Esercizio - Esercitazione 12 - trasformata zeta e ROC

Testo (esercitazione "z-transform" della lezione 12 del corso Multimedia Signal Processing, UniPD; esercizi 1, 4 e 5). Esercizio 1: trasformata zeta e ROC di una sequenza esponenziale limitata a una finestra. Esercizio 5: trasformata e ROC di sette sequenze (esponenziali causali, anticausali, impulsi, finestra). Esercizio 4: cinque antitrasformate col metodo più adatto (ispezione, frazioni parziali, serie di potenze). Gli esercizi 2, 3, 6, 7, 8 (sistemi, poli e stabilità) sono in Esercizio - Esercitazione 12 - sistemi, poli e stabilità.

Teoria usata: Trasformata zeta - definizione e regione di convergenzaLa trasformata zeta bilatera X(z) = Σ x[n] z^{-n} associa a una sequenza una funzione della variabile complessa z, definita nella regione di convergenza (ROC), sempre una corona circolare |z| in (R1, R2). Segnale a durata finita: ROC tutto il piano (tranne eventualmente 0 e ∞); causale: |z| > R1 (teorema di Abel); anticausale: |z| < R2; bilatero: intersezione, se non vuota. La stessa espressione algebrica con ROC diverse è la trasformata di segnali diversi: la ROC fa parte della trasformata. Sulla circonferenza unitaria, se è nella ROC, X(e^{jθ}) è la trasformata di Fourier. Le ROC non contengono poli.Trasformata zeta - definizione e regione di convergenza →, Proprietà della trasformata zetaProprietà della zeta bilatera con le ROC: linearità (ROC ⊇ intersezione), ritardo x[n-n0] → z^{-n0}X(z) (unilatera: + termini iniziali), convoluzione → prodotto, stabilità BIBO ⇔ circonferenza unitaria nella ROC di H, coniugato X*(z*), inversione temporale X(1/z) con ROC invertita, derivazione n x[n] → -z X'(z), moltiplicazione per a^n → X(z/a) (ROC scalata di |a|), teoremi del valore iniziale e finale (ipotesi sul polo in 1). Con la tabella delle coppie notevoli.Proprietà della trasformata zeta → (tabella delle coppie), Antitrasformata zetaPer tornare da X(z) a x[n] serve anche la ROC. Formula di inversione x[n] = (1/2πj)∮ X(z)z^{n-1}dz (somma dei residui). Nella pratica: ispezione (riconoscere coppie note, scegliendo la ROC), divisione lunga (sviluppo in serie di potenze), frazioni parziali per le razionali. Causale con poli semplici p_k: X = Σ A_k/(1-p_k z^-1) con A_k = [(1-p_k z^-1)X]_{z=p_k}, x[n] = Σ A_k p_k^n u[n]; se il grado del numeratore in z^-1 è ≥ di quello del denominatore c'è anche una parte polinomiale (impulsi). Poli doppi: n a^n u[n]; poli complessi coniugati: r^n cos(ω0 n + φ).Antitrasformata zeta → (frazioni parziali e divisione lunga), Serie notevoli - geometrica, telescopica, armonicaLe serie di cui si conosce il carattere e da usare come termine di paragone: geometrica (converge a 1/(1-q) se |q|<1), telescopiche (somma b_1 - lim b_n, come Mengoli), armonica generalizzata (1/n^alpha converge se e solo se alpha>1).Serie notevoli - geometrica, telescopica, armonica →.

Esercizio 1 - esponenziale su una finestra

Testo. $x[n]=(0{,}5)^n\big(u[n+5]-u[n-5]\big)$: trasformata zeta e ROC.

Svolgimento. $u[n+5]-u[n-5]$ vale $1$ per $-5\le n\le4$ e $0$ altrove ($u[n+5]$ si accende in $n=-5$, $u[n-5]$ in $n=5$): una finestra di $10$ campioni. La sequenza ha durata finita e la serie è una somma finita: $$X(z)=\sum_{n=-5}^{4}(0{,}5)^nz^{-n}=\sum_{n=-5}^{4}(0{,}5z^{-1})^n.$$ È una geometrica di ragione $q=0{,}5z^{-1}$ con primo termine $q^{-5}$ e $10$ termini: $\sum_{n=-5}^{4}q^n=q^{-5}\frac{1-q^{10}}{1-q}=\dfrac{q^{-5}-q^{5}}{1-q}$, cioè $$X(z)=\frac{(0{,}5z^{-1})^{-5}-(0{,}5z^{-1})^{5}}{1-0{,}5z^{-1}}=\frac{32z^{5}-\frac1{32}z^{-5}}{1-0{,}5z^{-1}}.$$ (verificato numericamente in $z=1{,}3e^{0{,}6j}$: la somma e la formula danno entrambe $-149{,}38+72{,}09j$).

