Trasformata zeta e sistemi a tempo discreto

In questa nota il quanto temporale è $T=1$ (per un $T$ qualunque basta riscrivere $n\to nT$; i coefficienti delle equazioni alle differenze e le funzioni di trasferimento non cambiano, cambia solo che la risposta impulsiva è $\frac1T$ volte la sequenza dei coefficienti, come in Sistemi lineari tempo-invarianti e risposta impulsivaUna tf lineare e tempo-invariante (LTI, filtro) ha nucleo h(t,u) = g(t-u): l'uscita è la convoluzione y = gx con la risposta impulsiva g (uscita all'impulso ideale nell'origine). Causale se e solo se g è causale; stabile BIBO se e solo se g è assolutamente integrabile (sommabile); reale se e solo se g è reale. Cascata: g = g2g1; parallelo: g1+g2; retroazione: Ge = G/(1+HG) in frequenza.Sistemi lineari tempo-invarianti e risposta impulsiva →). Un sistema a differenza di una tf ha uno stato: la sua uscita dipende anche dalle condizioni iniziali.

La trasformata zeta

Definizione (trasformata zeta). Per un segnale $x(n)$, $n\in\mathbb Z$, la trasformata zeta (bilatera) è $$X(z)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}x(n)\,z^{-n},\qquad z\in\mathbb C,$$ nella regione di convergenza (RC) dove la serie converge: una corona circolare centrata nell'origine. Per un segnale causale la RC è l'esterno di una circonferenza.

Esempio. Per $x(n)=a^n1_0(n)$ si ha $X(z)=\sum_{n\ge0}\left(az^{-1}\right)^n=\dfrac1{1-az^{-1}}$ per $\lvert z\rvert>\lvert a\rvert$ (serie geometrica, Serie notevoli - geometrica, telescopica, armonicaLe serie di cui si conosce il carattere e da usare come termine di paragone: geometrica (converge a 1/(1-q) se |q|<1), telescopiche (somma b_1 - lim b_n, come Mengoli), armonica generalizzata (1/n^alpha converge se e solo se alpha>1).Serie notevoli - geometrica, telescopica, armonica →). Per $a=1$: gradino $1_0(n)\to\frac1{1-z^{-1}}$. Per $x=\delta(n)$: $X=1$.

Valgono la linearità e la regola del ritardo: $x(n-k)\to z^{-k}X(z)$. Sulla circonferenza unitaria $z=e^{\mathrm i2\pi f}$ la trasformata zeta diventa la trasformata di Fourier a tempo discreto, purché la RC contenga quella circonferenza (Trasformata di Fourier a tempo discretoLa trasformata di Fourier di un segnale discreto è $S(f)=\sum_nT,s(nT),e^{-i2\pi fnT}$: una funzione continua e periodica in $f$ di periodo $F_p=1/T$. L'antitrasformata è l'integrale su un periodo, $s(nT)=\int_0^{F_p}S(f)e^{i2\pi fnT}df$. Le regole sono quelle del caso continuo (traslazione, convoluzione $\leftrightarrow$ prodotto, Parseval $\sum T|s|^2=\int_0^{F_p}|S|^2$), con incremento e somma corrente al posto di derivata e integrale. Per segnali reali $S(f)=S^*(-f)$, quindi basta $[0,F_p/2]$. Esempi: $\delta\to1$, $1\to\delta_{F_p}$, rect $\to$ sinc periodico, $a^n\mathbf 1_0\to\frac T{1-ae^{-i2\pi fT}}$.Trasformata di Fourier a tempo discreto →). Le funzioni razionali di $z^{-1}$ si antitrasformano con le frazioni parziali, sviluppando in $p=z^{-1}$ e usando $\frac1{1-cz^{-1}}\leftrightarrow c^n1_0(n)$ (Trasformata Z ed equazioni alle differenzeLa trasformata Z, $X(z)=\sum x(n)z^{-n}$, è la versione discreta di Laplace (la TFtd è $X(e^{j\omega})$). Un sistema descritto da un'equazione alle differenze $\sum a_ky(n-k)=\sum b_kx(n-k)$ ha $H(z)=\frac{\sum b_kz^{-k}}{\sum a_kz^{-k}}$ ed è BIBO stabile (se causale) quando tutti i poli stanno dentro il cerchio unitario, $|p|<1$. Cenni.Trasformata Z ed equazioni alle differenze → nella materia gemella).

