Esercizio - processo gaussiano filtrato, campionato e interpolato (prova scritta del 19 giugno 2025)

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Testo (prova scritta del corso Teoria dei Segnali, UniPD, 19 giugno 2025, problema 2). Il processo $x(t)$, $t\in\mathbb R$, gaussiano e stazionario, con media nulla e correlazione $$r_x(\tau)=r_0\operatorname{sinc}^2(F_1\tau),\qquad\tau\in\mathbb R,$$ è in ingresso a un filtro con risposta in frequenza $H(f)=\operatorname{rect}(f/F_1)$. Il processo in uscita $y(t)$, $t\in\mathbb R$, viene campionato con frequenza $F_c=\frac{3F_1}2$ e successivamente interpolato con un interpolatore LTI ideale con risposta in frequenza $G(f)=\operatorname{rect}(f/F_c)$; l'uscita è $\tilde x(t)$.

$$x(t)\ \xrightarrow{\ h(\cdot)\ }\ y(t),\ \mathbb R\ \xrightarrow{\ \downarrow\ }\ y_c(t),\ \mathbb Z(T)\ \xrightarrow{\ \uparrow g(\cdot)\ }\ \tilde x(t),\ \mathbb R$$

1. Fornire una rappresentazione grafica accurata della densità spettrale di potenza del processo $y(t)$.
2. Calcolare la potenza statistica dell'errore di ricostruzione $e(t)=\tilde x(t)-x(t)$ per $r_0=4$ V$^2$.
3. Calcolare la probabilità $P\big[\tilde x(t)>\sqrt{r_0}\big]$.

Teoria usata: Processi stazionari e densità spettrale di potenzaUn processo è stazionario in media, in potenza, nel primo ordine o in correlazione se la rispettiva grandezza non cambia traslando il tempo; stazionario in senso lato (sl) = media costante e r_x(t,s) = r_x(t-s); in senso stretto (ss) = tutte le densità invarianti. La densità spettrale di potenza R_x(f) = F[r_x(τ)] è non negativa e ha integrale = potenza statistica. Rumore bianco: R costante. Ciclostazionario: statistiche periodiche. Ergodico in media: la media temporale di una realizzazione converge a m_x.Processi stazionari e densità spettrale di potenza →, Processi aleatori attraverso sistemi LTIUna trasformazione applicata a ogni realizzazione dà un nuovo processo, ma dalla descrizione statistica di x non sempre si ricava quella di y (controesempi); si può se ogni vettore di y dipende da un vettore finito di x. Per una tf lineare m_y e r_y si calcolano col nucleo; un filtro LTI conserva la stazionarietà in senso lato: m_y = G(0) m_x, R_y = |G|² R_x. Il campionamento di un processo sl dà un processo sl con PSD ripetuta periodicamente. L'interpolazione LTI di un processo discreto sl è ciclostazionaria. Teorema del campionamento per processi: R_x nulla fuori da (-B,B) e Fc ≥ 2B danno ricostruzione esatta in media quadratica; altrimenti la potenza dell'errore è in banda + fuori banda.Processi aleatori attraverso sistemi LTI →, Interpolazione LTI e teorema del campionamentoIl campionatore R→Z(T) ripete lo spettro con periodo Fc = 1/T (Sc(f) = Σ S(f - kFc), senza fattore 1/T). Il filtro interpolatore Z(T)→R ha y(t) = Σ x(nT) g0(t-nT) con g0 = T g e in frequenza Y = G·X. Se S è nulla fuori da (-B,B) e Fc ≥ 2B, con g0(t) = sinc(Fc t) si ricostruisce esattamente s(t) dai campioni. Altrimenti c'è un errore (in banda per l'aliasing, fuori banda per la parte tagliata), ridotto da un prefiltro anti-aliasing.Interpolazione LTI e teorema del campionamento →, Campionamento e ricostruzioneIl campionamento $s_c(nT)=s(nT)$ trasforma un segnale continuo in uno discreto e, in frequenza, ripete lo spettro con periodo $F_c=1/T$: $S_c(f)=\sum_kS(f-kF_c)$. Se le repliche si sovrappongono si ha aliasing e il segnale non è recuperabile. Un interpolatore $\mathbb Z(T)\to\mathbb R$ con risposta impulsiva $g$ produce $\tilde s(t)=\sum_nT g(t-nT)s(nT)$ e $\tilde S=G,S_c$. Teorema del campionamento: se $s$ ha banda $B$ e $F_c\ge2B$, l'interpolatore ideale $G=\operatorname{rect}(f/F_c)$ ricostruisce esattamente $s(t)=\sum s(nT)\operatorname{sinc}(F_c(t-nT))$. Se le ipotesi non valgono c'è un errore, in banda e fuori banda, riducibile con un prefiltro anti-aliasing.Campionamento e ricostruzione →, Distribuzione gaussiana (normale)N(μ, σ²) ha densità e^(−(x−μ)²/(2σ²)) / √(2πσ²), a campana centrata in μ con larghezza σ; media μ, varianza σ²; si standardizza con Z = (X − μ)/σ ~ N(0, 1) e si calcola P(X ≤ x) = Φ((x − μ)/σ), con Φ(−z) = 1 − Φ(z); aX + b è ancora gaussiana, N(aμ + b, a²σ²).Distribuzione gaussiana (normale) →, Vettori gaussianiX = (X₁, ..., Xₙ) è un vettore gaussiano N(m, Σ) se ogni combinazione lineare a·X è gaussiana (equivalentemente X = m + AZ con Z gaussiane standard indipendenti); se Σ è invertibile ha densità exp(−½(x−m)ᵀΣ⁻¹(x−m)) / √((2π)ⁿ det Σ). Proprietà chiave: AX + b ~ N(Am + b, AΣAᵀ), le marginali sono gaussiane e componenti non correlate sono indipendenti.Vettori gaussiani →.

