Funzione di sistema, poli, zeri e stabilità

Qui si usa la trasformata zeta per descrivere un sistema LTI (Trasformata zeta - definizione e regione di convergenzaLa trasformata zeta bilatera X(z) = Σ x[n] z^{-n} associa a una sequenza una funzione della variabile complessa z, definita nella regione di convergenza (ROC), sempre una corona circolare |z| in (R1, R2). Segnale a durata finita: ROC tutto il piano (tranne eventualmente 0 e ∞); causale: |z| > R1 (teorema di Abel); anticausale: |z| < R2; bilatero: intersezione, se non vuota. La stessa espressione algebrica con ROC diverse è la trasformata di segnali diversi: la ROC fa parte della trasformata. Sulla circonferenza unitaria, se è nella ROC, X(e^{jθ}) è la trasformata di Fourier. Le ROC non contengono poli.Trasformata zeta - definizione e regione di convergenza →, Proprietà della trasformata zetaProprietà della zeta bilatera con le ROC: linearità (ROC ⊇ intersezione), ritardo x[n-n0] → z^{-n0}X(z) (unilatera: + termini iniziali), convoluzione → prodotto, stabilità BIBO ⇔ circonferenza unitaria nella ROC di H, coniugato X*(z*), inversione temporale X(1/z) con ROC invertita, derivazione n x[n] → -z X'(z), moltiplicazione per a^n → X(z/a) (ROC scalata di |a|), teoremi del valore iniziale e finale (ipotesi sul polo in 1). Con la tabella delle coppie notevoli.Proprietà della trasformata zeta →): il termine inglese è system function (o transfer function). Il quadro per i sistemi con equazioni alle differenze è anche in Trasformata zeta e sistemi a tempo discretoUn sistema LTI discreto è descritto da un'equazione alle differenze Σ a_i y(n-i) = Σ b_i x(n-i) con condizioni iniziali. L'uscita è evoluzione libera (dalle condizioni iniziali) più risposta forzata g*x. Si calcola in tre modi: soluzione dell'equazione, risposta impulsiva con segnale fittizio, trasformata zeta. FIR: memoria finita, sempre stabile; IIR: stabile se tutti i poli hanno modulo minore di 1. In frequenza G(f) = Σ b_i e^{-i2πfi} / Σ a_i e^{-i2πfi}.Trasformata zeta e sistemi a tempo discreto → e Trasformata Z ed equazioni alle differenzeLa trasformata Z, $X(z)=\sum x(n)z^{-n}$, è la versione discreta di Laplace (la TFtd è $X(e^{j\omega})$). Un sistema descritto da un'equazione alle differenze $\sum a_ky(n-k)=\sum b_kx(n-k)$ ha $H(z)=\frac{\sum b_kz^{-k}}{\sum a_kz^{-k}}$ ed è BIBO stabile (se causale) quando tutti i poli stanno dentro il cerchio unitario, $|p|<1$. Cenni.Trasformata Z ed equazioni alle differenze →.

La funzione di sistema

Per un FIR $y[n]=\sum_{k=0}^{M}b_kx[n-k]$ si prenda l'ingresso $x[n]=z^n$ (per ogni $n$, con $z\in\mathbb C$ qualunque). Allora $$y[n]=\sum_{k=0}^{M}b_kz^{n-k}=\Big(\sum_{k=0}^{M}b_kz^{-k}\Big)z^n=H(z)\,z^n.$$

Definizione (funzione di sistema di un FIR). $H(z)=\displaystyle\sum_{k=0}^{M}b_kz^{-k}=\sum_{k=0}^{M}h[k]z^{-k}$, la trasformata zeta della risposta impulsiva. Con ingresso $z^n$ l'uscita è $h[n]*z^n=H(z)z^n$.