ROC. Durata finita: $X$ è un polinomio di Laurent con potenze da $z^{5}$ a $z^{-4}$ (la forma "chiusa" ha anche il termine $z^{-5}$ ma si cancella con la divisione): la ROC è $0<\lvert z\rvert<\infty$, escluse l'origine (per le potenze negative) e l'infinito (per le positive). Il polo apparente in $z=0{,}5$ della forma chiusa è cancellato da uno zero (per $z=0{,}5$ il numeratore si annulla: $q=1$ e $q^{-5}-q^5=0$). Zeri: i $9$ punti $0{,}5\,e^{j2\pi k/10}$, $k=1,\dots,9$ (le radici decime con $k=0$ cancellata), tutti sulla circonferenza di raggio $0{,}5$ (verificato con numpy.roots).

Esercizio 5 - sette trasformate

Testo. Trasformata, con ROC, di: (a) $(\frac12)^nu[n]$; (b) $-(\frac12)^nu[-n-1]$; (c) $(\frac12)^nu[-n]$; (d) $\delta[n]$; (e) $\delta[n-1]$; (f) $\delta[n+1]$; (g) $(\frac12)^n(u[n]-u[n-10])$.

Svolgimento.

• (a) $\sum_{n\ge0}(0{,}5z^{-1})^n=\frac1{1-0{,}5z^{-1}}$ per $\lvert0{,}5z^{-1}\rvert<1$, cioè $\lvert z\rvert>\frac12$ (causale: esterno).
• (b) $-\sum_{n=-\infty}^{-1}(0{,}5z^{-1})^n=-\sum_{m\ge1}(2z)^m=-\frac{2z}{1-2z}$ per $\lvert2z\rvert<1$, cioè $\lvert z\rvert<\frac12$; e $-\frac{2z}{1-2z}=\frac{2z}{2z-1}=\frac1{1-\frac1{2z}}=\frac1{1-0{,}5z^{-1}}$: stessa espressione di (a), ROC complementare (anticausale: interno).
• (c) $\sum_{n=-\infty}^{0}(0{,}5z^{-1})^n=\sum_{m\ge0}(2z)^m=\frac1{1-2z}$, $\lvert z\rvert<\frac12$. Sequenza anticausale con il campione in $n=0$ incluso: differisce da (b) perché $(\frac12)^nu[-n]$ vale $1$ in $n=0$ e cresce verso sinistra come $2^{\lvert n\rvert}$ (verificato: in $z=0{,}25$, $\sum_{m\ge0}0{,}5^m=2=\frac1{1-0{,}5}$).
• (d) $\delta[n]\to z^0=1$, tutto il piano.
• (e) $\delta[n-1]\to z^{-1}$, $\lvert z\rvert>0$ (esclusa l'origine).
• (f) $\delta[n+1]\to z$, $\lvert z\rvert<\infty$ (escluso l'infinito).
• (g) $\sum_{n=0}^{9}(0{,}5z^{-1})^n=\frac{1-(0{,}5z^{-1})^{10}}{1-0{,}5z^{-1}}=\frac{1-(2z)^{-10}}{1-(2z)^{-1}}$, durata finita causale: $\lvert z\rvert>0$ (il polo in $0{,}5$ è cancellato dallo zero $z=0{,}5$ del numeratore, che è radice di $1-(0{,}5z^{-1})^{10}$).

Controllo. In (a) e (b) la stessa funzione razionale ha ROC diverse e quindi appartiene a due segnali diversi: la ROC è parte della trasformata.

Esercizio 4 - cinque antitrasformate

Testo. Per ciascuna $X(z)$ trovare $x[n]$ con il metodo più adatto.

(a) $X=\frac1{1+\frac12z^{-1}}$, $\lvert z\rvert>\frac12$. Un solo polo in $-\frac12$, causale ($\lvert z\rvert>\lvert-\frac12\rvert$): ispezione con $a=-\frac12$, $x[n]=(-\frac12)^nu[n]$. Divisione lunga: $1-\frac12z^{-1}+\frac14z^{-2}-\frac18z^{-3}+\dots$, stessi campioni $1,-\frac12,\frac14,-\frac18,\dots$.

