Serie di Fourier

L'idea è rappresentare un segnale periodico come somma di segnali elementari: le sinusoidi (più comodamente, gli esponenziali complessi) alle frequenze multiple di una fondamentale. Storicamente la serie nasce con Eulero e Fourier per i segnali periodici; l'estensione ai segnali non periodici (Trasformata di FourierLa trasformata di Fourier $S(f)=\int s(t)e^{-i2\pi ft}dt$ associa a un segnale continuo (anche aperiodico) la sua rappresentazione in frequenza; l'antitrasformata $s(t)=\int S(f)e^{i2\pi ft}df$ lo ricostruisce, perché gli esponenziali $e^{i2\pi ft}$ sono ortogonali su tutto $\mathbb R$ ($\int e^{i2\pi ft}dt=\delta(f)$). Per un segnale reale $S(-f)=S^*(f)$. Si calcola per i segnali notevoli (rect $\leftrightarrow$ sinc, $e^{-\alpha t}\mathbf 1(t)\leftrightarrow\frac1{\alpha+i2\pi f}$, gaussiana, $\delta\leftrightarrow1$, $1\leftrightarrow\delta$, gradino) e per i segnali periodici, la cui trasformata è un treno di impulsi di area $S_n$ in $nF$.Trasformata di Fourier →) è successiva. Lo studio è utile da subito perché ogni dispositivo che elabora un segnale periodico si descrive molto più semplicemente componente per componente (si veda Risposta in frequenza e filtriLa risposta in frequenza G(f) = F[g] di un filtro LTI dà Y = G·X. Gli esponenziali complessi sono autofunzioni (autovalore G(f)), quindi un ingresso sinusoidale esce sinusoidale con ampiezza moltiplicata per |G(f0)| e fase aumentata di arg G(f0). Il filtro è reale se G è hermitiana, invertibile se G non si annulla. I filtri ideali sono rect in frequenza; non distorsione secondo Heaviside: |G| costante e fase lineare.Risposta in frequenza e filtri →).

Esponenziali ortogonali

Sia $T_p$ il periodo e $F=\frac1{T_p}$ la frequenza fondamentale. Si considerano gli esponenziali $$\phi_k(t)=e^{i2\pi kFt},\qquad k=0,\pm1,\pm2,\dots$$ $\phi_0=1$ è costante; $\phi_k=\cos2\pi kFt+i\sin2\pi kFt$ ha periodo minimo $T_p/|k|$, quindi $T_p$ è un periodo (non minimo) di tutte. Si dice che $\phi_k$ è l'armonica $k$-esima e $\phi_{\pm1}$ è la fondamentale.

Teorema (ortogonalità). Per ogni coppia di interi $h,k$: $$\int_0^{T_p}\phi_h(t)\,\phi_k^*(t)\,dt=T_p\,\delta_{hk}=\begin{cases}T_p&h=k\\0&h\ne k\end{cases}$$ (lo stesso su qualunque intervallo di lunghezza $T_p$).

Esempio. Con $T_p=1$: $\int_0^1e^{i2\pi\cdot3t}e^{-i2\pi\cdot1t}dt=\int_0^1e^{i4\pi t}dt=\frac{e^{i4\pi}-1}{i4\pi}=0$, mentre $\int_0^1|e^{i2\pi t}|^2dt=1$.

Il perché è semplice: il prodotto $\phi_h\phi_k^*=e^{i2\pi(h-k)Ft}=\phi_{h-k}$ è un esponenziale con un numero intero e non nullo di periodi in $T_p$, quindi ha area nulla sul periodo; per $h=k$ vale $1$ e l'area è $T_p$.