Equazione alle differenze

Definizione (equazione alle differenze lineare a coefficienti costanti). $$\sum_{i=0}^{N}a_i\,y(n-i)=\sum_{i=0}^{M}b_i\,x(n-i),\qquad a_0\neq0,\ a_N\neq0.$$ $N$ è l'ordine del sistema. Con $a_0=1$ si ricava $y(n)$ ricorsivamente dagli $N$ valori precedenti e dall'ingresso. I coefficienti costanti rendono il sistema tempo-invariante.

Le condizioni iniziali sono $y(-1)=K_1,\dots,y(-N)=K_N$ e l'ingresso si considera causale (o, equivalentemente, si ignora il suo passato perché non influisce una volta fissate le condizioni iniziali).

Il caso generale si spezza in due blocchi in cascata: $\tilde x(n)=\sum_ib_ix(n-i)$ (una parte FIR che elabora l'ingresso con ritardi e moltiplicazioni) e poi $\sum a_iy(n-i)=\tilde x(n)$ (una parte ricorsiva, solo $y$ da una parte).

Esempio. Sistema del secondo ordine $y(n-2)+y(n-1)-6\,y(n)=x(n)$ (cioè $a_0=-6$, $a_1=a_2=1$, $b_0=1$): $y(n)=\tfrac16\left[y(n-1)+y(n-2)-x(n)\right]$. Con ingresso nullo e $y(-1)=0{,}7$, $y(-2)=-1{,}3$: $y(0)=\frac16(0{,}7-1{,}3)=-0{,}1$, $y(1)=\frac16(-0{,}1+0{,}7)=0{,}1$, ...

Evoluzione libera e risposta forzata

Per linearità l'uscita per $n\ge0$ è la somma di due parti:

Teorema (scomposizione dell'uscita). $y(n)=y_\ell(n)+y_f(n)$, dove

• l'evoluzione libera $y_\ell$ è l'uscita con ingresso nullo e le condizioni iniziali date; dipende linearmente dalle condizioni iniziali ed è nulla se sono nulle (sistema scarico);
• la risposta forzata $y_f=g*x$ è l'uscita con condizioni iniziali nulle; $g$ è la risposta impulsiva e dipende linearmente dall'ingresso.

Il sistema è una tf LTI sugli ingressi solo se è scarico.

Un sistema con stato non è quindi una trasformazione lineare dell'ingresso (l'ingresso agisce linearmente solo sulla parte forzata): per questo "zero ingresso" non vuol dire "zero uscita".

Primo metodo: soluzione dell'equazione

La soluzione generale è $y=y_h+y_p$: la soluzione generale dell'omogenea (ingresso nullo) più una soluzione particolare dell'equazione completa.

1. Omogenea. Sostituendo $y(n)=z_0^{-n}$ in $\sum a_iy(n-i)=0$ si ottiene $\sum_ia_iz_0^{i}\,z_0^{-n}=0$: $z_0^{-n}$ è soluzione se e solo se $z_0$ è radice del polinomio caratteristico $h(z)=\sum_{i=0}^Na_iz^i$. Con radici semplici $z_1,\dots,z_N$: $y_h(n)=\sum_i\alpha_iz_i^{-n}$ (una radice multipla $z_i$ di molteplicità $m$ dà anche $n\,z_i^{-n},\dots,n^{m-1}z_i^{-n}$). I modi $z_i^{-n}$ sono le potenze dei poli $p_i=z_i^{-1}$.
2. Particolare. Si estende l'ingresso causale a tutto l'asse in modo comodo (per un gradino, ingresso costante) e si cerca $y_p$ della stessa forma.
3. Condizioni iniziali. Si impongono $y(-1),\dots,y(-N)$ ottenendo un sistema lineare per gli $\alpha_i$.

Esempio svolto. $y(n-2)+y(n-1)-6y(n)=x(n)$, $x=A_0\,1_0(n)$, $y(-1)=K_1$, $y(-2)=K_2$.

• $h(z)=z^2+z-6$ ha radici $z_1=2$, $z_2=-3$, quindi $y_h=\alpha_1\left(\tfrac12\right)^n+\alpha_2\left(-\tfrac13\right)^n$ (poli $\frac12$ e $-\frac13$).
• Estendendo $x=A_0$ per ogni $n$ si cerca $y_p=\beta$ costante: $\beta+\beta-6\beta=A_0$, $\beta=-\frac{A_0}4$.
• Condizioni iniziali ($n=-1$ e $n=-2$ danno $z_i^{1}$ e $z_i^{2}$): $K_1=-\frac{A_0}4+2\alpha_1-3\alpha_2$, $K_2=-\frac{A_0}4+4\alpha_1+9\alpha_2$, da cui $\alpha_1=\frac{A_0}{10}+\frac{3K_1}{10}+\frac{K_2}{10}$ e $\alpha_2=-\frac{A_0}{60}-\frac{2K_1}{15}+\frac{K_2}{15}$.