(1) La densità spettrale di potenza di $y$

Spettro dell'ingresso. La densità spettrale di potenza statistica è la trasformata della correlazione (Processi stazionari e densità spettrale di potenzaUn processo è stazionario in media, in potenza, nel primo ordine o in correlazione se la rispettiva grandezza non cambia traslando il tempo; stazionario in senso lato (sl) = media costante e r_x(t,s) = r_x(t-s); in senso stretto (ss) = tutte le densità invarianti. La densità spettrale di potenza R_x(f) = F[r_x(τ)] è non negativa e ha integrale = potenza statistica. Rumore bianco: R costante. Ciclostazionario: statistiche periodiche. Ergodico in media: la media temporale di una realizzazione converge a m_x.Processi stazionari e densità spettrale di potenza →). Dalla coppia $\operatorname{sinc}^2(t/D)\leftrightarrow D\operatorname{tri}(Df)$ con $D=\frac1{F_1}$: $$R_x(f)=\mathcal F[r_x](f)=\frac{r_0}{F_1}\operatorname{tri}\!\Big(\frac f{F_1}\Big),$$ un triangolo di altezza $\frac{r_0}{F_1}$ e supporto $\lvert f\rvert<F_1$. Controllo sulla potenza: l'area è $\frac{r_0}{F_1}\cdot F_1=r_0=r_x(0)$ ✓ (area del triangolo = base $2F_1$ per altezza, diviso 2).

Attraverso il filtro. Per un filtro LTI su un processo sl l'uscita è sl e $R_y=\lvert H\rvert^2R_x$ (Processi aleatori attraverso sistemi LTIUna trasformazione applicata a ogni realizzazione dà un nuovo processo, ma dalla descrizione statistica di x non sempre si ricava quella di y (controesempi); si può se ogni vettore di y dipende da un vettore finito di x. Per una tf lineare m_y e r_y si calcolano col nucleo; un filtro LTI conserva la stazionarietà in senso lato: m_y = G(0) m_x, R_y = |G|² R_x. Il campionamento di un processo sl dà un processo sl con PSD ripetuta periodicamente. L'interpolazione LTI di un processo discreto sl è ciclostazionaria. Teorema del campionamento per processi: R_x nulla fuori da (-B,B) e Fc ≥ 2B danno ricostruzione esatta in media quadratica; altrimenti la potenza dell'errore è in banda + fuori banda.Processi aleatori attraverso sistemi LTI →). Qui $\lvert H\rvert^2=\operatorname{rect}(f/F_1)$ (vale 0 o 1), cioè il filtro lascia passare solo $\lvert f\rvert<\frac{F_1}2$ e taglia la parte più esterna del triangolo: $$\boxed{R_y(f)=\frac{r_0}{F_1}\Big(1-\frac{\lvert f\rvert}{F_1}\Big)\operatorname{rect}\Big(\frac f{F_1}\Big),\qquad\text{cioè }\ R_y(f)=\frac{r_0}{F_1}\Big(1-\frac{\lvert f\rvert}{F_1}\Big)\ \text{per }\lvert f\rvert<\frac{F_1}2.}$$ Valori: $R_y(0)=\frac{r_0}{F_1}$ al centro, $R_y\big(\pm\frac{F_1}2\big)=\frac{r_0}{2F_1}$ ai bordi, dove cade a 0 con un salto. Per $r_0=4$ V$^2$: $\frac{4}{F_1}$ V$^2$/Hz al centro e $\frac2{F_1}$ ai bordi.