Idea geometrica. I segnali periodici di periodo $T_p$ formano uno spazio vettoriale complesso (Spazi vettorialiUno spazio vettoriale su un campo K è un insieme con una somma di vettori e un prodotto per scalari che rispettano 7 proprietà. Esempi fondamentali: K^n (somma componente per componente), le funzioni da R in R, i polinomi.Spazi vettoriali →) in cui $\langle x,y\rangle=\int_{T_p}x(t)y^*(t)\,dt$ è un prodotto scalare (Prodotto scalare, norma e angoliIl prodotto scalare aggiunge a uno spazio vettoriale lunghezze e angoli: norma, disuguaglianza di Cauchy-Schwarz, angolo tra vettori in R^n, ortogonalità, proiezione su una retta, aree e volumi con il determinante della matrice dei prodotti scalari.Prodotto scalare, norma e angoli →). Le funzioni $\phi_k$ sono mutuamente ortogonali, e quindi, a meno del fattore $\sqrt{T_p}$, formano una base ortonormale (Basi ortonormali e Gram-SchmidtUna base ortonormale è fatta di vettori di norma 1 a due a due ortogonali: le coordinate si calcolano con prodotti scalari e le proiezioni con una formula diretta. Il procedimento di Gram-Schmidt trasforma una base qualsiasi in una base ortogonale (e poi ortonormale) dello stesso sottospazio.Basi ortonormali e Gram-Schmidt →). Come un vettore del piano si scrive con le sue proiezioni su una base ortonormale, un segnale periodico si scrive con i suoi coefficienti di Fourier, che ne sono le coordinate rispetto a quella base.

Serie e coefficienti

Teorema (serie di Fourier). Un segnale periodico di periodo $T_p=1/F$ (sotto le condizioni date più sotto) si scrive $$s(t)=\sum_{n=-\infty}^{+\infty}S_n\,e^{i2\pi nFt}\qquad\text{(sintesi)},\qquad S_n=\frac1{T_p}\int_{T_p}s(t)\,e^{-i2\pi nFt}\,dt\qquad\text{(analisi)}.$$ L'integrale si può calcolare su un qualsiasi intervallo di lunghezza $T_p$.

Esempio. Il segnale che vale $1$ in $[0,\frac12)$ e $i$ in $[\frac12,1)$ (periodo $T_p=1$) ha $S_0=\frac{1+i}2$ (media) e, per $n\ne0$, $S_n=\frac{((-1)^n-1)(1+i)}{2\pi n}$: $S_1=-\frac{1+i}\pi=-0{,}318(1+i)$, $S_2=0$, $S_3=-0{,}106(1+i)$ (confermato dall'integrale numerico).

Come si ricava l'analisi. Si parte dalla sintesi, si moltiplica per $e^{-i2\pi kFt}$ e si integra su un periodo: per l'ortogonalità sopravvive solo il termine $n=k$, $$\frac1{T_p}\int_{T_p}s(t)\,\phi_k^*(t)\,dt=\sum_nS_n\cdot\frac1{T_p}\int_{T_p}\phi_n\phi_k^*\,dt=\sum_nS_n\delta_{nk}=S_k.$$ Segnale e coefficienti sono in corrispondenza biunivoca: $s\leftrightarrow\{S_n\}$.

Significato. Il segnale è somma di componenti esponenziali alle frequenze $f_n=nF$; associando a $nF$ il coefficiente $S_n$ si ottiene una rappresentazione in frequenza, lo spettro a righe (si disegnano $|S_n|$ e $\arg S_n$, oppure $\Re S_n$ e $\Im S_n$, in funzione di $nF$). Il coefficiente $S_0$ è il valor medio, perché $\frac1{T_p}\int_{T_p}s=S_0$. I coefficienti hanno le stesse dimensioni del segnale (volt se $s$ è una tensione).

