Esercizio - decimazione, interpolazione esponenziale e convoluzione di segnali discreti (prova scritta del 19 giugno 2025)

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Testo (prova scritta del corso Teoria dei Segnali, UniPD, 19 giugno 2025, problema 1). Il segnale $x(t)$, $t\in\mathbb Z(T)$, illustrato in figura, ha solo quattro campioni non nulli: $$x(-T)=1,\quad x(0)=0,\quad x(T)=2,\quad x(2T)=-1,\quad x(nT)=0\ \text{altrove}.$$ È in ingresso alla cascata

$$x(t),\ \mathbb Z(T)\ \xrightarrow{\ g_1(\cdot)\ }\ \mathbb Z(T)\ \xrightarrow{\ \downarrow\ }\ v(t),\ \mathbb Z(8T)\ \xrightarrow{\ \uparrow g_2(\cdot)\ }\ y(t),\ \mathbb Z(T)$$

con $g_1(t)=\operatorname{rect}\!\big(\frac t{9T}\big)$, $g_2(t)=e^{-t/(3T)}\,1_0(t)$, $t\in\mathbb Z(T)$.

1. Determinare l'espressione del segnale $v(t)$ e della sua trasformata di Fourier, e rappresentarli graficamente.
2. Calcolare l'energia del segnale $y(t)$ per $T=10$ ms.
3. Scrivere un brano di codice Matlab che permetta di calcolare per via numerica e rappresentare graficamente il risultato della convoluzione $g=g_1*g_2$ per $T=10$ ms.

Teoria usata: Segnali a tempo discretoUn segnale a tempo discreto è una funzione complessa $s(nT)$ definita sui multipli interi del quanto temporale $T$ (insieme $\mathbb Z(T)$, velocità $F_p=1/T$). Le definizioni sono quelle dei segnali continui con la somma al posto dell'integrale e il quanto $T$ al posto di $dt$: area $\sum T,s(nT)$, energia $\sum T|s(nT)|^2$, convoluzione $\sum T,x(kT)y(nT-kT)$. L'impulso ideale discreto vale $1/T$ nell'origine. Esponenziali e sinusoidi discreti sono periodici solo se $f_0/F_p$ è razionale e hanno frequenza ambigua a meno di multipli di $F_p$. I segnali periodici con periodo $NT$ sono descritti da $N$ valori e si trattano al calcolatore.Segnali a tempo discreto →, ConvoluzioneLa convoluzione $xy(t)=\int x(u),y(t-u),du$ combina due segnali ribaltando e traslando il secondo, moltiplicando e integrando. È commutativa, associativa, lineare; l'area del risultato è il prodotto delle aree; l'estensione è la somma delle estensioni (estremo con estremo); l'impulso $\delta$ è l'elemento neutro; la convoluzione con il gradino integra. Per due segnali periodici di uguale periodo si usa la convoluzione ciclica (integrale su un periodo). È l'operazione del filtraggio: l'uscita di un filtro è la convoluzione dell'ingresso con la risposta impulsiva.Convoluzione →, Trasformata di Fourier a tempo discretoLa trasformata di Fourier di un segnale discreto è $S(f)=\sum_nT,s(nT),e^{-i2\pi fnT}$: una funzione continua e periodica in $f$ di periodo $F_p=1/T$. L'antitrasformata è l'integrale su un periodo, $s(nT)=\int_0^{F_p}S(f)e^{i2\pi fnT}df$. Le regole sono quelle del caso continuo (traslazione, convoluzione $\leftrightarrow$ prodotto, Parseval $\sum T|s|^2=\int_0^{F_p}|S|^2$), con incremento e somma corrente al posto di derivata e integrale. Per segnali reali $S(f)=S^(-f)$, quindi basta $[0,F_p/2]$. Esempi: $\delta\to1$, $1\to\delta_{F_p}$, rect $\to$ sinc periodico, $a^n\mathbf 1_0\to\frac T{1-ae^{-i2\pi fT}}$.Trasformata di Fourier a tempo discreto →, Campionamento e ricostruzioneIl campionamento $s_c(nT)=s(nT)$ trasforma un segnale continuo in uno discreto e, in frequenza, ripete lo spettro con periodo $F_c=1/T$: $S_c(f)=\sum_kS(f-kF_c)$. Se le repliche si sovrappongono si ha aliasing e il segnale non è recuperabile. Un interpolatore $\mathbb Z(T)\to\mathbb R$ con risposta impulsiva $g$ produce $\tilde s(t)=\sum_nT g(t-nT)s(nT)$ e $\tilde S=G,S_c$. Teorema del campionamento: se $s$ ha banda $B$ e $F_c\ge2B$, l'interpolatore ideale $G=\operatorname{rect}(f/F_c)$ ricostruisce esattamente $s(t)=\sum s(nT)\operatorname{sinc}(F_c(t-nT))$. Se le ipotesi non valgono c'è un errore, in banda e fuori banda, riducibile con un prefiltro anti-aliasing.Campionamento e ricostruzione →, Energia, potenza e valor medio dei segnaliSu un segnale continuo si calcolano quattro numeri riassuntivi: l'area $\int s,dt$, il valor medio (componente continua) $\lim\frac1{2T}\int_{-T}^Ts,dt$, l'energia $\int|s|^2dt$ e la potenza media $\lim\frac1{2T}\int_{-T}^T|s|^2dt$. Un segnale ad energia finita ha potenza nulla e uno a potenza finita non nulla ha energia infinita. Per un segnale periodico di periodo $T_p$ area ed energia si calcolano su un periodo; un segnale periodico è la ripetizione periodica $\sum_ku(t-kT_p)$ di un suo periodo. Valgono per traslazione l'invarianza, per scala $s(at)$ la divisione per $|a|$.Energia, potenza e valor medio dei segnali →, Segnali notevoli - gradino, rect, tri, sinc ed esponenzialiI segnali di uso più frequente sono la costante, la sinusoide $A_0\cos(2\pi f_0t+\varphi_0)$ e l'esponenziale complesso $Ae^{i2\pi f_0t}$ (periodici, a potenza finita), il gradino $\mathbf 1(t)$ e il segno, e gli impulsi a energia finita: $\operatorname{rect}$ (area $D$), $\operatorname{tri}$, $\operatorname{sinc}$ (area $1$), la gaussiana $e^{-\pi t^2}$ e gli esponenziali smorzati. Per ciascuno si sanno a memoria forma, area ed energia; gli altri segnali si ottengono da questi con traslazioni, scalature, somme e differenze.Segnali notevoli - gradino, rect, tri, sinc ed esponenziali →.