I coefficienti del polinomio sono esattamente quelli dell'equazione alle differenze (e i campioni della risposta impulsiva). La risposta in frequenza è $H(z)$ valutata sulla circonferenza unitaria, $\mathcal H(\hat\omega)=H(e^{j\hat\omega})$, perché $e^{j\hat\omega n}$ è proprio $z^n$ con $\lvert z\rvert=1$ (Risposta in frequenza dei sistemi FIRSe all'ingresso di un FIR c'è un esponenziale complesso A e^{jφ} e^{jω̂n} (per ogni n), l'uscita è lo stesso esponenziale moltiplicato per H(ω̂) = Σ b_k e^{-jω̂k}: la frequenza non cambia, ampiezza e fase sono modificate da |H| (guadagno) e ∠H (sfasamento). Per sovrapposizione si trattano somme di sinusoidi. H è periodica di periodo 2π e, per coefficienti reali, hermitiana (|H| pari, fase dispari). La cascata ha H = H1·H2. Esempi: ritardo (fase lineare), differenza prima (passa-alto), {1,2,1} (passa-basso), media mobile di L punti (Dirichlet: |H| = |sin(Lω̂/2)/(L sin(ω̂/2))|, fase lineare -(L-1)ω̂/2).Risposta in frequenza dei sistemi FIR →).

Passaggio da equazione alle differenze a $H(z)$: si trasforma il ritardo $x[n-k]\to z^{-k}X$ (Proprietà della trasformata zetaProprietà della zeta bilatera con le ROC: linearità (ROC ⊇ intersezione), ritardo x[n-n0] → z^{-n0}X(z) (unilatera: + termini iniziali), convoluzione → prodotto, stabilità BIBO ⇔ circonferenza unitaria nella ROC di H, coniugato X*(z*), inversione temporale X(1/z) con ROC invertita, derivazione n x[n] → -z X'(z), moltiplicazione per a^n → X(z/a) (ROC scalata di |a|), teoremi del valore iniziale e finale (ipotesi sul polo in 1). Con la tabella delle coppie notevoli.Proprietà della trasformata zeta →). In generale, per $y[n]+\sum_{k=1}^{N}a_ky[n-k]=\sum_{k=0}^{M}b_kx[n-k]$ si ha $Y(z)\big(1+\sum a_kz^{-k}\big)=\big(\sum b_kz^{-k}\big)X(z)$ e $$H(z)=\frac{Y(z)}{X(z)}=\frac{B(z)}{A(z)}=\frac{\sum_{k=0}^{M}b_kz^{-k}}{1+\sum_{k=1}^{N}a_kz^{-k}}.$$ Nel caso FIR $A=1$. Cascata di sistemi $\to$ prodotto delle funzioni di sistema; parallelo $\to$ somma. Esempio. $y[n]=\frac13(x[n]+x[n-1]+x[n-2])$ ha $H(z)=\frac13(1+z^{-1}+z^{-2})$. Il sistema $y[n]=0{,}8y[n-1]-0{,}8x[n]+x[n-1]$ si riscrive $y[n]-0{,}8y[n-1]=-0{,}8x[n]+x[n-1]$ e dà $H(z)=\frac{-0{,}8+z^{-1}}{1-0{,}8z^{-1}}$.

Poli e zeri

Scrivendo $B$ e $A$ in funzione di $z$ (moltiplicando numeratore e denominatore per $z^{\max(M,N)}$) si fattorizza: $$H(z)=b_0\,\frac{\prod_{k=1}^{M}(1-z_kz^{-1})}{\prod_{k=1}^{N}(1-p_kz^{-1})}=b_0\,z^{N-M}\,\frac{\prod(z-z_k)}{\prod(z-p_k)}.$$ Le $z_k$ sono gli zeri (zeros, dove $H=0$), le $p_k$ i poli (poles, dove $H$ diverge). Il fattore $z^{N-M}$ aggiunge zeri o poli nell'origine. Per un FIR $H(z)=z^{-M}\sum b_kz^{M-k}$: ha $M$ zeri (le radici del polinomio) e $M$ poli tutti in $z=0$, quindi la ROC è $\lvert z\rvert>0$ e non ci sono poli fuori dall'origine.

Esempio svolto. $H(z)=\frac13(1+z^{-1}+z^{-2})=\frac{z^2+z+1}{3z^2}$: due poli in $z=0$ e due zeri, le radici di $z^2+z+1=0$, $z=\frac{-1\pm j\sqrt3}2=e^{\pm j2\pi/3}$ (sulla circonferenza unitaria). Per questo il filtro blocca la frequenza $\hat\omega=\frac{2\pi}3$: con ingresso $-3\cos(\frac{2\pi}3n)$ l'uscita è nulla (a regime).