Quando la serie esiste

Senza entrare nei dettagli:

• Condizioni di Dirichlet. Se in un periodo $s$ è assolutamente integrabile, ha un numero finito di massimi e minimi e di discontinuità di salto, i coefficienti esistono (perché $|S_n|\le\frac1{T_p}\int|s|$) e la serie converge a $s(t)$ in ogni punto di continuità, e all'emivalore $\frac12[s(t_0^-)+s(t_0^+)]$ nei punti di salto: ecco perché i segnali si definiscono con l'emivalore.
• Energia finita. Se $\int_{T_p}|s|^2<\infty$ la serie converge a $s$ in media quadratica: l'errore $e=s-\hat s$ ha energia nulla in un periodo.
• Vale anche per funzioni generalizzate (per esempio il treno di impulsi).

Si può quindi assumere che tutti i segnali periodici di interesse siano sviluppabili in serie. Il calcolo diretto di $S_n$ (integrare) è quasi sempre elementare; il problema inverso (dalla successione $S_n$ al segnale, sommando la serie) è quasi sempre difficile, salvo casi come quello sotto.

Esempi fondamentali

Sinusoide. Con $F=f_0$, $s(t)=A_0\cos(2\pi f_0t+\varphi_0)=\frac12A_0e^{i\varphi_0}e^{i2\pi f_0t}+\frac12A_0e^{-i\varphi_0}e^{-i2\pi f_0t}$ dà direttamente $S_1=\frac12A_0e^{i\varphi_0}$, $S_{-1}=\frac12A_0e^{-i\varphi_0}$ e $S_n=0$ per $|n|\ne1$.

Treno di impulsi rettangolari. $s(t)=\sum_kA_0\operatorname{rect}\frac{t-kT_p}{dT_p}$, con $d\in(0,1]$ il ciclo utile (durata dell'impulso diviso il periodo). Sul periodo centrato $s=A_0\operatorname{rect}\frac t{dT_p}$ e $$S_0=A_0d,\qquad S_n=\frac1{T_p}\int_{-dT_p/2}^{dT_p/2}A_0e^{-i2\pi nFt}dt=A_0\frac{e^{i\pi nd}-e^{-i\pi nd}}{i2\pi n}=A_0d\,\frac{\sin\pi nd}{\pi nd}=A_0d\,\operatorname{sinc}(nd).$$ Esempio. Con $A_0=2$, $d=\frac14$: $S_0=0{,}5$, $S_1=0{,}5\operatorname{sinc}\frac14=0{,}4502$, $S_4=0{,}5\operatorname{sinc}(1)=0$ (gli zeri del sinc cadono dove $nd$ è intero). Per $d=1$ il segnale è costante e infatti $S_n=0$ per $n\ne0$. I coefficienti seguono l'inviluppo $A_0d\operatorname{sinc}(\cdot)$ campionato nei punti $nd$.

Impulso periodico. $\delta_{T_p}(t)=\sum_k\delta(t-kT_p)$ (Impulso ideale (delta di Dirac)L'impulso ideale $\delta(t)$ è il segnale "nullo fuori dall'origine e di area $1$" definito dalla proprietà rivelatrice $\int s(t)\delta(t-t_0),dt=s(t_0)$: è il limite (in senso operativo) di impulsi rettangolari sempre più stretti e alti di area $1$. Serve per scrivere derivate dei segnali con salti (la derivata del gradino è $\delta$, il salto diventa un impulso di area pari al salto), come elemento neutro della convoluzione e come risposta impulsiva dei filtri. Non ha senso parlare di energia o potenza di $\delta$.Impulso ideale (delta di Dirac) →) ha $S_n=\frac1{T_p}\int\delta_{T_p}e^{-i2\pi nFt}dt=\frac1{T_p}e^{-i2\pi nFhT_p}=F$ per ogni $n$: tutti i coefficienti sono uguali a $F$. Ne segue l'identità $$\sum_{k=-\infty}^{+\infty}\delta(t-kT_p)=\sum_{n=-\infty}^{+\infty}F\,e^{i2\pi nFt}.$$

