Proprietà della trasformata di Fourier

Le regole di questa nota permettono di calcolare trasformate e antitrasformate senza ricorrere all'integrale, a partire da poche coppie di base (Trasformata di FourierLa trasformata di Fourier $S(f)=\int s(t)e^{-i2\pi ft}dt$ associa a un segnale continuo (anche aperiodico) la sua rappresentazione in frequenza; l'antitrasformata $s(t)=\int S(f)e^{i2\pi ft}df$ lo ricostruisce, perché gli esponenziali $e^{i2\pi ft}$ sono ortogonali su tutto $\mathbb R$ ($\int e^{i2\pi ft}dt=\delta(f)$). Per un segnale reale $S(-f)=S^*(f)$. Si calcola per i segnali notevoli (rect $\leftrightarrow$ sinc, $e^{-\alpha t}\mathbf 1(t)\leftrightarrow\frac1{\alpha+i2\pi f}$, gaussiana, $\delta\leftrightarrow1$, $1\leftrightarrow\delta$, gradino) e per i segnali periodici, la cui trasformata è un treno di impulsi di area $S_n$ in $nF$.Trasformata di Fourier →). Le regole generali valgono anche per le serie di Fourier e per i segnali discreti; quelle di derivazione e integrazione solo per i segnali a tempo continuo. Nel seguito $s(t)\to S(f)$, $x\to X$, $y\to Y$.

Regole generali

Tabella (regole generali).

regola	segnale	trasformata
linearità	$a_1s_1(t)+a_2s_2(t)$	$a_1S_1(f)+a_2S_2(f)$
ribaltamento	$s(-t)$	$S(-f)$
coniugio	$s^*(t)$	$S^*(-f)$
traslazione nel tempo	$s(t-t_0)$	$S(f)\,e^{-i2\pi ft_0}$
traslazione in frequenza	$s(t)\,e^{i2\pi f_0t}$	$S(f-f_0)$
convoluzione nel tempo	$x*y(t)$	$X(f)\,Y(f)$
prodotto	$x(t)\,y(t)$	$X*Y(f)$

Linearità, ribaltamento e coniugio si verificano con la definizione (cambiare $t\to-t$ nell'integrale per il ribaltamento).

Traslazione nel tempo. Con $u=t-t_0$: $\int s(t-t_0)e^{-i2\pi ft}dt=\int s(u)e^{-i2\pi f(u+t_0)}du=S(f)e^{-i2\pi ft_0}$. Il modulo non cambia; cambia solo la fase, di un termine lineare $-2\pi ft_0$ nella frequenza: ritardare un segnale significa far ruotare ogni componente di un angolo proporzionale alla sua frequenza.

Esempio. $\operatorname{rect}(t-2)$ ha trasformata $\operatorname{sinc}(f)\,e^{-i4\pi f}$; in $f=0{,}3$: $\operatorname{sinc}(0{,}3)=0{,}8584$ per $e^{-i2{,}4\pi}$, cioè $-0{,}694+0{,}505\,i$ (verificato con l'integrale numerico).

Traslazione in frequenza. Moltiplicare il segnale per un esponenziale trasla la trasformata. Combinando con le formule di Eulero si ottiene la modulazione: $$s(t)\cos2\pi f_0t=\tfrac12s\,e^{i2\pi f_0t}+\tfrac12s\,e^{-i2\pi f_0t}\ \longrightarrow\ \tfrac12S(f-f_0)+\tfrac12S(f+f_0).$$ Lo spettro del segnale si ritrova (dimezzato) centrato in $\pm f_0$: è la base delle trasmissioni radio, in cui l'informazione viene portata a una frequenza "fisica" $f_0$ adatta al canale.

Esempio. $x(t)=\operatorname{tri}(t)\cos(2\pi\cdot5\,t)$ ha $X(f)=\frac12\operatorname{sinc}^2(f-5)+\frac12\operatorname{sinc}^2(f+5)$; in $f=5{,}5$ vale $0{,}2031$ (l'integrale numerico lo conferma).