Potenza di $y$. È l'area di $R_y$ (Processi stazionari e densità spettrale di potenzaUn processo è stazionario in media, in potenza, nel primo ordine o in correlazione se la rispettiva grandezza non cambia traslando il tempo; stazionario in senso lato (sl) = media costante e r_x(t,s) = r_x(t-s); in senso stretto (ss) = tutte le densità invarianti. La densità spettrale di potenza R_x(f) = F[r_x(τ)] è non negativa e ha integrale = potenza statistica. Rumore bianco: R costante. Ciclostazionario: statistiche periodiche. Ergodico in media: la media temporale di una realizzazione converge a m_x.Processi stazionari e densità spettrale di potenza →); con $u=\frac f{F_1}$, $df=F_1du$: $$M_y=\int R_y\,df=2\,r_0\int_0^{1/2}(1-u)\,du=2r_0\Big(\frac12-\frac18\Big)=\frac34\,r_0.$$ Per $r_0=4$ V$^2$ è $M_y=3$ V$^2$: il filtro toglie un quarto della potenza di $x$.

(2) Potenza dell'errore di ricostruzione

Il campionamento non perde niente. $y$ ha banda $B=\frac{F_1}2$ ($R_y=0$ per $\lvert f\rvert>\frac{F_1}2$), quindi per il teorema del campionamento servirebbe $F_c\ge2B=F_1$. Si campiona a $F_c=\frac{3F_1}2>F_1$: le repliche di $R_y$, spaziate di $F_c$, hanno supporto $\big[kF_c-\frac{F_1}2,\,kF_c+\frac{F_1}2\big]$ e non si toccano (la prima replica parte da $F_c-\frac{F_1}2=F_1>\frac{F_1}2$). L'interpolatore $G=\operatorname{rect}(f/F_c)$ passa $\lvert f\rvert<\frac{F_c}2=\frac{3F_1}4$ e lì c'è solo la replica centrale: $R_{\tilde x}=\lvert G\rvert^2R_{y_c}=R_y$. La ricostruzione è esatta in media quadratica, $\tilde x(t)=y(t)$ (Interpolazione LTI e teorema del campionamentoIl campionatore R→Z(T) ripete lo spettro con periodo Fc = 1/T (Sc(f) = Σ S(f - kFc), senza fattore 1/T). Il filtro interpolatore Z(T)→R ha y(t) = Σ x(nT) g0(t-nT) con g0 = T g e in frequenza Y = G·X. Se S è nulla fuori da (-B,B) e Fc ≥ 2B, con g0(t) = sinc(Fc t) si ricostruisce esattamente s(t) dai campioni. Altrimenti c'è un errore (in banda per l'aliasing, fuori banda per la parte tagliata), ridotto da un prefiltro anti-aliasing.Interpolazione LTI e teorema del campionamento →).

L'errore è dunque $e=\tilde x-x=y-x$, uscita del filtro LTI con risposta $H(f)-1$ sull'ingresso $x$. La PSD dell'errore è $$R_e(f)=\lvert H(f)-1\rvert^2R_x(f).$$ Dove il filtro vale 1 ($\lvert f\rvert<\frac{F_1}2$) l'errore è nullo; fuori ($H=0$) $\lvert H-1\rvert^2=1$ e l'errore è tutta la parte di $x$ tagliata: $$R_e(f)=R_x(f)\,\big[1-\operatorname{rect}(f/F_1)\big]=\frac{r_0}{F_1}\Big(1-\frac{\lvert f\rvert}{F_1}\Big)\ \text{per }\frac{F_1}2<\lvert f\rvert<F_1.$$ La potenza è l'area, sui due lati: $$M_e=2\int_{F_1/2}^{F_1}\frac{r_0}{F_1}\Big(1-\frac f{F_1}\Big)df=2\,r_0\int_{1/2}^{1}(1-u)\,du=2\,r_0\cdot\frac12\Big(\frac12\Big)^2=\frac{r_0}4.$$ $$\boxed{M_e=\frac{r_0}4=1\ \text{V}^2\quad(r_0=4\ \text{V}^2)}$$ Controllo. Poiché $H(H-1)=0$ ($H$ vale 0 o 1), $e$ e $y$ sono incorrelati e $M_x=M_y+M_e$: $r_0=\frac34r_0+\frac14r_0$ ✓. Il calcolo numerico degli integrali di $R_x$ dentro e fuori $\lvert f\rvert<\frac{F_1}2$ dà $0{,}75$ e $0{,}25$ in unità di $r_0$.