Coefficienti costanti in una banda. Se $S_n=A_0$ per $|n|\le N$ e $0$ altrimenti, con $z=e^{i2\pi Ft}$ la somma geometrica (Serie notevoli - geometrica, telescopica, armonicaLe serie di cui si conosce il carattere e da usare come termine di paragone: geometrica (converge a 1/(1-q) se |q|<1), telescopiche (somma b_1 - lim b_n, come Mengoli), armonica generalizzata (1/n^alpha converge se e solo se alpha>1).Serie notevoli - geometrica, telescopica, armonica →) $\sum_{n=-N}^{N}z^n=\frac{z^{N+1/2}-z^{-N-1/2}}{z^{1/2}-z^{-1/2}}$ dà $$s(t)=A_0\frac{\sin\pi(2N+1)Ft}{\sin\pi Ft},\qquad s(0)=A_0(2N+1)$$ (il "sinc periodico"). Per $N=3$, $Ft=0{,}13$: $s=0{,}7025A_0$.

Coefficienti che decadono geometricamente. $S_n=(\frac12)^n$ per $n\ge0$ e $0$ per $n<0$ è la serie geometrica di ragione $z=\frac12e^{i2\pi Ft}$ (modulo $\frac12<1$): $s(t)=\frac1{1-\frac12e^{i2\pi Ft}}$. Per $Ft=0$ vale $2$; per $Ft=\frac12$ vale $\frac23=0{,}667$.

Segnali reali

Se $s$ è reale, $S_{-n}=\frac1{T_p}\int s\,e^{+i2\pi nFt}dt=\Big[\frac1{T_p}\int s\,e^{-i2\pi nFt}dt\Big]^*=S_n^*$: i coefficienti hanno simmetria hermitiana (parte reale pari e parte immaginaria dispari in $n$, modulo pari e fase dispari). Basta quindi conoscere $S_n$ per $n\ge0$. Accoppiando le armoniche $n$ e $-n$ con le formule di Eulero, con $S_n=R_n+iX_n$: $$s(t)=S_0+\sum_{n=1}^\infty2\big[R_n\cos2\pi nFt-X_n\sin2\pi nFt\big]=A_0+\sum_{n=1}^\infty A_n\cos(2\pi nFt+\varphi_n),$$ con $A_0=S_0$, $A_n=2|S_n|$ e $\varphi_n=\arg S_n$ per $n\ge1$. Questa è la forma "fisica": solo frequenze positive $nF$, con la componente continua $A_0$, la fondamentale ($n=1$) e le armoniche. Le frequenze negative dell'esponenziale sono un artificio matematico.

Esempio. Per una tensione $v(t)=V_0+\sum_nV_n\cos(2\pi nFt+\varphi_n)$ il valore efficace $\sqrt{\frac1{T_p}\int v^2}$ è $\sqrt{V_0^2+\frac12\sum V_n^2}$: per $V_0=1$, $V_1=2$, $V_2=1$ vale $\sqrt{1+2+0{,}5}=1{,}871$.

Se $s$ è reale e pari, $S_n$ è reale e pari e lo sviluppo contiene solo coseni; se reale e dispari, $S_n$ è immaginario puro e dispari e contiene solo seni.

Regole

Regole (serie di Fourier). Sia $s$ periodico di periodo $T_p$ con coefficienti $S_n$ ($x,y$ con coefficienti $X_n,Y_n$):

regola	segnale	coefficienti
linearità	$ax+by$	$aX_n+bY_n$
ribaltamento	$s(-t)$	$S_{-n}$
coniugio	$s^*(t)$	$S_{-n}^*$
traslazione nel tempo	$s(t-t_0)$	$S_ne^{-i2\pi nFt_0}$
traslazione in frequenza	$s(t)e^{i2\pi n_0Ft}$	$S_{n-n_0}$
prodotto	$x(t)y(t)$	$\sum_mX_mY_{n-m}$
convoluzione ciclica	$x*y(t)$	$T_p\,X_nY_n$
derivata	$s'(t)$	$i2\pi nF\,S_n$

Inoltre: valor medio $m_s=S_0$; teorema di Parseval $P_s=\frac1{T_p}\int_{T_p}|s|^2=\sum_n|S_n|^2$.

