{-1})\{1,1,2,1,1\}$, con $\{1,1,2,1,1\}$ simmetrico di ordine $4$ (tipo I);
• $h_3=\{1,2,0,-2,-1\}=(1-z^{-2})\{1,2,1\}$, con il tipo I $\{1,2,1\}=(1+z^{-1})^2$ (ordine $2$): zero semplice in $z=1$ e triplo in $z=-1$ ($1$ dal fattore $1-z^{-2}$ e $2$ dal tipo I), come confermano le radici calcolate con np.roots;
• $h_4=\{2,3,-3,-2\}=(1-z^{-1})\{2,5,2\}$ con $\{2,5,2\}$ di tipo I (ordine $2$), di zeri $-2$ e $-0.5$ (coppia reale reciproca: $(-2)(-0.5)=1$).

Le ampiezze di conseguenza: $A_{h_2}=2\cos\frac{\hat\omega}2\,A_I$, $A_{h_3}=2\sin\hat\omega\,A_I$, $A_{h_4}=2\sin\frac{\hat\omega}2A_I$, con $A_I$ ampiezza del fattore di tipo I.

Punto 3: tipo II con zeri in $e^{\pm j\pi/3}$

Un tipo II di ordine $3$ ha $4$ coefficienti, quindi $3$ zeri: uno è forzato in $z=-1$, gli altri due sono la coppia coniugata $e^{\pm j\pi/3}$ (sulla circonferenza: coppia coniugata, già reciproca di se stessa). Il polinomio è $$H(z)=(1+z^{-1})(1-e^{j\pi/3}z^{-1})(1-e^{-j\pi/3}z^{-1})=(1+z^{-1})\big(1-2\cos\tfrac\pi3z^{-1}+z^{-2}\big)=(1+z^{-1})(1-z^{-1}+z^{-2})=1+z^{-3},$$ cioè $h=\{1,0,0,1\}$, simmetrica con $N=3$ (tipo II) ✓. Gli zeri di $1+z^{-3}$ sono le soluzioni di $z^3=-1$: $-1$, $e^{\pm j\pi/3}$ ✓ (verificato con np.roots). La risposta è $H=e^{-j3\hat\omega/2}\,2\cos(3\hat\omega/2)$: ritardo $1.5$ campioni, ampiezza che si annulla in $\hat\omega=\pi/3,\ \pi$.

Punto 4: filtri selettivi

Si guarda $A(0)$ e $A(\pi)$:

• $h_1$ (tipo I): senza vincoli; $H(1)=4\ne0$ e $H(-1)=0$: ha guadagno non nullo in $0$ e nullo in $\pi$, quindi può essere un passa-basso.
• $h_2$ (tipo II): $H(-1)=0$, $H(1)=12$: passa-basso, mai passa-alto.
• $h_3$ (tipo III): $H(1)=H(-1)=0$: né passa-basso né passa-alto; compatibile con un passa-banda (ampiezza $A=2\sin\hat\omega\,(\dots)$).
• $h_4$ (tipo IV): $H(1)=0$, $H(-1)=-2$: passa-alto, mai passa-basso.
• $h_5$: nessuna conclusione sulla fase lineare; come selettività, $H(1)=8$ e $H(-1)=0$ (è passa-basso, ma distorce la fase).