Risposta a regime e transitorio

Nella nota Risposta in frequenza dei sistemi FIRSe all'ingresso di un FIR c'è un esponenziale complesso A e^{jφ} e^{jω̂n} (per ogni n), l'uscita è lo stesso esponenziale moltiplicato per H(ω̂) = Σ b_k e^{-jω̂k}: la frequenza non cambia, ampiezza e fase sono modificate da |H| (guadagno) e ∠H (sfasamento). Per sovrapposizione si trattano somme di sinusoidi. H è periodica di periodo 2π e, per coefficienti reali, hermitiana (|H| pari, fase dispari). La cascata ha H = H1·H2. Esempi: ritardo (fase lineare), differenza prima (passa-alto), {1,2,1} (passa-basso), media mobile di L punti (Dirichlet: |H| = |sin(Lω̂/2)/(L sin(ω̂/2))|, fase lineare -(L-1)ω̂/2).Risposta in frequenza dei sistemi FIR → l'ingresso era un esponenziale complesso presente da $-\infty$ a $+\infty$. Nella pratica nessun segnale esiste da sempre: parte a un certo istante. Qui si vede che il risultato resta valido dopo un breve transitorio. Il termine inglese: transient response è il transitorio, steady-state response la risposta a regime.

Esponenziale applicato all'istante zero

Teorema (regime e transitorio di un FIR). Sia $x[n]=Xe^{j\hat\omega n}u[n]$ (con $X=Ae^{j\phi}$) l'ingresso di un FIR di ordine $M$ con risposta impulsiva $h[k]$, $k=0,\dots,M$. L'uscita è $$y[n]=\begin{cases}0&n<0\\[2pt]\Big(\sum_{k=0}^{n}h[k]e^{-j\hat\omega k}\Big)Xe^{j\hat\omega n}&0\le n<M\\[2pt]\mathcal H(\hat\omega)\,Xe^{j\hat\omega n}&n\ge M\end{cases}$$

Perché. $y[n]=\sum_{k=0}^{M}h[k]\,Xe^{j\hat\omega(n-k)}u[n-k]$ e $u[n-k]=0$ per $k>n$: nella somma restano solo i termini con $k\le n$. Per $n<0$ nessun termine: $y[n]=0$ (causa e effetto). Per $0\le n<M$ restano i termini da $0$ a $n$: la somma è incompleta, il suo fattore dipende da $n$. Per $n\ge M$ restano tutti i $M+1$ termini, e la somma è proprio $\mathcal H(\hat\omega)$.

L'uscita ha dunque tre regioni:

1. $n<0$: ingresso nullo, uscita nulla;
2. $0\le n<M$: transitorio, lungo $M$ campioni (l'ordine del filtro): la finestra del filtro è ancora in parte sulla zona dove l'ingresso è zero;
3. $n\ge M$: regime (steady state): l'uscita coincide con quella del segnale bilatero, $y_{ss}[n]=\mathcal H(\hat\omega)Xe^{j\hat\omega n}$.

Per un ingresso reale $A\cos(\hat\omega n+\phi)u[n]$ lo stesso vale per sovrapposizione: dopo $M$ campioni il filtro risponde con $\lvert\mathcal H\rvert A\cos(\hat\omega n+\phi+\angle\mathcal H)$. Quando l'ingresso è una somma di sinusoidi tutte applicate in $n=0$, il regime inizia comunque a $n=M$.

Esempio svolto ($M=4$). $\{b_k\}=\{1,-2,4,-2,1\}$ e $x[n]=\cos(0{,}2\pi n-\pi)u[n]$. A $\hat\omega=0{,}2\pi$ il filtro ha $\mathcal H(0{,}2\pi)=e^{-j4\pi\cdot0{,}2}\,(4-4\cos0{,}2\pi+2\cos0{,}4\pi)=1{,}382\,e^{-j0{,}4\pi}$ (modulo $4-3{,}236+0{,}618=1{,}382$). Il regime è $y[n]=1{,}382\cos(0{,}2\pi n-\pi-0{,}4\pi)$ per $n\ge4$. Per $n=0,1,2,3$ l'uscita è la somma incompleta: confrontandola con la formula del regime la differenza è $-0{,}573;\ 2{,}309;\ -1{,}309;\ 0{,}809$, e da $n=4$ in poi vale esattamente $0$ (verificato con Python).

Esempio (filtro a 4 punti). Con $\frac14\sum_{k=0}^{3}x[n-k]$ e ingresso $[5+4\cos(0{,}2\pi n)+3\cos(0{,}5\pi n+\frac\pi4)]u[n]$ l'uscita è uguale a quella dell'ingresso bilatero per $n\ge3$ ($M=3$).