Ordinando per $A_0$, $K_1$, $K_2$ (la parte proporzionale ad $A_0$ è la risposta forzata, quella in $K_1,K_2$ è la libera):

$$y(n)=A_0\left[-\tfrac14+\tfrac1{10}\left(\tfrac12\right)^n-\tfrac1{60}\left(-\tfrac13\right)^n\right]+\left[\tfrac3{10}\left(\tfrac12\right)^n-\tfrac2{15}\left(-\tfrac13\right)^n\right]K_1+\left[\tfrac1{10}\left(\tfrac12\right)^n+\tfrac1{15}\left(-\tfrac13\right)^n\right]K_2,\quad n\ge-2.$$

Verificato con la ricorsione $y(n)=\frac16[y(n-1)+y(n-2)-x(n)]$ per $A_0=3$, $K_1=0{,}7$, $K_2=-1{,}3$: coincide su 15 campioni.

Secondo metodo: dalla risposta impulsiva

La risposta forzata è $g*x$. Anche l'evoluzione libera si ottiene dalla risposta impulsiva, con un trucco: si cerca un segnale fittizio $x_0(n)$ tale che l'evoluzione libera sia la risposta forzata a $x_0$ di un sistema scarico.

Si prende la soluzione libera $y$ estesa a tutti gli $n$ e si considera la sua parte causale $v(n)=y(n)1_0(n)$ (che è nulla per $n<0$, come richiede un sistema scarico). Moltiplicando l'equazione omogenea per $1_0(n)$ e osservando che $y(n-i)1_0(n)=v(n-i)+\sum_{j=1}^{i}y(-j)\,\delta(n-i+j)$ (i valori $y(-j)$ "spuntano" sui primi istanti) si ottiene $\sum_ia_iv(n-i)=x_0(n)$ con

$$x_0(n)=-\sum_{i=1}^{N}K_i\sum_{j=i}^{N}a_j\,\delta(n-j+i),\qquad y_\ell(n)=(g*x_0)(n)=-\sum_{i=1}^{N}K_i\sum_{j=i}^{N}a_j\,g(n-j+i),\ n\ge0.$$

Esempio ($N=2$, $a_1=a_2=1$). $x_0=-K_1[\delta(n)+\delta(n-1)]-K_2\delta(n)$. Con $K_1=-\frac12$, $K_2=-2$: $x_0=\frac52\delta(n)+\frac12\delta(n-1)$ e $y_\ell(n)=\frac52g(n)+\frac12g(n-1)$. Qui, con ingresso $\delta$ e sistema scarico, la ricorsione dà $g(0)=-\frac16$, $g(1)=\frac16g(0)=-\frac1{36}$, e in forma chiusa

$$g(n)=\left[-\tfrac1{10}\left(\tfrac12\right)^n-\tfrac1{15}\left(-\tfrac13\right)^n\right]1_0(n).$$

Si controlla: $g(0)=-\frac1{10}-\frac1{15}=-\frac16$ e $\frac52g(0)=-\frac5{12}=-0{,}4167$ è proprio $y_\ell(0)$ calcolato per ricorsione (verificato su 15 campioni).

Terzo metodo: trasformata zeta

Risposta forzata. Trasformando i due membri (condizioni iniziali nulle): $$Y(z)\sum_ia_iz^{-i}=X(z)\sum_ib_iz^{-i}\ \Longrightarrow\ Y_f(z)=G(z)X(z),\qquad G(z)=\frac{\sum_{i=0}^Mb_iz^{-i}}{\sum_{i=0}^Na_iz^{-i}}.$$ $G(z)$ è la funzione di trasferimento, trasformata zeta di $g$. Dato l'ingresso si calcola $X(z)$, si moltiplica e si antitrasforma con le frazioni parziali in $p=z^{-1}$.

Esempio. Con $x=A_0\,1_0$ (cioè $X=\frac{A_0}{1-z^{-1}}$), $Y_f=\dfrac{1}{z^{-2}+z^{-1}-6}\cdot\dfrac{A_0}{1-z^{-1}}$. Ponendo $p=z^{-1}$ si ha $\dfrac{A_0}{(p-2)(p+3)(1-p)}$ (perché $p^2+p-6=(p-2)(p+3)$); scomponendo in frazioni parziali si ottiene $A_0\left[-\frac1{4(1-z^{-1})}+\frac1{10(1-\frac12z^{-1})}-\frac1{60(1+\frac13z^{-1})}\right]$ e quindi $y_f=A_0\left[-\frac14+\frac1{10}(\frac12)^n-\frac1{60}(-\frac13)^n\right]1_0(n)$, come nel primo metodo (cfr. Esercizio - equazione alle differenze del secondo ordine - evoluzione libera, risposta impulsiva e risposta forzata).