Esempio (media a 4 punti). $H(z)=\frac14(1+z^{-1}+z^{-2}+z^{-3})=\frac14\frac{1-z^{-4}}{1-z^{-1}}$: gli zeri sono le radici quarte dell'unità tranne $1$ (che il denominatore cancella): $z=j,\ -1,\ -j$, cioè $\hat\omega=\pm\frac\pi2,\ \pi$. Con ingresso $5+4\cos0{,}2\pi n+3\cos(0{,}5\pi n+\frac\pi4)$ la terza componente sparisce e restano $5$ e il coseno attenuato di $0{,}769$ (si veda Esercizio - Esercitazione 9 - filtri FIR e risposta in frequenza).

Significato geometrico

Sulla circonferenza unitaria $z=e^{j\hat\omega}$, dalla forma fattorizzata: $$\lvert H(e^{j\hat\omega})\rvert=\lvert b_0\rvert\,\frac{\prod_k\lvert e^{j\hat\omega}-z_k\rvert}{\prod_k\lvert e^{j\hat\omega}-p_k\rvert}$$ (per $N=M$; altrimenti i poli e zeri in $z=0$ hanno distanza $1$ dalla circonferenza e non cambiano il modulo): il guadagno è il prodotto delle distanze del punto $e^{j\hat\omega}$ dagli zeri diviso il prodotto delle distanze dai poli. Quindi:

• avvicinandosi a un zero il guadagno scende (a zero se è sulla circonferenza): gli zeri indicano frequenze bloccate;
• avvicinandosi a un polo il guadagno sale: i poli indicano frequenze esaltate (risonanze);
• un polo vicino alla circonferenza dà un picco stretto e alto; uno zero in $z=1$ blocca la continua ($\hat\omega=0$), uno in $z=-1$ blocca $\hat\omega=\pi$.

Esempio ($H(z)=\frac{1-z^{-1}}{1-0{,}9\cos(\pi/4)z^{-1}+0{,}81z^{-2}}$). Zero in $z=1$: l'uscita è nulla in continua (è la differenza prima, $y=x[n]-x[n-1]$ a numeratore). Poli: $z^2-0{,}9\cos\frac\pi4\,z+0{,}81=0$, cioè $z^2-0{,}636z+0{,}81=0$, con prodotto delle radici $0{,}81$ (modulo $0{,}9$) e somma $0{,}636=2\cdot0{,}9\cos\omega_0$, da cui $\cos\omega_0=0{,}354$ e $\omega_0=1{,}209\ \text{rad}=69{,}3^\circ$ (poli $0{,}318\pm0{,}842j$). Attenzione: nel materiale del corso (esercizio sulla zeta, lezione 10) i poli sono indicati in $0{,}9e^{\pm j\pi/4}$, ma $0{,}9e^{\pm j\pi/4}$ avrebbe somma $2\cdot0{,}9\cos\frac\pi4=1{,}273$ e non $0{,}636$: l'angolo giusto è $69{,}3^\circ$. Il modulo $0{,}9$ è corretto, quindi il sistema è stabile, e il guadagno ha un massimo $\approx6{,}41$ in $\hat\omega\approx1{,}215$ (vicino all'angolo dei poli, $1{,}209$), $0$ in continua e $0{,}82$ a $\hat\omega=\pi$: passa-banda. Controllo numerico: formula delle distanze $=2{,}54$ e calcolo diretto $=2{,}54$ in $\hat\omega=1$.

Stabilità

Un LTI è BIBO stabile (bounded-input bounded-output) se a ogni ingresso limitato risponde con un'uscita limitata, e questo accade se e solo se $\sum_n\lvert h[n]\rvert<\infty$, cioè se e solo se la ROC di $H(z)$ contiene la circonferenza unitaria (Proprietà della trasformata zetaProprietà della zeta bilatera con le ROC: linearità (ROC ⊇ intersezione), ritardo x[n-n0] → z^{-n0}X(z) (unilatera: + termini iniziali), convoluzione → prodotto, stabilità BIBO ⇔ circonferenza unitaria nella ROC di H, coniugato X*(z*), inversione temporale X(1/z) con ROC invertita, derivazione n x[n] → -z X'(z), moltiplicazione per a^n → X(z/a) (ROC scalata di |a|), teoremi del valore iniziale e finale (ipotesi sul polo in 1). Con la tabella delle coppie notevoli.Proprietà della trasformata zeta →).

