Esercizio - Train your brain 4 - trasformata zeta e ROC

Testo ("Train your brain #4", lezione 6 del corso Multimedia Signal Processing, UniPD). Sette casi di calcolo della trasformata zeta e della sua regione di convergenza (ROC): (1) sequenza a durata finita; (2) finestra rettangolare causale di lunghezza $M$; (3) esponenziale causale $a^nu[n]$; (4) esponenziale anticausale $a^nu[-n]$; (5) $-a^nu[-n-1]$; (6) sequenza bilatera $a^n$ per $n\ge0$ e $b^n$ per $n<0$; (7) tre serie che hanno lo stesso $R_1=1$ ma comportamenti diversi sulla circonferenza unitaria. Qui ogni caso è svolto e verificato con un esempio numerico.

Teoria usata: Trasformata zeta - definizione e regione di convergenzaLa trasformata zeta bilatera X(z) = Σ x[n] z^{-n} associa a una sequenza una funzione della variabile complessa z, definita nella regione di convergenza (ROC), sempre una corona circolare |z| in (R1, R2). Segnale a durata finita: ROC tutto il piano (tranne eventualmente 0 e ∞); causale: |z| > R1 (teorema di Abel); anticausale: |z| < R2; bilatero: intersezione, se non vuota. La stessa espressione algebrica con ROC diverse è la trasformata di segnali diversi: la ROC fa parte della trasformata. Sulla circonferenza unitaria, se è nella ROC, X(e^{jθ}) è la trasformata di Fourier. Le ROC non contengono poli.Trasformata zeta - definizione e regione di convergenza →, Serie notevoli - geometrica, telescopica, armonicaLe serie di cui si conosce il carattere e da usare come termine di paragone: geometrica (converge a 1/(1-q) se |q|<1), telescopiche (somma b_1 - lim b_n, come Mengoli), armonica generalizzata (1/n^alpha converge se e solo se alpha>1).Serie notevoli - geometrica, telescopica, armonica →, Criteri del rapporto e della radice per le seriePer una serie a termini positivi, se il limite di a_(n+1)/a_n (criterio del rapporto) o di radice n-esima di a_n (criterio della radice) è L < 1 la serie converge, se è L > 1 diverge; con L = 1 il criterio non dice nulla.Criteri del rapporto e della radice per le serie → (criterio del rapporto per $R_1$), Proprietà della trasformata zetaProprietà della zeta bilatera con le ROC: linearità (ROC ⊇ intersezione), ritardo x[n-n0] → z^{-n0}X(z) (unilatera: + termini iniziali), convoluzione → prodotto, stabilità BIBO ⇔ circonferenza unitaria nella ROC di H, coniugato X*(z*), inversione temporale X(1/z) con ROC invertita, derivazione n x[n] → -z X'(z), moltiplicazione per a^n → X(z/a) (ROC scalata di |a|), teoremi del valore iniziale e finale (ipotesi sul polo in 1). Con la tabella delle coppie notevoli.Proprietà della trasformata zeta →.

1 - sequenza a durata finita

Svolgimento. Se $x[n]\ne0$ solo per $N_1\le n\le N_2$, $X(z)=\sum_{n=N_1}^{N_2}x[n]z^{-n}$ è una somma finita di potenze di $z$, e converge per ogni $z$ tranne forse $z=0$ (se compare qualche $z^{-n}$ con $n>0$, cioè $N_2>0$) e $z=\infty$ (se compare qualche $z^{n}$, cioè $N_1<0$). Esempi: $\delta[n]$: $X=1$, ROC tutto il piano ($N_1=N_2=0$); $x=\{1,1\}$ per $n=0,1$: $X=1+z^{-1}$, ROC $\lvert z\rvert>0$ (zero in $z=-1$, un polo in $z=0$); $x$ con campioni in $n=-1,0$: $X=z+1$, ROC $\lvert z\rvert<\infty$ (zero in $z=-1$, polo all'infinito). I punti esclusi (0 e $\infty$) sono i punti in cui $X$ non converge.

2 - finestra rettangolare causale

Svolgimento. $x[n]=u[n]-u[n-M]$ vale $1$ per $n=0,\dots,M-1$. $X(z)=\sum_{n=0}^{M-1}z^{-n}=\dfrac{1-z^{-M}}{1-z^{-1}}$ (somma dei primi $M$ termini di una geometrica di ragione $z^{-1}$), ROC $\lvert z\rvert>0$. Per $M=5$: $X=1+z^{-1}+z^{-2}+z^{-3}+z^{-4}$, con $4$ zeri nelle radici quinte dell'unità diverse da $1$ ($e^{\pm j2\pi/5},e^{\pm j4\pi/5}$, tutte sulla circonferenza unitaria; verificato) e $4$ poli in $z=0$. Lo zero in $z=1$ del numeratore $1-z^{-M}$ è cancellato dal polo del denominatore: per questo $X(1)=M$ e non $0$.

3 - esponenziale causale

Svolgimento. $x[n]=a^nu[n]$ ($a\in\mathbb C$): $X=\sum_{n\ge0}(az^{-1})^n=\dfrac1{1-az^{-1}}=\dfrac z{z-a}$, convergente se $\lvert az^{-1}\rvert<1$, cioè $\lvert z\rvert>\lvert a\rvert$. Controllo con il criterio del rapporto: $R_1=\lim_n\left\lvert\frac{a^{n+1}}{a^n}\right\rvert=\lvert a\rvert$. Per $a=1$: $u[n]\to\frac1{1-z^{-1}}$, $\lvert z\rvert>1$.