Evoluzione libera. Con la stessa idea (parte causale $v_i(n)=y(n-i)1_0(n)$, $v_i(n)=v_{i-1}(n-1)+K_i\delta(n)$) si trova $$Y_\ell(z)=-\frac{\sum_{i=1}^Na_i\sum_{j=0}^{i-1}z^{-j}K_{i-j}}{\sum_{i=0}^Na_iz^{-i}}:$$ il denominatore è lo stesso di $G(z)$, il numeratore è un polinomio in $z^{-1}$ di grado minore di $N$ che dipende dalle condizioni iniziali e si annulla se sono nulle. Esempio: con $K_1=7$, $K_2=-2$, $Y_\ell=-\dfrac{5+7z^{-1}}{z^{-2}+z^{-1}-6}$ e in frazioni parziali $y_\ell(n)=\frac{19}{10}\left(\frac12\right)^n-\frac{16}{15}\left(-\frac13\right)^n$; $y_\ell(0)=\frac{19}{10}-\frac{16}{15}=\frac56$ coincide con $\frac16(7-2)=\frac56$ dalla ricorsione (verificato).

Risposta in frequenza

Se la RC di $G(z)$ comprende la circonferenza unitaria, ponendo $z=e^{\mathrm i2\pi f}$: $$G(f)=\frac{\sum_{i=0}^Mb_ie^{-\mathrm i2\pi fi}}{\sum_{i=0}^Na_ie^{-\mathrm i2\pi fi}}\qquad(\text{periodica di periodo }1).$$

Esempio. La media mobile a 4 punti $y(n)=\frac14\sum_{k=0}^3x(n-k)$ ha $G(f)=\frac14\sum_{k=0}^3e^{-\mathrm i2\pi fk}$, di modulo $\left\lvert\dfrac{\sin4\pi f}{4\sin\pi f}\right\rvert$ (in $f=0{,}1$: $0{,}769$, verificato). È un passa-basso grossolano con zeri in $f=\frac14,\frac12$.

Stabilità

Teorema (stabilità). Un sistema LTI discreto causale è stabile se e solo se tutti i suoi poli hanno modulo minore di $1$, cioè se e solo se la RC di $G(z)$ contiene la circonferenza unitaria. Nelle dispense, con la variabile $z$ del polinomio $h(z)$, equivale a: tutte le radici $z_i$ di $h$ hanno $\lvert z_i\rvert>1$.

Perché: la risposta impulsiva è combinazione di modi $c\,p_i^{\,n}1_0(n)$ e $\sum_n\lvert p_i\rvert^n<\infty$ se e solo se $\lvert p_i\rvert<1$; per la stabilità BIBO serve $g$ assolutamente sommabile (Sistemi lineari tempo-invarianti e risposta impulsivaUna tf lineare e tempo-invariante (LTI, filtro) ha nucleo h(t,u) = g(t-u): l'uscita è la convoluzione y = gx con la risposta impulsiva g (uscita all'impulso ideale nell'origine). Causale se e solo se g è causale; stabile BIBO se e solo se g è assolutamente integrabile (sommabile); reale se e solo se g è reale. Cascata: g = g2g1; parallelo: g1+g2; retroazione: Ge = G/(1+HG) in frequenza.Sistemi lineari tempo-invarianti e risposta impulsiva →). Se $\lvert p_i\rvert<1$ anche l'evoluzione libera tende a zero.

Esempio. $y(n-2)+y(n-1)-6y(n)=x(n)$ ha poli $\frac12$ e $-\frac13$: stabile. $y(n)=2y(n-1)+x(n)$ ha il polo $2$: instabile.

Filtri FIR e IIR

• FIR (finite impulse response): $a_i=0$ per $i\ge1$ (nessun ritardo di $y$), $y(n)=\sum_{i=0}^Mb_ix(n-i)$, $g(nT)=\frac{b_n}T$ per $n=0..M$. Memoria finita $M$, sempre stabile, $G(z)=\sum b_iz^{-i}$ polinomio. Si realizza con $M$ ritardi, $M+1$ moltiplicatori e $M$ sommatori.
• IIR (infinite impulse response): con $a_i\ne0$ per qualche $i\ge1$; la risposta impulsiva è infinita. La stabilità dipende dai poli. Un IIR è la cascata di un FIR (coefficienti $b_i$) e di un IIR puramente ricorsivo (coefficienti $a_i$). La struttura puramente ricorsiva usa $N$ ritardi.