Convoluzione e prodotto. Per $s=x*y$ si ha $S(f)=\int\!\big[\int x(t-u)y(u)du\big]e^{-i2\pi ft}dt=\int y(u)\,X(f)e^{-i2\pi fu}du=X(f)Y(f)$, scambiando gli integrali e usando la traslazione nel tempo. Per il prodotto $s=xy$, sostituendo la antitrasformata di $y$ si ottiene $S=X*Y$. Le due regole sono duali: il prodotto in un dominio corrisponde alla convoluzione nell'altro. È la regola che rende la trasformata utile per i filtri: la convoluzione ingresso-uscita diventa un prodotto (si veda Risposta in frequenza e filtriLa risposta in frequenza G(f) = F[g] di un filtro LTI dà Y = G·X. Gli esponenziali complessi sono autofunzioni (autovalore G(f)), quindi un ingresso sinusoidale esce sinusoidale con ampiezza moltiplicata per |G(f0)| e fase aumentata di arg G(f0). Il filtro è reale se G è hermitiana, invertibile se G non si annulla. I filtri ideali sono rect in frequenza; non distorsione secondo Heaviside: |G| costante e fase lineare.Risposta in frequenza e filtri →).

Regola di simmetria (dualità)

Poiché $S(f)$ è una funzione di variabile reale, può essere letta come un segnale nel tempo. Scambiando i ruoli di $t$ e $f$ nell'antitrasformata, $s(-f)=\int S(t)e^{-i2\pi ft}dt$:

Regola di simmetria. Se $s(t)\to S(f)$, allora $S(t)\to s(-f)$. Se inoltre $s$ è pari, $S(t)\to s(f)$.

Quindi dalla coppia $(\operatorname{rect}(t),\operatorname{sinc}(f))$ si ottiene $(\operatorname{sinc}(t),\operatorname{rect}(f))$, e applicando quattro volte la trasformata si ritorna al segnale ($s(t)\to S(f)\to s(-f)\to S(-f)\to s(f)$). Ogni regola nel tempo ha la sua duale in frequenza: traslazione nel tempo $\leftrightarrow$ traslazione in frequenza (modulazione), convoluzione $\leftrightarrow$ prodotto, derivazione nel tempo $\leftrightarrow$ derivazione in frequenza. Spesso un calcolo è molto più semplice dopo aver scelto il lato giusto.

Area, energia e banda

Area. Ponendo $f=0$ nella trasformata e $t=0$ nell'antitrasformata: $$S(0)=\int s(t)\,dt=\operatorname{area}(s),\qquad s(0)=\int S(f)\,df=\operatorname{area}(S).$$ Per esempio, $\operatorname{area}(x*y)=X(0)Y(0)=\operatorname{area}(x)\operatorname{area}(y)$ ritrova la regola vista per la ConvoluzioneLa convoluzione $x*y(t)=\int x(u),y(t-u),du$ combina due segnali ribaltando e traslando il secondo, moltiplicando e integrando. È commutativa, associativa, lineare; l'area del risultato è il prodotto delle aree; l'estensione è la somma delle estensioni (estremo con estremo); l'impulso $\delta$ è l'elemento neutro; la convoluzione con il gradino integra. Per due segnali periodici di uguale periodo si usa la convoluzione ciclica (integrale su un periodo). È l'operazione del filtraggio: l'uscita di un filtro è la convoluzione dell'ingresso con la risposta impulsiva.Convoluzione →.

Teorema di Parseval. Poiché $|s|^2=s\,s^*$ ha trasformata $S*S^*_-$ ($S_-(f)=S(-f)$) e l'energia è l'area di $|s|^2$, $$E_s=\int|s(t)|^2dt=\int|S(f)|^2df=E_S.$$ Il segnale e la sua trasformata hanno la stessa energia; $|S(f)|^2df$ è il contributo all'energia delle componenti in un intorno $df$ di $f$ ($|S|^2$ è la densità spettrale di energia). Più in generale $\int x\,y^*\,dt=\int X\,Y^*\,df$.