Transitorio: formula e limite

Si può scrivere il transitorio per un sistema qualsiasi (anche IIR) con ingresso $Xe^{j\hat\omega n}u[n]$. L'uscita è $y[n]=\sum_{k=0}^{n}h[k]Xe^{j\hat\omega(n-k)}$; aggiungendo e togliendo la coda della somma ($k>n$): $$y[n]=\underbrace{\mathcal H(\hat\omega)Xe^{j\hat\omega n}}_{y_{ss}[n]}\ \underbrace{-\ X\sum_{k=n+1}^{\infty}h[k]\,e^{j\hat\omega(n-k)}}_{y_t[n]},$$ quindi il transitorio è meno la coda della risposta impulsiva pesata dagli esponenziali, e $$\lvert y_t[n]\rvert\le\lvert X\rvert\sum_{k=n+1}^{\infty}\lvert h[k]\rvert .$$

• Se $h$ è FIR ($h[k]=0$ per $k>M$), la coda è vuota per $n\ge M$: $y_t[n]=0$, $y[n]=y_{ss}[n]$.
• Se $h$ è IIR ma assolutamente sommabile (sistema BIBO stabile, Funzione di sistema, poli, zeri e stabilitàLa funzione di sistema H(z) è la trasformata zeta della risposta impulsiva: con ingresso z^n l'uscita è H(z) z^n. Per un FIR H(z) = Σ b_k z^{-k} è un polinomio con M zeri e M poli in z = 0; in generale H = B(z)/A(z) dall'equazione alle differenze. Sulla circonferenza unitaria H(e^{jω̂}) è la risposta in frequenza: |H| = prodotto delle distanze dagli zeri / prodotto delle distanze dai poli, quindi gli zeri bloccano frequenze e i poli le esaltano. Un LTI causale è BIBO stabile se e solo se tutti i poli hanno modulo < 1 (a meno di cancellazioni polo-zero); i FIR sono sempre stabili.Funzione di sistema, poli, zeri e stabilità →), la coda $\sum_{k>n}\lvert h[k]\rvert$ tende a $0$ per $n\to\infty$ (è il resto di una serie convergente): il transitorio non si annulla mai esattamente ma $y_t[n]\to0$, e l'uscita tende al regime.
• Se $h$ non è assolutamente sommabile, il maggiorante non basta a controllare il transitorio: per esempio il polo fuori dal cerchio unitario, sotto, lo fa crescere.

Esempio: IIR del primo ordine

Il sistema $y[n]=a\,y[n-1]+b_0x[n]$ ha $h[n]=b_0a^nu[n]$ e $\mathcal H(\hat\omega)=\dfrac{b_0}{1-ae^{-j\hat\omega}}$ (serie geometrica di ragione $ae^{-j\hat\omega}$, per $\lvert a\rvert<1$). Con $x[n]=Xe^{j\hat\omega n}u[n]$: $$y[n]=b_0X\sum_{k=0}^{n}a^ke^{j\hat\omega(n-k)}=b_0Xe^{j\hat\omega n}\frac{1-(ae^{-j\hat\omega})^{n+1}}{1-ae^{-j\hat\omega}}=\underbrace{\mathcal H(\hat\omega)Xe^{j\hat\omega n}}_{\text{regime}}\ \underbrace{-\ \mathcal H(\hat\omega)X\,a^{n+1}e^{-j\hat\omega}}_{\text{transitorio}}.$$ Il transitorio è un esponenziale reale $a^n$: decade geometricamente se $\lvert a\rvert<1$ (la costante di tempo è circa $-1/\ln\lvert a\rvert$ campioni: $4{,}5$ per $a=0{,}8$), resta costante per $a=1$ e diverge per $\lvert a\rvert>1$. L'analisi del transitorio dice quindi se il sistema è stabile: il regime sinusoidale è un'informazione che vale solo se il transitorio si spegne.

Esempio numerico. $b_0=1$, $a=0{,}8$, $\hat\omega=\frac\pi4$, $x[n]=\cos(\frac\pi4n)u[n]$: $\mathcal H=\frac1{1-0{,}8e^{-j\pi/4}}=1{,}402\,e^{-j0{,}916}$. Il regime è $1{,}402\cos(\frac\pi4n-0{,}916)$; il transitorio vale $-1{,}402\cdot0{,}8^{n+1}\cos(-0{,}916-\frac\pi4)$, cioè $+0{,}1461$ in $n=0$, $0{,}1169$ in $n=1$, ... e al campione $n=11$ è già sotto l'$1\%$ del guadagno (verificato con la ricorsione).

(Il segno di $\cos(\angle\mathcal H-\hat\omega)$ è pari, quindi $\cos(0{,}916+\frac\pi4)=\cos(-0{,}916-\frac\pi4)$.)

Domande d'esame

1. Definire la risposta a regime e il transitorio di un sistema IIR del primo ordine $y[n]=a_1y[n-1]+b_0x[n]$ e commentare cosa si può dire sulla stabilità. Traccia: ingresso $Xe^{j\hat\omega n}u[n]$; $y[n]=\sum_{k=0}^{n}b_0a_1^kXe^{j\hat\omega(n-k)}$; serie geometrica e scomposizione in regime $\mathcal H(\hat\omega)Xe^{j\hat\omega n}$ e transitorio $-\mathcal H X a_1^{n+1}e^{-j\hat\omega}$; $\lvert a_1\rvert<1$: transitorio $\to0$ e il sistema è stabile; $\lvert a_1\rvert\ge1$: non si spegne, instabile o al limite; per i FIR il transitorio dura esattamente $M$ campioni.
2. Descrivere le tre regioni dell'uscita di un FIR di ordine $M$ con ingresso esponenziale complesso applicato in $n=0$. Traccia: $y=0$ per $n<0$; transitorio di $M$ campioni con somma $\sum_{k=0}^{n}h[k]e^{-j\hat\omega k}$; regime per $n\ge M$; perché serve $n\ge M$ (tutti i campioni della finestra sono nel segnale).