Esempio (mezzo periodo). Una traslazione di $t_0=\frac{T_p}2$ moltiplica $S_n$ per $e^{-i\pi n}=(-1)^n$: i coefficienti pari non cambiano e quelli dispari cambiano segno. Una conseguenza: se $s(t)=-s(t-\frac{T_p}2)$ allora $S_n=-(-1)^nS_n$, quindi $S_n=0$ per $n$ pari (niente armoniche pari, come nell'onda quadra bipolare).

Esempio (modulazione). $x(t)=s(t)\cos2\pi Ft=\frac12s\,e^{i2\pi Ft}+\frac12s\,e^{-i2\pi Ft}$ ha coefficienti $\frac12S_{n-1}+\frac12S_{n+1}$.

Esempio (Parseval). Per $A_0\cos(2\pi f_0t+\varphi_0)$: $P=|S_1|^2+|S_{-1}|^2=2\big(\frac{A_0}2\big)^2=\frac{A_0^2}2$, come visto direttamente in Segnali notevoli - gradino, rect, tri, sinc ed esponenzialiI segnali di uso più frequente sono la costante, la sinusoide $A_0\cos(2\pi f_0t+\varphi_0)$ e l'esponenziale complesso $Ae^{i2\pi f_0t}$ (periodici, a potenza finita), il gradino $\mathbf 1(t)$ e il segno, e gli impulsi a energia finita: $\operatorname{rect}$ (area $D$), $\operatorname{tri}$, $\operatorname{sinc}$ (area $1$), la gaussiana $e^{-\pi t^2}$ e gli esponenziali smorzati. Per ciascuno si sanno a memoria forma, area ed energia; gli altri segnali si ottengono da questi con traslazioni, scalature, somme e differenze.Segnali notevoli - gradino, rect, tri, sinc ed esponenziali →.

Perché valgono. La traslazione: $\frac1{T_p}\int s(t-t_0)e^{-i2\pi nFt}dt$ con $u=t-t_0$ dà $S_ne^{-i2\pi nFt_0}$. Il prodotto: si sostituisce lo sviluppo di $y$ e si usa la traslazione in frequenza. La convoluzione ciclica: $\int_{T_p}x(u)\,y(t-u)\,du$ ha, per ogni $n$, il coefficiente $T_p\,X_nY_n$ (la verifica numerica con la FFT di due vettori casuali conferma l'identità). La derivata: si deriva la sintesi termine a termine, $\frac{d}{dt}e^{i2\pi nFt}=i2\pi nF\,e^{i2\pi nFt}$ (utile per segnali a tratti, derivando fino a ottenere impulsi).