Le convenzioni su $\mathbb Z(T)$ che servono

• L'integrale su $\mathbb Z(T)$ è la somma pesata con $T$: la convoluzione è $(g*x)(nT)=\sum_kT\,g(kT)\,x(nT-kT)$.
• Il decimatore $\mathbb Z(T)\to\mathbb Z(8T)$ tiene un campione ogni 8 ($n$ multiplo di 8) e scarta gli altri.
• L'interpolatore $\mathbb Z(8T)\to\mathbb Z(T)$ ha come dominio di ingresso $\mathbb Z(8T)$, quindi somma con il peso del passo di ingresso, $8T$: $y(t)=\sum_k8T\,g_2(t-8kT)\,v(8kT)$.
• $\operatorname{rect}\big(\frac t{9T}\big)$ vale 1 per $\lvert t\rvert<\frac{9T}2=4{,}5\,T$, cioè sui campioni $n=-4,\dots,4$ (nove campioni, $n=\pm4{,}5$ non è intero), 0 altrove. $1_0$ è il gradino discreto con $1_0(0)=1$.

(1) Il segnale $v(t)$ e la sua trasformata

Primo blocco. $u=g_1*x$: $$u(nT)=\sum_kT\,g_1(kT)\,x(nT-kT)=T\sum_{k=-4}^{4}x\big((n-k)T\big)=T\sum_{m=n-4}^{n+4}x(mT).$$ È $T$ per la somma di $x$ in una finestra mobile di 9 campioni centrata in $n$. I campioni non nulli di $x$ stanno in $m=-1$ (valore 1), $m=1$ (valore 2), $m=2$ (valore $-1$). Il campione $m$ rientra nella finestra se $n-4\le m\le n+4$, cioè $m-4\le n\le m+4$:

• $m=-1$ per $-5\le n\le3$; $m=1$ per $-3\le n\le5$; $m=2$ per $-2\le n\le6$.

Sommando per ogni $n$ (la somma divisa per $T$):

Controllo: la somma di $u/T$ è $18=9\cdot\sum x(mT)=9\cdot2$ (ogni campione di $x$ compare in 9 finestre).