(3) La probabilità $P\big[\tilde x(t)>\sqrt{r_0}\big]$

$\tilde x=y$ è una funzione lineare del processo gaussiano $x$ (filtraggio), quindi è un processo gaussiano stazionario (Vettori gaussianiX = (X₁, ..., Xₙ) è un vettore gaussiano N(m, Σ) se ogni combinazione lineare a·X è gaussiana (equivalentemente X = m + AZ con Z gaussiane standard indipendenti); se Σ è invertibile ha densità exp(−½(x−m)ᵀΣ⁻¹(x−m)) / √((2π)ⁿ det Σ). Proprietà chiave: AX + b ~ N(Am + b, AΣAᵀ), le marginali sono gaussiane e componenti non correlate sono indipendenti.Vettori gaussiani →); in ogni istante $\tilde x(t)\sim\mathcal N(m,\sigma^2)$ con $$m=m_y=H(0)\,m_x=0,\qquad \sigma^2=M_y-m^2=\frac34r_0=3\ \text{V}^2\quad(\sigma=\sqrt3\ \text{V}),$$ con $\sqrt{r_0}=2$ V. Si standardizza (Distribuzione gaussiana (normale)N(μ, σ²) ha densità e^(−(x−μ)²/(2σ²)) / √(2πσ²), a campana centrata in μ con larghezza σ; media μ, varianza σ²; si standardizza con Z = (X − μ)/σ ~ N(0, 1) e si calcola P(X ≤ x) = Φ((x − μ)/σ), con Φ(−z) = 1 − Φ(z); aX + b è ancora gaussiana, N(aμ + b, a²σ²).Distribuzione gaussiana (normale) →): $$P\big[\tilde x>\sqrt{r_0}\big]=Q\Big(\frac{\sqrt{r_0}-0}{\sqrt{3r_0/4}}\Big)=Q\Big(\frac2{\sqrt3}\Big)=Q(1{,}1547)=0{,}1241.$$ Il risultato non dipende da $r_0$ (che si semplifica): la soglia e la deviazione standard scalano insieme.

Errori tipici

• Pensare che il campionamento introduca aliasing: dopo il filtro la banda è $\frac{F_1}2$ (non $F_1$) e $F_c=\frac{3F_1}2$ è più del minimo $F_1$, quindi la ricostruzione di $y$ è esatta.
• Attribuire l'errore $e=\tilde x-x$ al campionamento: è dovuto tutto al filtro, che toglie da $x$ la parte fuori da $\lvert f\rvert<\frac{F_1}2$, e vale $M_e=M_x-M_y=\frac{r_0}4$.
• Usare la potenza di $x$ ($r_0$) come varianza di $\tilde x$ nel punto (3): la varianza di $\tilde x$ è quella di $y$, $\frac34r_0$.

Vedi anche: Esercizio - esponenziale di un processo a simboli binari indipendenti (prova scritta del 30 maggio 2025), Processi aleatori attraverso sistemi LTIUna trasformazione applicata a ogni realizzazione dà un nuovo processo, ma dalla descrizione statistica di x non sempre si ricava quella di y (controesempi); si può se ogni vettore di y dipende da un vettore finito di x. Per una tf lineare m_y e r_y si calcolano col nucleo; un filtro LTI conserva la stazionarietà in senso lato: m_y = G(0) m_x, R_y = |G|² R_x. Il campionamento di un processo sl dà un processo sl con PSD ripetuta periodicamente. L'interpolazione LTI di un processo discreto sl è ciclostazionaria. Teorema del campionamento per processi: R_x nulla fuori da (-B,B) e Fc ≥ 2B danno ricostruzione esatta in media quadratica; altrimenti la potenza dell'errore è in banda + fuori banda.Processi aleatori attraverso sistemi LTI →.