Esempio. $E_{\operatorname{sinc}}=\int\operatorname{sinc}^2(t)dt=\int\operatorname{rect}^2(f)df=1$. Per $e^{-t}\mathbf 1(t)$: $\int\frac{df}{1+4\pi^2f^2}=\frac12=\int_0^\infty e^{-2t}dt$. Per $\operatorname{tri}$: $\int\operatorname{sinc}^4=\frac23=E_{\operatorname{tri}}$.

Estensione spettrale e banda. Le nozioni di estensione e durata (Segnali a tempo continuo - definizioni e trasformazioniUn segnale a tempo continuo è una funzione complessa di variabile reale $s:\mathbb R\to\mathbb C$ (reale se $s=s^*$). Si descrive con parte reale e immaginaria oppure con modulo e fase (valore principale in $(-\pi,\pi]$). Sui segnali si fanno tre operazioni elementari: ribaltamento $s(-t)$, traslazione $s(t-t_0)$ e cambio di scala $s(at)$. Ogni segnale si scompone in una parte pari e una dispari, in una reale e una immaginaria, in una hermitiana e una antihermitiana. Estensione e durata dicono dove il segnale è diverso da zero; i segnali con estensione nel semiasse positivo sono causali.Segnali a tempo continuo - definizioni e trasformazioni →) si trasferiscono alla frequenza: l'estensione spettrale è $E[s]=e[S]$ (dove $S\ne0$) e la larghezza di banda è la sua misura $B_s=\operatorname{mis}E[s]$. Per un segnale reale $S$ è hermitiana, quindi l'estensione è simmetrica: $E[s]=[-B,B]$ e per convenzione si chiama banda $B$ la metà della larghezza (la massima frequenza positiva presente). Un segnale reale con estensione spettrale limitata si dice a banda limitata.

Regola (banda del prodotto). Il prodotto di due segnali reali a banda limitata $B_x$ e $B_y$ è a banda limitata $B_s=B_x+B_y$ (in particolare $x^2$ ha banda $2B_x$): $X*Y$ ha estensione la somma delle estensioni, come nella convoluzione nel tempo.

Esempio. $s(t)=\operatorname{sinc}^2(t)$ ha spettro $\operatorname{tri}(f)$, banda $B=1$. Il suo quadrato $\operatorname{sinc}^4(t)$ ha spettro $\operatorname{tri}*\operatorname{tri}$ con estensione $[-2,2]$, banda $2$.

Cambio di scala e relazione tra durata e banda

Sia $x(t)=s(at)$ con $a\ne0$. Con $u=at$ (e tenendo conto del segno di $a$): $$X(f)=\int s(at)e^{-i2\pi ft}dt=\frac1{|a|}S\Big(\frac fa\Big).$$ Se $a>1$ il segnale è compresso nel tempo e lo spettro è espanso in frequenza (e viceversa).

Esempio. $e^{-\pi t^2}\to e^{-\pi f^2}$, quindi $s(2t)=e^{-4\pi t^2}\to\frac12e^{-\pi f^2/4}$; in $f=1$ vale $0{,}2280$.

Esempio. $\operatorname{rect}\frac t{T_0}\to T_0\operatorname{sinc}(fT_0)$ si annulla in $\pm\frac1{T_0}$: un impulso di $4$ ms ha il primo zero a $250$ Hz, uno di $8$ ms a $125$ Hz. Più l'impulso è largo nel tempo, più la trasformata è "smilza".

La relazione tra durata e banda è quindi inversa, ma c'è di più:

Teorema (incompatibilità tra durata e banda). Un segnale non nullo non può essere contemporaneamente a durata limitata e a banda limitata.