Decimazione. Il decimatore tiene $u$ nei multipli di 8, $n=8k$: nell'intervallo dove $u\ne0$ ($-5\le n\le6$) c'è solo $n=0$, con $u(0)=2T$. Quindi $$\boxed{v(8kT)=\begin{cases}2T&k=0\\0&k\ne0\end{cases}}\qquad\text{cioè}\qquad v(t)=16\,T^2\,\delta_{\mathbb Z(8T)}(t),$$ perché l'impulso ideale di $\mathbb Z(8T)$ vale $\frac1{8T}$ in $0$ e $2T=16T^2\cdot\frac1{8T}$. Per $T=10$ ms: $v(0)=2T=0{,}02$.

Trasformata. Su $\mathbb Z(8T)$ la trasformata è $V(f)=\sum_k8T\,v(8kT)\,e^{-i2\pi f\,8kT}$ (Trasformata di Fourier a tempo discretoLa trasformata di Fourier di un segnale discreto è $S(f)=\sum_nT,s(nT),e^{-i2\pi fnT}$: una funzione continua e periodica in $f$ di periodo $F_p=1/T$. L'antitrasformata è l'integrale su un periodo, $s(nT)=\int_0^{F_p}S(f)e^{i2\pi fnT}df$. Le regole sono quelle del caso continuo (traslazione, convoluzione $\leftrightarrow$ prodotto, Parseval $\sum T|s|^2=\int_0^{F_p}|S|^2$), con incremento e somma corrente al posto di derivata e integrale. Per segnali reali $S(f)=S^*(-f)$, quindi basta $[0,F_p/2]$. Esempi: $\delta\to1$, $1\to\delta_{F_p}$, rect $\to$ sinc periodico, $a^n\mathbf 1_0\to\frac T{1-ae^{-i2\pi fT}}$.Trasformata di Fourier a tempo discreto →), periodica di periodo $\frac1{8T}$. Un solo campione non nullo: $$\boxed{V(f)=8T\cdot2T=16\,T^2\ \ \text{costante per ogni }f}$$ (una costante è periodica di qualunque periodo). Per $T=10$ ms: $V=1{,}6\cdot10^{-3}$, e il periodo $\frac1{8T}=12{,}5$ Hz non si vede.

Controllo in frequenza. Il decimatore ripete $U(f)$ con periodo $\frac1{8T}$, $V(f)=\sum_{j=0}^7U\big(f-\frac j{8T}\big)$ (Campionamento e ricostruzioneIl campionamento $s_c(nT)=s(nT)$ trasforma un segnale continuo in uno discreto e, in frequenza, ripete lo spettro con periodo $F_c=1/T$: $S_c(f)=\sum_kS(f-kF_c)$. Se le repliche si sovrappongono si ha aliasing e il segnale non è recuperabile. Un interpolatore $\mathbb Z(T)\to\mathbb R$ con risposta impulsiva $g$ produce $\tilde s(t)=\sum_nT g(t-nT)s(nT)$ e $\tilde S=G,S_c$. Teorema del campionamento: se $s$ ha banda $B$ e $F_c\ge2B$, l'interpolatore ideale $G=\operatorname{rect}(f/F_c)$ ricostruisce esattamente $s(t)=\sum s(nT)\operatorname{sinc}(F_c(t-nT))$. Se le ipotesi non valgono c'è un errore, in banda e fuori banda, riducibile con un prefiltro anti-aliasing.Campionamento e ricostruzione →), con $U=G_1X$, $G_1(f)=T\,\frac{\sin(9\pi fT)}{\sin(\pi fT)}$ (nucleo di Dirichlet, 9 campioni) e $X(f)=T\big(e^{i2\pi fT}+2e^{-i2\pi fT}-e^{-i4\pi fT}\big)$. Numericamente la somma delle otto repliche vale $16T^2=1{,}6\cdot10^{-3}$ in ogni frequenza provata (per esempio $f=0$, $1$, $3{,}7$, $-5{,}2$, $6{,}1$ Hz), coerente con il risultato.

(2) Energia di $y$

Il segnale $y$. $v$ ha un solo campione non nullo, $v(0)=2T$, quindi nella somma dell'interpolatore resta il solo termine $k=0$: $$y(nT)=8T\,g_2(nT)\,v(0)=8T\cdot2T\,e^{-n/3}\,1_0(n)=16\,T^2\,e^{-n/3},\quad n\ge0,$$ e $y(nT)=0$ per $n<0$. Con $T=10$ ms: $y(0)=1{,}6\cdot10^{-3}$, $y(T)=1{,}6\cdot10^{-3}e^{-1/3}=1{,}15\cdot10^{-3}$, e così via con ragione $e^{-1/3}=0{,}7165$.

