Esercizio - Train your brain 2 - cascata di sistemi e risposta in frequenza

Testo ("Train your brain #2", lezione 3 del corso Multimedia Signal Processing, UniPD). (1) Tre sistemi in cascata, $S_1$: $y_1[n]=x_1[n]-x_1[n-1]$; $S_2$: $y_2[n]=x_2[n]+x_2[n-2]$; $S_3$: $y_3[n]=x_3[n-1]+x_3[n-2]$, con $x_2=y_1$, $x_3=y_2$, $y=y_3$: determinare il sistema equivalente come una sola operazione da $x[n]$ a $y[n]$. (2) Un sistema LTI ha coefficienti $\{b_k\}=\{1,2,1\}$: calcolare modulo e fase della risposta in frequenza.

Teoria usata: Sistemi LTI e convoluzione discretaUn sistema lineare e tempo-invariante (LTI) è completamente descritto dalla sua risposta impulsiva h[n]: y[n] = Σ x[k] h[n-k] = x[n] * h[n] (somma di convoluzione). Si ricava scomponendo x in impulsi traslati e usando linearità e invarianza. La convoluzione è commutativa, associativa e distributiva; una cascata di LTI equivale a un solo filtro con h = h1 * h2 e l'ordine non conta. Se x ha lunghezza N e h lunghezza L, y ha lunghezza N+L-1. Si calcola col metodo della finestra scorrevole o a tabella. I FIR sono LTI; altri sistemi (n·x[n], x[-n], x²) non lo sono.Sistemi LTI e convoluzione discreta → (cascata e convoluzione con impulsi), Risposta in frequenza dei sistemi FIRSe all'ingresso di un FIR c'è un esponenziale complesso A e^{jφ} e^{jω̂n} (per ogni n), l'uscita è lo stesso esponenziale moltiplicato per H(ω̂) = Σ b_k e^{-jω̂k}: la frequenza non cambia, ampiezza e fase sono modificate da |H| (guadagno) e ∠H (sfasamento). Per sovrapposizione si trattano somme di sinusoidi. H è periodica di periodo 2π e, per coefficienti reali, hermitiana (|H| pari, fase dispari). La cascata ha H = H1·H2. Esempi: ritardo (fase lineare), differenza prima (passa-alto), {1,2,1} (passa-basso), media mobile di L punti (Dirichlet: |H| = |sin(Lω̂/2)/(L sin(ω̂/2))|, fase lineare -(L-1)ω̂/2).Risposta in frequenza dei sistemi FIR → (modulo e fase, prodotto in cascata).

1 - cascata di tre sistemi

Svolgimento. Le risposte impulsive sono le uscite per $x=\delta[n]$: $h_1[n]=\delta[n]-\delta[n-1]$, $h_2[n]=\delta[n]+\delta[n-2]$, $h_3[n]=\delta[n-1]+\delta[n-2]$. La cascata ha $h=h_1*h_2*h_3$ (associativa: si può fare in qualunque ordine). Si usa la regola $\delta[n-a]*\delta[n-b]=\delta[n-a-b]$ (gli indici si sommano) insieme alla distributività.

Primo prodotto. $h_1*h_2=(\delta[n]-\delta[n-1])*(\delta[n]+\delta[n-2])=\delta[n]+\delta[n-2]-\delta[n-1]-\delta[n-3]$, cioè $\{1,-1,1,-1\}$ (la tabella a colonne lo conferma: righe $\{1,-1,0,0\}$ e $\{0,0,1,-1\}$ sommate).

Secondo prodotto. $\{1,-1,1,-1\}*\{0,1,1\}$: la riga con $h_3[1]=1$ è $\{0,1,-1,1,-1,0\}$ e quella con $h_3[2]=1$ è $\{0,0,1,-1,1,-1\}$; sommate per colonna: $\{0,1,0,0,0,-1\}$. Quindi $$h[n]=\delta[n-1]-\delta[n-5],$$ e la convoluzione con un impulso trasla l'ingresso: $$y[n]=x[n]*h[n]=x[n-1]-x[n-5].$$ Tre filtri in cascata si riducono a una differenza tra due ritardi (verificato con numpy.convolve). Anche nel dominio della frequenza: $H=H_1H_2H_3=(1-e^{-j\hat\omega})(1+e^{-j2\hat\omega})(e^{-j\hat\omega}+e^{-j2\hat\omega})=e^{-j\hat\omega}-e^{-j5\hat\omega}$ (verificato numericamente in $\hat\omega=0{,}7$), con modulo $\lvert H\rvert=2\lvert\sin2\hat\omega\rvert$ (si raccoglie $e^{-j3\hat\omega}$: $e^{-j\hat\omega}-e^{-j5\hat\omega}=e^{-j3\hat\omega}\cdot2j\sin2\hat\omega$): il sistema blocca $\hat\omega=0,\pm\frac\pi2,\pi$.

2 - risposta in frequenza di $\{1,2,1\}$

Svolgimento. $\mathcal H(\hat\omega)=\sum_kb_ke^{-j\hat\omega k}=1+2e^{-j\hat\omega}+e^{-j2\hat\omega}$. Si raccoglie il ritardo centrale $e^{-j\hat\omega}$ (i coefficienti sono simmetrici rispetto a $k=1$): $$\mathcal H=e^{-j\hat\omega}\big(e^{j\hat\omega}+2+e^{-j\hat\omega}\big)=e^{-j\hat\omega}\,(2+2\cos\hat\omega),$$ usando $e^{j\hat\omega}+e^{-j\hat\omega}=2\cos\hat\omega$. Il fattore $2+2\cos\hat\omega$ è reale e non negativo per ogni $\hat\omega$ (il coseno non scende sotto $-1$), quindi è già il modulo e non ci sono salti di fase: $$\lvert\mathcal H(\hat\omega)\rvert=2+2\cos\hat\omega,\qquad\angle\mathcal H(\hat\omega)=-\hat\omega.$$ Passa-basso con fase lineare (ritardo di un campione). Valori: $\lvert\mathcal H(0)\rvert=4$, $\lvert\mathcal H(\frac\pi3)\rvert=3$, $\lvert\mathcal H(\frac\pi2)\rvert=2$, $\lvert\mathcal H(\pi)\rvert=0$. Se il fattore reale fosse negativo in qualche tratto, il modulo sarebbe il suo valore assoluto e si dovrebbe aggiungere $\pm\pi$ alla fase.