Un impulso rettangolare è a durata limitata e ha banda infinita; il sinc è a banda limitata e ha durata infinita. In pratica si parla di durata e banda efficaci (per esempio fino al primo zero della trasformata, o la banda che contiene il 90% dell'energia).

Esempio: lo spettro di una nota musicale

Una nota suonata per un tempo $D$ si modella come un "burst" $x(t)=\cos(2\pi f_0t)\operatorname{rect}\frac tD$. Per la regola della modulazione e la coppia $\operatorname{rect}\to\operatorname{sinc}$, $$X(f)=\frac D2\Big[\operatorname{sinc}D(f-f_0)+\operatorname{sinc}D(f+f_0)\Big].$$ Non è una riga: è un lobo largo $\frac2D$ (tra i due zeri che lo delimitano, $f_0\pm\frac1D$), alto $\frac D2$ in $f_0$. Per $f_0=440$ Hz (il la) con $D=10$ ms i primi zeri sono a $340$ e $540$ Hz; con $D=100$ ms a $430$ e $450$ Hz. Il calcolo numerico dell'integrale conferma $X(440)=0{,}0500=\frac D2$ per $D=0{,}1$ s e $X=0$ a $450$ Hz e a $400$ Hz. La riga $\delta(f-f_0)$ della sinusoide ideale si ottiene solo per $D\to\infty$ (incompatibilità tra durata e banda).

Se la nota è periodica con fondamentale $F$ e coefficienti $S_n$ (Serie di FourierUn segnale periodico di periodo $T_p$ si scrive come somma di esponenziali alle frequenze multiple della fondamentale $F=1/T_p$: $s(t)=\sum_nS_ne^{i2\pi nFt}$, con $S_n=\frac1{T_p}\int_{T_p}s(t)e^{-i2\pi nFt}dt$. Si basa sull'ortogonalità degli esponenziali su un periodo. $S_0$ è il valor medio; per segnali reali $S_{-n}=S_n^*$ e si passa alla forma con coseni e seni; vale il teorema di Parseval $P=\sum|S_n|^2$. La convoluzione ciclica diventa il prodotto $T_pX_nY_n$ dei coefficienti. Le somme troncate presentano il fenomeno di Gibbs vicino ai salti.Serie di Fourier →), il suo burst ha spettro $\sum_nS_n\,D\operatorname{sinc}D(f-nF)$: ogni armonica diventa un lobo di larghezza $\frac2D$ centrato in $nF$, e l'inviluppo delle altezze dei lobi è il timbro. Lo spettro di un suono strumentale (come lo mostra un analizzatore di spettro) è proprio una fila di picchi alle armoniche $F,2F,3F,\dots$; i picchi sono stretti e separati solo se $F\gg\frac1D$, cioè se si osserva la nota per molti periodi.

Risoluzione. Due note a un semitono di distanza, $f_1=440$ Hz e $f_2=440\cdot2^{1/12}=466{,}16$ Hz, distano $26{,}16$ Hz. Per vederle come due picchi servono lobi più stretti della distanza, cioè $\frac1D\lesssim26{,}16$ Hz, $D\gtrsim38$ ms. Il calcolo di $X(f)$ per la somma dei due burst dà un picco solo (a circa $453$ Hz, in mezzo ai due) per $D=20,\,30,\,38,\,45$ ms, e due picchi (a $437{,}7$ e $468{,}5$ Hz, leggermente spostati dalle code dell'altro lobo) per $D=60$ ms. Servono quindi un po' più di $1/\Delta f$: questa è la risoluzione in frequenza di un'osservazione di durata $D$, la stessa che limita la DFT di un segnale di $N$ campioni (lo zero-padding infittisce i punti ma non separa i picchi: Trasformata di Fourier discreta (DFT) e FFTUn segnale discreto periodico di periodo $NT$ ha una trasformata discreta e periodica, la DFT: $S(kF)=\sum_{n=0}^{N-1}T,s(nT)e^{-i2\pi kn/N}$, con $F=1/(NT)$, e $s(nT)=\sum_{k=0}^{N-1}F,S(kF)e^{i2\pi kn/N}$. Dipende da soli $N$ numeri, si calcola senza approssimazioni e con la FFT costa $N\log_2N$ invece di $N^2$. I coefficienti di Fourier del segnale periodico sono $S_k=F,S(kF)$. La DFT dà anche campioni della trasformata di un segnale discreto o continuo a durata limitata (con zero-padding), ma la scalatura $T$ e l'asse delle frequenze vanno gestiti con cura.Trasformata di Fourier discreta (DFT) e FFT →).