Cenno: descrizione con variabili di stato

Un sistema LTI discreto si può descrivere con equazioni di stato $$s(n+1)=A\,s(n)+B\,x(n),\qquad y(n)=C\,s(n)+D\,x(n),$$ con matrici $A$ ($L\times L$), $B$, $C$, $D$. Iterando: $y(n)=\underbrace{CA^ns(0)}_{y_\ell}+\underbrace{\sum_{r=0}^{n-1}CA^{n-r-1}Bx(r)+Dx(n)}_{y_f}$. La risposta impulsiva è $g(0)=D$, $g(n)=CA^{n-1}B$ per $n\ge1$, la funzione di trasferimento $G(z)=D+z^{-1}C(I-z^{-1}A)^{-1}B$ e il sistema è stabile se e solo se tutti gli autovalori di $A$ hanno modulo minore di $1$ (Equazioni di stato e circuiti di ordine superioreUn circuito con n componenti dinamici (condensatori e induttori "indipendenti") è di ordine n. Si descrive con n equazioni di stato del primo ordine, dx/dt = A x + B u, nelle tensioni dei condensatori e correnti degli induttori. Per scriverle si risolve il circuito resistivo associato (ogni C sostituito da un GIT di valore vC, ogni L da un GIC di valore iL) e si ricavano iC e vL. Gli autovalori di A sono le frequenze naturali: la soluzione libera è una somma di modi e^(s t). Il circuito è assolutamente stabile se tutti gli autovalori hanno parte reale negativa. Le equazioni si risolvono bene per via numerica (Eulero, SPICE).Equazioni di stato e circuiti di ordine superiore → per l'analogo nei circuiti). Un'equazione alle differenze si porta in questa forma scegliendo come stati i valori passati $y(n-i)$ e $x(n-i)$.

Esempio. $A=\begin{pmatrix}\frac12&0\\-1&\frac13\end{pmatrix}$, $B=\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}$, $C=(1\ \ {-2})$, $D=\frac12$: gli autovalori sono $\frac12$ e $\frac13$ (stabile). Con $s(0)=(1,-1)^T$: evoluzione libera $y_\ell(n)=13(\frac12)^n-10(\frac13)^n$; risposta impulsiva $g(n)=\frac12\delta(n)+\left[13(\frac12)^{n-1}-12(\frac13)^{n-1}\right]1_0(n-1)$; risposta forzata al gradino $y_f(n)=\left[\frac{17}2-26(\frac12)^n+18(\frac13)^n\right]1_0(n)$. Tutte verificate numericamente con le potenze di $A$.

Errori comuni

• Dimenticare che le condizioni iniziali sono $y(-1),\dots,y(-N)$ (non $y(0),\dots$) e che la risposta forzata ha condizioni iniziali nulle.
• Confondere le radici $z_i$ del polinomio caratteristico (nelle dispense, $\lvert z_i\rvert>1$ per la stabilità) con i poli $p_i=1/z_i$ ($\lvert p_i\rvert<1$).
• Mettere la RC sbagliata: per sistemi causali è sempre l'esterno della circonferenza del polo più lontano.
• Dire che un sistema con stato è LTI come tf anche a stato iniziale non nullo.

Vedi anche: Trasformata Z ed equazioni alle differenzeLa trasformata Z, $X(z)=\sum x(n)z^{-n}$, è la versione discreta di Laplace (la TFtd è $X(e^{j\omega})$). Un sistema descritto da un'equazione alle differenze $\sum a_ky(n-k)=\sum b_kx(n-k)$ ha $H(z)=\frac{\sum b_kz^{-k}}{\sum a_kz^{-k}}$ ed è BIBO stabile (se causale) quando tutti i poli stanno dentro il cerchio unitario, $|p|<1$. Cenni.Trasformata Z ed equazioni alle differenze → (materia gemella) e Sistemi continui descritti da equazioni differenzialiUn'equazione differenziale lineare a coefficienti costanti Σ a_i y^(i) = Σ b_i x^(i) descrive un sistema LTI continuo con stato (condizioni iniziali y(0), y'(0), ...). L'uscita è evoluzione libera + risposta forzata g*x. Si calcola risolvendo l'equazione (omogenea + particolare) oppure con Laplace: G(p) = Σ b_i p^i / Σ a_i p^i. Il sistema è stabile se tutte le radici del polinomio caratteristico hanno parte reale negativa.Sistemi continui descritti da equazioni differenziali → per il caso continuo.