(b) Stessa espressione, $\lvert z\rvert<\frac12$: il polo sta fuori dalla ROC, quindi anticausale: $x[n]=-(-\frac12)^nu[-n-1]$. Divisione lunga in potenze crescenti di $z$: $\frac1{1+\frac12z^{-1}}=\frac{2z}{2z+1}=2z-4z^2+8z^3-\dots$, cioè $x[-1]=2,\ x[-2]=-4,\ x[-3]=8$, in accordo con $-(-\frac12)^{n}$ in $n=-1,-2,-3$ ($-(-2)=2$; $-4$; $-(-8)=8$).

(c) $X=\dfrac{1-\frac12z^{-1}}{1+\frac34z^{-1}+\frac18z^{-2}}$, $\lvert z\rvert>\frac12$. Il denominatore si fattorizza: $1+\frac34z^{-1}+\frac18z^{-2}=(1+\frac12z^{-1})(1+\frac14z^{-1})$ (somma $\frac12+\frac14=\frac34$ e prodotto $\frac18$). Poli semplici in $-\frac12$ e $-\frac14$, causale (la ROC è esterna al polo di modulo maggiore, $\frac12$). Frazioni parziali $X=\frac A{1+\frac12z^{-1}}+\frac B{1+\frac14z^{-1}}$:

• $A=\big[(1+\tfrac12z^{-1})X\big]_{z=-1/2}=\dfrac{1-\frac12(-2)}{1+\frac14(-2)}=\dfrac{2}{\frac12}=4$ (in $z=-\frac12$, $z^{-1}=-2$);
• $B=\big[(1+\tfrac14z^{-1})X\big]_{z=-1/4}=\dfrac{1-\frac12(-4)}{1+\frac12(-4)}=\dfrac3{-1}=-3$.

$x[n]=\Big[4\big(-\tfrac12\big)^n-3\big(-\tfrac14\big)^n\Big]u[n]$: $1,\ -1{,}25,\ 0{,}8125,\ -0{,}4531,\dots$ (verificato con la ricorsione). Con la divisione lunga si ritrovano $1$, $-\frac34-\frac12=-1{,}25$, $-\frac3{16}+1=0{,}8125$: la soluzione del corso scrive la forma equivalente $-3(-\frac14)^n+(-\frac12)^{n-2}$, perché $4(-\frac12)^n=(-\frac12)^{n-2}$.

(d) $X=\dfrac{1-\frac12z^{-1}}{1-\frac14z^{-2}}$, $\lvert z\rvert>\frac12$. Il denominatore è $1-\frac14z^{-2}=(1-\frac12z^{-1})(1+\frac12z^{-1})$: il fattore $1-\frac12z^{-1}$ si cancella con il numeratore e resta $X=\frac1{1+\frac12z^{-1}}$, $x[n]=(-\frac12)^nu[n]$ (come in (a)). Un polo e uno zero in $z=\frac12$ si elidono.

(e) $X=\dfrac{1-az^{-1}}{z^{-1}-a}$, $\lvert z\rvert>\frac1{\lvert a\rvert}$. Si porta il denominatore nella forma standard: $z^{-1}-a=-a(1-a^{-1}z^{-1})$, quindi $X=-\frac1a\,\frac{1-az^{-1}}{1-a^{-1}z^{-1}}$, con polo in $a^{-1}$ (la ROC è esterna ad esso: causale). Numeratore e denominatore hanno lo stesso grado in $z^{-1}$ (caso improprio): si divide, $\frac{1-az^{-1}}{1-a^{-1}z^{-1}}=a^2+\frac{1-a^2}{1-a^{-1}z^{-1}}$ (la costante è il rapporto dei coefficienti di $z^{-1}$, $\frac{-a}{-a^{-1}}=a^2$; il residuo è $1-a^2$; in $z^{-1}=0$ il membro di destra vale $a^2+1-a^2=1$, come il sinistro). Quindi $$X(z)=-a-\frac{1-a^2}{a}\,\frac1{1-a^{-1}z^{-1}},\qquad x[n]=-a\,\delta[n]-(1-a^2)\,a^{-(n+1)}u[n].$$ Controllo con $a=\frac12$: $x[0]=-\frac12-\frac34\cdot2=-2$, valore atteso $X(\infty)=\frac1{-a}=-2$; $x[1]=-\frac34\cdot4=-3$, $x[2]=-6,\ x[3]=-12,\dots$ (verificato con lfilter). Per $a$ reale è un filtro "passa-tutto" del primo ordine: sulla circonferenza unitaria $\lvert X(e^{j\hat\omega})\rvert=1$ (il fattore $\lvert1-ae^{-j\hat\omega}\rvert$ è uguale al suo coniugato).