Derivazione e integrazione

Regole specifiche (tempo continuo). $$\frac{ds}{dt}\to i2\pi f\,S(f),\qquad -i2\pi t\,s(t)\to\frac{dS}{df},\qquad \int_{-\infty}^ts(u)\,du\to\frac1{i2\pi f}S(f)+\frac12S(0)\,\delta(f).$$

La derivazione si ottiene derivando l'antitrasformata $s(t)=\int S(f)e^{i2\pi ft}df$ rispetto a $t$: compare il fattore $i2\pi f$. Iterando, $\frac{d^ns}{dt^n}\to(i2\pi f)^nS$: un'equazione differenziale nel tempo diventa un'equazione algebrica in frequenza (ecco la "natura operatoriale" della trasformata). La derivata si intende anche generalizzata, con impulsi (Impulso ideale (delta di Dirac)L'impulso ideale $\delta(t)$ è il segnale "nullo fuori dall'origine e di area $1$" definito dalla proprietà rivelatrice $\int s(t)\delta(t-t_0),dt=s(t_0)$: è il limite (in senso operativo) di impulsi rettangolari sempre più stretti e alti di area $1$. Serve per scrivere derivate dei segnali con salti (la derivata del gradino è $\delta$, il salto diventa un impulso di area pari al salto), come elemento neutro della convoluzione e come risposta impulsiva dei filtri. Non ha senso parlare di energia o potenza di $\delta$.Impulso ideale (delta di Dirac) →).

Esempio. $s=e^{-t}\mathbf 1(t)$ ha derivata generalizzata $\delta(t)-e^{-t}\mathbf 1(t)$, trasformata $1-\frac1{1+i2\pi f}=\frac{i2\pi f}{1+i2\pi f}=i2\pi f\,S(f)$.

L'integrale $\int_{-\infty}^ts$ è la convoluzione di $s$ con il gradino, quindi $Y=S\cdot\big[\frac12\delta+\frac1{i2\pi f}\big]=\frac1{i2\pi f}S+\frac12S(0)\delta(f)$. La regola "intuitiva" $Y=\frac{S}{i2\pi f}$ vale solo se $S(0)=0$, cioè se il segnale integrato ha area nulla (altrimenti l'integrale tende a una costante non nulla e compare l'impulso).

Esempio. Il rect $\operatorname{rect}(t)$ integrato è la rampa con raccordi: per $f\ne0$, $Y=\frac{\operatorname{sinc}(f)}{i2\pi f}+\frac12\delta(f)$; verificato numericamente sul segnale $y-\mathbf 1(t)$, che ha area nulla.

Gaussiana. Per $s=e^{-\pi t^2}$ si ha $s'=-2\pi t\,s$. Si trasformano i due membri.

• Primo membro: per la derivazione nel tempo, $s'\to i2\pi f\,S(f)$.
• Secondo membro: per la derivazione in frequenza, $-i2\pi t\,s\to S'(f)$, quindi $t\,s\to\frac{i}{2\pi}S'(f)$ e $-2\pi t\,s\to-i\,S'(f)$.