4 - esponenziale anticausale $a^nu[-n]$

Svolgimento. $\sum_{n=-\infty}^{0}a^nz^{-n}=\sum_{m\ge0}(z/a)^m=\dfrac1{1-z/a}=\dfrac a{a-z}$ (si pone $n=-m$), convergente per $\lvert z/a\rvert<1$, cioè $\lvert z\rvert<\lvert a\rvert$. Controllo con $a=2$, $z=0{,}5$: $\sum_{m\ge0}(0{,}25)^m=\frac43$ e $\frac a{a-z}=\frac2{1{,}5}=\frac43$ (verificato).

5 - $-a^nu[-n-1]$

Svolgimento. $Y(z)=-\sum_{n=-\infty}^{-1}a^nz^{-n}=-\sum_{m\ge1}(z/a)^m=1-\sum_{m\ge0}(z/a)^m=1-\dfrac1{1-a^{-1}z}=\dfrac1{1-az^{-1}}$ per $\lvert z\rvert<\lvert a\rvert$ (si è aggiunto e tolto il termine $m=0$ per ricondursi alla geometrica completa). È la stessa espressione del caso 3, con ROC complementare: la ROC fa parte della trasformata. Controllo con $a=2$, $z=0{,}5$: $-\sum_{m\ge1}0{,}25^m=-\frac13$ e $\frac1{1-a z^{-1}}=\frac1{1-4}=-\frac13$ (verificato). Differenza con il caso 4: $a^nu[-n]$ include il campione $n=0$ ($=1$), $-a^nu[-n-1]$ no, e ha segno meno.

6 - sequenza bilatera

Testo. $x[n]=a^n$ per $n\ge0$, $b^n$ per $n<0$.

Svolgimento. Parte causale: $\frac1{1-az^{-1}}$, $\lvert z\rvert>\lvert a\rvert$. Parte anticausale: $\sum_{n=-\infty}^{-1}b^nz^{-n}=\sum_{m\ge1}(z/b)^m=\frac{z/b}{1-z/b}=\frac{b^{-1}z}{1-b^{-1}z}$, $\lvert z\rvert<\lvert b\rvert$. Quindi $$X(z)=\frac1{1-az^{-1}}+\frac{b^{-1}z}{1-b^{-1}z},\qquad\lvert a\rvert<\lvert z\rvert<\lvert b\rvert.$$ La ROC è non vuota solo se $\lvert a\rvert<\lvert b\rvert$; se $\lvert b\rvert<\lvert a\rvert$ la sequenza non ha trasformata zeta (le due ROC non si intersecano). Con $a=0{,}5$, $b=2$ la corona $0{,}5<\lvert z\rvert<2$ contiene la circonferenza unitaria (grafico in Trasformata zeta - definizione e regione di convergenzaLa trasformata zeta bilatera X(z) = Σ x[n] z^{-n} associa a una sequenza una funzione della variabile complessa z, definita nella regione di convergenza (ROC), sempre una corona circolare |z| in (R1, R2). Segnale a durata finita: ROC tutto il piano (tranne eventualmente 0 e ∞); causale: |z| > R1 (teorema di Abel); anticausale: |z| < R2; bilatero: intersezione, se non vuota. La stessa espressione algebrica con ROC diverse è la trasformata di segnali diversi: la ROC fa parte della trasformata. Sulla circonferenza unitaria, se è nella ROC, X(e^{jθ}) è la trasformata di Fourier. Le ROC non contengono poli.Trasformata zeta - definizione e regione di convergenza →).

7 - bordo della ROC

Testo. Verificare che con $R_1=1$ il criterio del rapporto non dice niente sulla circonferenza unitaria, considerando $\sum_{n\ge0}z^{-n}$, $\sum_{n\ge1}\frac1nz^{-n}$, $\sum_{n\ge1}\frac1{n^2}z^{-n}$.

Svolgimento. In tutti e tre i casi il limite del rapporto è $1$: $R_1=1$ e la ROC di partenza è $\lvert z\rvert>1$. Sul bordo $z=e^{j\theta}$ le tre serie si comportano diversamente:

• $\sum e^{-jn\theta}$: i termini hanno modulo $1$, non tendono a zero, la serie non converge per nessun $\theta$ (le somme parziali oscillano: per $\theta=\frac\pi3$ i valori sono $0{,}5-0{,}87j,\ -1{,}73j,\ -1-1{,}73j,\dots$, limitati ma non convergenti).
• $\sum\frac1ne^{-jn\theta}$: converge per $\theta\ne0$ (non assolutamente; vale $-\ln(1-e^{-j\theta})$, per $\theta=\frac\pi3$ risulta $-1{,}047j$, e le somme parziali a $100$ e $1000$ termini sono $-1{,}047j$ a meno di $10^{-2}$, verificato), mentre in $\theta=0$ è la serie armonica e diverge (con $2\cdot10^6$ termini la somma è $15{,}09\approx\ln N+0{,}577$, crescente senza limite). In $\theta=\pi$ vale $\sum\frac{(-1)^n}n=-\ln2=-0{,}693$.
• $\sum\frac1{n^2}e^{-jn\theta}$: converge assolutamente per ogni $\theta$ (in $\theta=0$ vale $\frac{\pi^2}6=1{,}645$).

Quindi la stessa ROC "aperta" $\lvert z\rvert>1$ può avere sul bordo nessun punto, tutti tranne uno, o tutti i punti: il criterio del rapporto individua solo il raggio.