La regola del prodotto è una convoluzione discreta dei coefficienti; le due scritture (prodotto nel tempo $\leftrightarrow$ convoluzione dei coefficienti; convoluzione nel tempo $\leftrightarrow$ prodotto dei coefficienti) tornano nella trasformata di Fourier (Proprietà della trasformata di FourierLe regole della trasformata di Fourier trasformano operazioni sui segnali in operazioni sulle trasformate: linearità, ribaltamento, coniugio, traslazione nel tempo ($\times e^{-i2\pi ft_0}$) e in frequenza, convoluzione $\leftrightarrow$ prodotto, cambio di scala $s(at)\to\frac1{|a|}S(f/a)$, derivazione ($\times i2\pi f$), integrazione, regola di simmetria ($S(t)\to s(-f)$). Area $S(0)=\int s$, teorema di Parseval $\int|s|^2=\int|S|^2$. Durata e banda sono inversamente legati e un segnale non può avere durata e banda entrambe limitate; la banda del prodotto è la somma delle bande. Con queste regole si ricavano quasi tutte le trasformate senza integrare.Proprietà della trasformata di Fourier →), dove la trasformata di un segnale periodico è proprio il treno di impulsi $\sum_nS_n\,\delta(f-nF)$ (Trasformata di FourierLa trasformata di Fourier $S(f)=\int s(t)e^{-i2\pi ft}dt$ associa a un segnale continuo (anche aperiodico) la sua rappresentazione in frequenza; l'antitrasformata $s(t)=\int S(f)e^{i2\pi ft}df$ lo ricostruisce, perché gli esponenziali $e^{i2\pi ft}$ sono ortogonali su tutto $\mathbb R$ ($\int e^{i2\pi ft}dt=\delta(f)$). Per un segnale reale $S(-f)=S^*(f)$. Si calcola per i segnali notevoli (rect $\leftrightarrow$ sinc, $e^{-\alpha t}\mathbf 1(t)\leftrightarrow\frac1{\alpha+i2\pi f}$, gaussiana, $\delta\leftrightarrow1$, $1\leftrightarrow\delta$, gradino) e per i segnali periodici, la cui trasformata è un treno di impulsi di area $S_n$ in $nF$.Trasformata di Fourier →).

Troncamento e fenomeno di Gibbs

La serie troncata $s_N(t)=\sum_{|n|\le N}S_ne^{i2\pi nFt}$ è la migliore approssimazione di $s$ con $2N+1$ armoniche nel senso dell'energia dell'errore (è la proiezione ortogonale: i coefficienti non cambiano aggiungendo altre armoniche). Vicino a un salto però la convergenza non è uniforme: le somme parziali oscillano e hanno un picco che non diminuisce, ma si restringe. Per l'onda quadra $A_0=1$, $d=\frac12$ (salto $1$) il massimo di $s_N$ vale $1{,}0912$ per $N=9$, $1{,}0896$ per $N=49$ e tende a $1{,}0895$: circa il 9% del salto, qualunque sia $N$.

L'esempio sonoro e visivo: nei suoni musicali periodici il timbro è determinato dalle ampiezze $|S_n|$ delle armoniche; sommando pochissime armoniche si riconosce già la forma d'onda, e ne servono molte per i salti.

Armoniche e timbro: l'illustrazione visiva e sonora

Un suono periodico (una nota tenuta) ha frequenza fondamentale $F$, che l'orecchio sente come altezza della nota (per $F=440$ Hz, il la), e armoniche in $2F,3F,\dots$ di ampiezza $A_n=2|S_n|$: sono le $A_n$ a dare il timbro. Due strumenti che suonano lo stesso la differiscono per i valori delle $A_n$, non per $F$. All'orecchio arrivano al più le armoniche sotto i $20$ kHz, cioè $n\le45$ per $F=440$ Hz.

Si confrontano tre onde di ampiezza $1$ e periodo $T_p=1/F$.

Dente di sega. $s(t)=\frac{2t}{T_p}$ per $|t|<\frac{T_p}2$ (rampa da $-1$ a $1$, ripetuta). Con $a=2\pi nF$ l'analisi si fa per parti, $\int t\,e^{-iat}dt=\frac{i\,t}{a}e^{-iat}+\text{(termine che si annulla su un periodo)}$: $$S_n=\frac1{T_p}\int_{-T_p/2}^{T_p/2}\frac{2t}{T_p}e^{-i2\pi nFt}dt=\frac{2}{T_p^2}\cdot\frac{iT_p(-1)^n}{2\pi n/T_p}=\frac{i\,(-1)^n}{\pi n}\quad(n\ne0),\qquad S_0=0.$$ Il segnale è reale e dispari: solo seni, $s(t)=\sum_{n\ge1}\frac{2(-1)^{n+1}}{\pi n}\sin(2\pi nFt)$, con $A_n=\frac2{\pi n}$ per tutte le armoniche.