Uguagliando, $i2\pi f\,S=-i\,S'$, cioè $S'(f)=-2\pi f\,S(f)$: la stessa equazione a cui obbedisce $s$ nella variabile $t$ ($s'=-2\pi t\,s$), la cui soluzione è $S(f)=K\,e^{-\pi f^2}$. Poiché $S(0)=\operatorname{area}(s)=1$ si ha $K=1$: $e^{-\pi t^2}\to e^{-\pi f^2}$.

Segnale a tratti. Per il trapezio $s(t)=1$ per $|t|<1$ che scende linearmente a $0$ in $|t|=2$, la derivata è $x=\operatorname{rect}(t+\frac32)-\operatorname{rect}(t-\frac32)$, di area nulla, con $X=\operatorname{sinc}(f)\big(e^{i3\pi f}-e^{-i3\pi f}\big)=2i\operatorname{sinc}(f)\sin3\pi f$. Allora $$S(f)=\frac{X}{i2\pi f}=\operatorname{sinc}(f)\frac{\sin3\pi f}{\pi f}=3\operatorname{sinc}(f)\operatorname{sinc}(3f).$$ Per $f=0{,}3$: $3\cdot0{,}8584\cdot\operatorname{sinc}(0{,}9)=0{,}2814$ (come l'integrale numerico). Lo stesso risultato si ottiene vedendo il trapezio come convoluzione di $\operatorname{rect}(t/3)$ e $\operatorname{rect}(t)$ (ConvoluzioneLa convoluzione $x*y(t)=\int x(u),y(t-u),du$ combina due segnali ribaltando e traslando il secondo, moltiplicando e integrando. È commutativa, associativa, lineare; l'area del risultato è il prodotto delle aree; l'estensione è la somma delle estensioni (estremo con estremo); l'impulso $\delta$ è l'elemento neutro; la convoluzione con il gradino integra. Per due segnali periodici di uguale periodo si usa la convoluzione ciclica (integrale su un periodo). È l'operazione del filtraggio: l'uscita di un filtro è la convoluzione dell'ingresso con la risposta impulsiva.Convoluzione →).

Come usare le regole

1. Riconoscere nel segnale una combinazione di segnali noti (tabella di Trasformata di FourierLa trasformata di Fourier $S(f)=\int s(t)e^{-i2\pi ft}dt$ associa a un segnale continuo (anche aperiodico) la sua rappresentazione in frequenza; l'antitrasformata $s(t)=\int S(f)e^{i2\pi ft}df$ lo ricostruisce, perché gli esponenziali $e^{i2\pi ft}$ sono ortogonali su tutto $\mathbb R$ ($\int e^{i2\pi ft}dt=\delta(f)$). Per un segnale reale $S(-f)=S^*(f)$. Si calcola per i segnali notevoli (rect $\leftrightarrow$ sinc, $e^{-\alpha t}\mathbf 1(t)\leftrightarrow\frac1{\alpha+i2\pi f}$, gaussiana, $\delta\leftrightarrow1$, $1\leftrightarrow\delta$, gradino) e per i segnali periodici, la cui trasformata è un treno di impulsi di area $S_n$ in $nF$.Trasformata di Fourier →): somme, prodotti per esponenziali, traslazioni, scale.
2. Se compaiono prodotti o convoluzioni, trasformare nel dominio più comodo.
3. Se il segnale è a tratti, derivare fino a ottenere impulsi o rect e poi integrare in frequenza dividendo per $i2\pi f$ (controllando che l'area sia nulla).
4. Usare la simmetria per le trasformate "difficili" (il sinc, i segnali con trasformata rect).

Esercizi collegati

• Esercizio - dimensioni di una trasformata, modulazione e sinc quadro
• Esercizio - banda di un prodotto e convoluzione di sinc
• Esercizio - trasformata del gradino modulato e del triangolo
• Esercizio - parte pari e dispari di un segnale reale e convoluzione di gaussiane

Vedi anche la nota omonima della materia gemella Segnali e Sistemi (stesse regole, notazione con $\omega$ e $j$).