Energia su $\mathbb Z(T)$: somma pesata con $T$ dei quadrati (Energia, potenza e valor medio dei segnaliSu un segnale continuo si calcolano quattro numeri riassuntivi: l'area $\int s,dt$, il valor medio (componente continua) $\lim\frac1{2T}\int_{-T}^Ts,dt$, l'energia $\int|s|^2dt$ e la potenza media $\lim\frac1{2T}\int_{-T}^T|s|^2dt$. Un segnale ad energia finita ha potenza nulla e uno a potenza finita non nulla ha energia infinita. Per un segnale periodico di periodo $T_p$ area ed energia si calcolano su un periodo; un segnale periodico è la ripetizione periodica $\sum_ku(t-kT_p)$ di un suo periodo. Valgono per traslazione l'invarianza, per scala $s(at)$ la divisione per $|a|$.Energia, potenza e valor medio dei segnali →). È una serie geometrica di ragione $e^{-2/3}$ (Segnali a tempo discretoUn segnale a tempo discreto è una funzione complessa $s(nT)$ definita sui multipli interi del quanto temporale $T$ (insieme $\mathbb Z(T)$, velocità $F_p=1/T$). Le definizioni sono quelle dei segnali continui con la somma al posto dell'integrale e il quanto $T$ al posto di $dt$: area $\sum T,s(nT)$, energia $\sum T|s(nT)|^2$, convoluzione $\sum T,x(kT)y(nT-kT)$. L'impulso ideale discreto vale $1/T$ nell'origine. Esponenziali e sinusoidi discreti sono periodici solo se $f_0/F_p$ è razionale e hanno frequenza ambigua a meno di multipli di $F_p$. I segnali periodici con periodo $NT$ sono descritti da $N$ valori e si trattano al calcolatore.Segnali a tempo discreto →): $$E_y=\sum_{n\ge0}T\,(16T^2)^2e^{-2n/3}=256\,T^5\sum_{n\ge0}\big(e^{-2/3}\big)^n=\frac{256\,T^5}{1-e^{-2/3}}.$$ Per $T=10^{-2}$ s: $T^5=10^{-10}$, $1-e^{-2/3}=1-0{,}51342=0{,}48658$, quindi $$\boxed{E_y=\frac{256\cdot10^{-10}}{0{,}48658}=5{,}261\cdot10^{-8}}$$ in unità di $x^2$ per s$^5$ (le dimensioni vengono dai pesi $T$ e $8T$: $x$ in $[x]$ dà $y$ in $[x]\,\mathrm s^2$ e $E$ in $[x]^2\mathrm s^5$). La somma numerica diretta di 4000 termini dà $5{,}2612\cdot10^{-8}$.

Controllo con Parseval (Trasformata di Fourier a tempo discretoLa trasformata di Fourier di un segnale discreto è $S(f)=\sum_nT,s(nT),e^{-i2\pi fnT}$: una funzione continua e periodica in $f$ di periodo $F_p=1/T$. L'antitrasformata è l'integrale su un periodo, $s(nT)=\int_0^{F_p}S(f)e^{i2\pi fnT}df$. Le regole sono quelle del caso continuo (traslazione, convoluzione $\leftrightarrow$ prodotto, Parseval $\sum T|s|^2=\int_0^{F_p}|S|^2$), con incremento e somma corrente al posto di derivata e integrale. Per segnali reali $S(f)=S^*(-f)$, quindi basta $[0,F_p/2]$. Esempi: $\delta\to1$, $1\to\delta_{F_p}$, rect $\to$ sinc periodico, $a^n\mathbf 1_0\to\frac T{1-ae^{-i2\pi fT}}$.Trasformata di Fourier a tempo discreto →): $Y(f)=G_2(f)V(f)=16T^2\,G_2(f)$ con $G_2(f)=\sum_nT\,e^{-n/3}e^{-i2\pi fnT}=\frac{T}{1-e^{-1/3}e^{-i2\pi fT}}$, e $$E_y=\int_{-\frac1{2T}}^{\frac1{2T}}\lvert Y\rvert^2df=256\,T^4\,T^2\cdot\frac1T\cdot\frac1{1-e^{-2/3}}=\frac{256\,T^5}{1-e^{-2/3}},$$ dove si è usato $\int_{-1/2}^{1/2}\frac{d\varphi}{\lvert1-ae^{-i2\pi\varphi}\rvert^2}=\frac1{1-a^2}$ per $a=e^{-1/3}$. Stesso risultato.