Onda quadra $\pm1$: $A_n=\frac4{\pi n}$ per $n$ dispari, $0$ per $n$ pari (simmetria di mezzo periodo). Onda triangolare (da $1$ a $-1$ in mezzo periodo): la sua derivata è un'onda quadra di ampiezza $\frac4{T_p}$, e la regola della derivata ($\times\,i2\pi nF$) dà $A_n=\frac{4/T_p}{2\pi n/T_p}\cdot\frac4{\pi n}=\frac8{\pi^2n^2}$ per $n$ dispari.

Per Parseval la potenza della sinusoide $n$-esima è $\frac{A_n^2}2$. La potenza totale è $\frac13$ per sega e triangolare e $1$ per la quadra. La frazione di potenza contenuta nelle prime armoniche mostra quanto ciascuna onda è "povera" o "ricca":

(tutti i valori calcolati numericamente dai coefficienti, con la media di $s\,e^{-i2\pi nFt}$ su una griglia fitta). Il decadimento delle $A_n$ dipende dalla regolarità: i segnali con salti (sega, quadra) hanno $A_n\propto\frac1n$ e servono molte armoniche per seguire i salti (di qui anche Gibbs); il triangolare, continuo e con soli spigoli, ha $A_n\propto\frac1{n^2}$ ed è quasi una sinusoide. Ogni derivata aggiunge un fattore $n$ ai coefficienti, quindi ogni integrazione ne toglie uno. All'ascolto, a pari altezza, il suono del triangolare è "puro" e quello della sega "brillante".

Esercizi collegati

• Esercizio - coefficienti di Fourier di un triangolo periodico e forma trigonometrica
• Esercizio - serie di Fourier di segnali pari e con simmetria di mezzo periodo
• Esercizio - Parseval, impulsi periodici e coefficienti assegnati
• Esercizio - convoluzione ciclica di impulsi rettangolari periodici
• Esercizio - laboratorio 4, coefficienti di Fourier con la FFT

Vedi anche la materia gemella: Serie di Fourier - analisi e sintesiUn segnale periodico di periodo $T$ si scrive come somma di esponenziali in relazione armonica, $x(t)=\sum_ka_ke^{jk\omega_0t}$ con $\omega_0=2\pi/T$, e i coefficienti si ottengono per proiezione, $a_k=\frac1T\int_Tx(t)e^{-jk\omega_0t}dt$. L'ortogonalità degli esponenziali dà la formula; la convergenza è in media quadratica (Riesz-Fischer), con il fenomeno di Gibbs nei salti.Serie di Fourier - analisi e sintesi →, Serie di Fourier - coefficienti di segnali notevoliCoefficienti di Fourier dei segnali periodici più frequenti: costante e sinusoidi (si leggono con Eulero), pettine ($a_k=1/T$), onda quadra con duty cycle $d$ ($a_k=d,\operatorname{sinc}(kd)$), coseno rettificato, dente di sega e onda triangolare. Utile anche il trucco della derivata: $a_k=b_k/(jk\omega_0)$ dove $b_k$ sono i coefficienti di $x'$.Serie di Fourier - coefficienti di segnali notevoli → e Serie di Fourier - proprietà e sistemi LTI in regime periodicoLe proprietà della serie di Fourier (linearità, ribaltamento, coniugio, ritardo $\to$ fattore $e^{-jk\omega_0t_1}$, modulazione $\to$ traslazione dei coefficienti, derivata $\to$ fattore $jk\omega_0$, Parseval $P=\sum|a_k|^2$, convoluzione periodica $\to$ prodotto) permettono di calcolare i coefficienti senza integrare. Un LTI stabile con ingresso periodico produce uscita periodica con coefficienti $b_k=H(k\omega_0)a_k$.Serie di Fourier - proprietà e sistemi LTI in regime periodico →.