Teorema (stabilità di un LTI causale). Un sistema causale è BIBO stabile se e solo se tutti i poli di $H(z)$ stanno dentro il cerchio unitario, $\max_k\lvert p_k\rvert<1$ (a meno di cancellazioni polo-zero).

Perché. Per un sistema causale la ROC è l'esterno del cerchio del polo di modulo massimo, $\lvert z\rvert>\max\lvert p_k\rvert$: contiene la circonferenza unitaria se e solo se $\max\lvert p_k\rvert<1$. Più concretamente, un polo $p$ contribuisce alla risposta impulsiva con il modo $p^n$:

Se $\lvert p\rvert=1$ un ingresso limitato può produrre un'uscita illimitata: $y[n]=y[n-1]+x[n]$ (polo in $z=1$) con $x=u[n]$ dà $y=n+1$, illimitata (verificato). Con polo $2$: $y[n]=2y[n-1]+\delta[n]$ ha $h=1,2,4,8,\dots$ (verificato). I FIR sono sempre stabili: i loro poli sono in $0$ (e $h$ ha un numero finito di campioni, quindi è sommabile).

I poli reali danno modi esponenziali, quelli complessi coniugati sinusoidi smorzate $r^n\cos(\omega_0n+\varphi)$: il modulo $r$ governa il decadimento, l'angolo $\omega_0$ la frequenza, e più il polo è vicino alla circonferenza unitaria più la risposta è lunga e la risonanza è marcata.

Cancellazioni polo-zero. Un polo cancellato da uno zero uguale non compare nella funzione di sistema semplificata, e quindi non vincola la stabilità del sistema visto da ingresso a uscita: è il caso del filtro $\frac{1-z^{-1}}{1-z^{-1}}$ che è il sistema identità. Per questo la condizione si enuncia "a meno di cancellazioni". (Il modo cancellato può restare nascosto all'interno e causare problemi con le condizioni iniziali, ma per il rapporto ingresso-uscita a condizioni iniziali nulle non conta.)

Esempio (FIR dato dagli zeri). $H(z)=(1-z^{-1})(1+z^{-2})(1-0{,}9z^{-1}+0{,}81z^{-2})$, che espanso dà $1-1{,}9z^{-1}+2{,}71z^{-2}-2{,}71z^{-3}+1{,}71z^{-4}-0{,}81z^{-5}$, è un FIR di ordine $5$ con cinque zeri in $1,\ \pm j,\ 0{,}9e^{\pm j\pi/3}$ e cinque poli in $0$ (verificato). Solo gli zeri sulla circonferenza unitaria ($1$ e $\pm j$) annullano l'uscita per un ingresso esponenziale $e^{j\hat\omega n}$, cioè per $\hat\omega=0,\pm\frac\pi2$ (Esercizio - Esercitazione 9 - funzione di sistema e zeri).

Domande d'esame

1. Definire la funzione di sistema di un FIR e spiegare perché è comoda rispetto alla rappresentazione nel tempo. Traccia: $x[n]=z^n\Rightarrow y=H(z)z^n$; $H(z)=\sum b_kz^{-k}$ polinomio di grado $M$ (coefficienti = campioni di $h$); la convoluzione diventa prodotto, la cascata prodotto di polinomi, si leggono zeri e quindi le frequenze bloccate; $H(e^{j\hat\omega})$ è la risposta in frequenza.
2. Stabilità di un LTI e posizione dei poli. Traccia: BIBO $\Leftrightarrow$ $\sum\lvert h\rvert<\infty$ $\Leftrightarrow$ circonferenza unitaria nella ROC; causale: tutti i poli dentro il cerchio; modi $p^n$; FIR sempre stabili; cancellazioni polo-zero; esempi con polo $0{,}5$, $1$, $2$.
3. Interpretazione geometrica del diagramma poli-zeri. Traccia: $\lvert H(e^{j\hat\omega})\rvert=\prod\lvert e^{j\hat\omega}-z_k\rvert/\prod\lvert e^{j\hat\omega}-p_k\rvert$; zeri $\to$ frequenze bloccate; poli $\to$ risonanze; esempio con zero in $1$ e poli in $0{,}9e^{\pm j\omega_0}$ (passa-banda).