(3) Il codice per $g=g_1*g_2$

Su $\mathbb Z(T)$ la convoluzione ha il peso $T$: $g(nT)=T\sum_kg_1(kT)\,g_2(nT-kT)$. In forma chiusa, con $g_1=1$ su $k=-4,\dots,4$ e $g_2(m)=e^{-m/3}$ per $m\ge0$:

• per $-4\le n\le3$ la somma ha termini $m=n-k\ge0$, cioè $k\le n$: $g(nT)=T\sum_{m=0}^{n+4}e^{-m/3}=T\,\dfrac{1-e^{-(n+5)/3}}{1-e^{-1/3}}$ (cresce da $T$ in $n=-4$);
• per $n\ge4$ i nove termini ci sono tutti: $g(nT)=T\,e^{-n/3}\sum_{k=-4}^{4}e^{k/3}=12{,}717\,T\,e^{-n/3}$ (decade).

Il massimo è in $n=4$: $g(4T)=0{,}0335$ per $T=10$ ms. Il codice Python (in Matlab: g = T*conv(g1,g2) e stem):

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

T = 10e-3
n1 = np.arange(-4, 5)                    # g1 = rect(t/9T): vale 1 per |n| <= 4
g1 = np.ones(n1.size)
n2 = np.arange(0, 61)                    # g2 = e^{-t/3T} 1_0(t), troncata a 60 campioni
g2 = np.exp(-n2 / 3)
g = T * np.convolve(g1, g2)              # il peso T della convoluzione su Z(T)
n = np.arange(n1[0] + n2[0], n1[-1] + n2[-1] + 1)   # asse: da -4 a 64
ok = n <= 56                             # oltre, la troncatura di g2 falsa i valori
plt.stem(n[ok] * T, g[ok])
plt.xlabel("t (s)"); plt.ylabel("g(t)")
plt.show()

Perché è scritto così:

• np.convolve (Matlab conv) è la somma di convoluzione senza peso: la convoluzione del corso su $\mathbb Z(T)$ ha il fattore $T$, per questo si moltiplica per T. Senza di esso $g$ risulta $\frac1T=100$ volte troppo grande.
• L'asse dei tempi non parte da 0: l'indice 0 del risultato corrisponde a $n_1[0]+n_2[0]=-4$ (la convoluzione di due segnali con inizio $a$ e $b$ inizia in $a+b$), per questo n è costruito dagli estremi.
• Troncatura di $g_2$: $g_2$ è infinita (un'esponenziale), nel vettore se ne tengono 61 campioni; il campione $n$ di $g$ usa $g_2$ fino a $n+4$, quindi i valori sono esatti per $n\le56$ e oltre sono falsati dal troncamento (per questo ok). Si è controllato che i valori coincidono con la forma chiusa ($g(-4T)=0{,}01$, $g(0)=0{,}02861$, $g(3T)=0{,}03283$, $g(4T)=0{,}03352$, $g(10T)=0{,}004537$).

Errori tipici

• Convolvere senza il peso $T$ (e, nell'interpolatore, con $T$ invece di $8T$): le energie risultano sbagliate di potenze di 8 e $T$.
• Pensare che la decimazione con fattore 8 tenga più di un campione: i campioni di $u$ sono tra $n=-5$ e $n=6$, solo $n=0$ è multiplo di 8.
• Contare male i campioni di $\operatorname{rect}\big(\frac t{9T}\big)$: sono nove ($n=-4,\dots,4$), perché $\pm4{,}5$ non sono campioni e il valore sul bordo non entra in gioco.

Vedi anche: Esercizio - interpolatore ideale, campionatore e quadrato (prova scritta del 30 maggio 2025), ConvoluzioneLa convoluzione $x*y(t)=\int x(u),y(t-u),du$ combina due segnali ribaltando e traslando il secondo, moltiplicando e integrando. È commutativa, associativa, lineare; l'area del risultato è il prodotto delle aree; l'estensione è la somma delle estensioni (estremo con estremo); l'impulso $\delta$ è l'elemento neutro; la convoluzione con il gradino integra. Per due segnali periodici di uguale periodo si usa la convoluzione ciclica (integrale su un periodo). È l'operazione del filtraggio: l'uscita di un filtro è la convoluzione dell'ingresso con la risposta impulsiva.Convoluzione →.