Esercizio - modulo e fase di segnali complessi

Testo (dispense del corso Teoria dei Segnali, UniPD, Es. 2.1A, 2.1C, 2.1D; complemento facoltativo Es. 2.1E, 2.1F).

• 2.1A. Usando la scrittura $s(t)=\lvert s(t)\rvert e^{i\varphi_s(t)}$ verificare che il prodotto di due segnali ha per modulo il prodotto dei moduli e per fase la somma delle fasi.
• 2.1C. Calcolare il modulo e il valore principale della fase del segnale $s(t)=\sin 2\pi t$.
• 2.1D. Dire per quali valori di $t$ si annullano la parte reale e il coefficiente dell'immaginario (la parte immaginaria) del segnale $e^{i\pi t^2}$.
• 2.1E (facoltativo). Dire per quali $t$ il valore principale della fase di $e^{i\pi t^2}$ vale $\frac{3\pi}{4}$.
• 2.1F (facoltativo). Calcolare modulo e valore principale della fase di $s(t)=\dfrac{t}{1+it}$.

Teoria usata: Segnali a tempo continuo - definizioni e trasformazioniUn segnale a tempo continuo è una funzione complessa di variabile reale $s:\mathbb R\to\mathbb C$ (reale se $s=s^*$). Si descrive con parte reale e immaginaria oppure con modulo e fase (valore principale in $(-\pi,\pi]$). Sui segnali si fanno tre operazioni elementari: ribaltamento $s(-t)$, traslazione $s(t-t_0)$ e cambio di scala $s(at)$. Ogni segnale si scompone in una parte pari e una dispari, in una reale e una immaginaria, in una hermitiana e una antihermitiana. Estensione e durata dicono dove il segnale è diverso da zero; i segnali con estensione nel semiasse positivo sono causali.Segnali a tempo continuo - definizioni e trasformazioni →, Numeri complessiI numeri complessi estendono i reali introducendo l'unità immaginaria $i$ ($i^2 = -1$) e possono essere rappresentati in forma algebrica, trigonometrica o polare. Tramite la formula di Eulero e le proprietà del modulo e dell'argomento, è possibile calcolare agilmente prodotti, potenze e radici ennesime.Numeri complessi →, Funzioni trigonometriche e loro inverseSeno, coseno e tangente definiti sulla circonferenza goniometrica (angoli in radianti), le loro proprietà e le inverse arcoseno, arcocoseno e arcotangente; come risolvere a sin t + b cos t ≥ c.Funzioni trigonometriche e loro inverse →.

Premessa: cosa sono modulo e fase

Un segnale complesso $s(t)$ assegna a ogni istante $t$ un numero complesso, cioè un punto del piano $(\Re,\Im)$. Lo si può descrivere in due modi equivalenti:

• con parte reale e parte immaginaria: $s(t)=\Re s(t)+i\,\Im s(t)$ (si dice anche "coefficiente dell'immaginario");
• con modulo e fase: $s(t)=\lvert s(t)\rvert\,e^{i\varphi_s(t)}$, dove $\lvert s\rvert\ge 0$ è la distanza dall'origine e $\varphi_s$ è l'angolo che il punto forma con il semiasse reale positivo (Numeri complessiI numeri complessi estendono i reali introducendo l'unità immaginaria $i$ ($i^2 = -1$) e possono essere rappresentati in forma algebrica, trigonometrica o polare. Tramite la formula di Eulero e le proprietà del modulo e dell'argomento, è possibile calcolare agilmente prodotti, potenze e radici ennesime.Numeri complessi →, forma esponenziale).

Il passaggio dall'una all'altra: $\Re s=\lvert s\rvert\cos\varphi_s$, $\Im s=\lvert s\rvert\sin\varphi_s$, $\lvert s\rvert=\sqrt{(\Re s)^2+(\Im s)^2}=\sqrt{s\,s^*}$.

Attenzione a due punti che servono in tutti gli esercizi:

1. La fase è definita a meno di multipli di $2\pi$, perché $e^{i(\varphi+2\pi k)}=e^{i\varphi}$. Per avere una funzione sola si sceglie il valore principale, quello nell'intervallo $(-\pi,\pi]$ (si include $\pi$ e si esclude $-\pi$).
2. Dove $s(t)=0$ il modulo vale $0$ e la fase non esiste (qualsiasi angolo va bene, perché $0\cdot e^{i\varphi}=0$ per ogni $\varphi$). Negli esercizi si escludono sempre questi punti dal discorso sulla fase.

(Es. 2.1A) Il prodotto: moduli che si moltiplicano, fasi che si sommano

Dati. Siano $s(t)=\lvert s\rvert e^{i\varphi_s}$ e $r(t)=\lvert r\rvert e^{i\varphi_r}$ due segnali (le dipendenze da $t$ si sottintendono). Sia $p(t)=s(t)\,r(t)$.

Passo 1: si moltiplicano le due forme esponenziali. Le potenze con la stessa base si moltiplicano sommando gli esponenti: $$p=\lvert s\rvert e^{i\varphi_s}\cdot\lvert r\rvert e^{i\varphi_r}=\big(\lvert s\rvert\lvert r\rvert\big)\,e^{i(\varphi_s+\varphi_r)}.$$

Passo 2: si legge il risultato. Questa è una scrittura del tipo "numero non negativo per $e^{i\cdot\text{angolo}}$", cioè proprio la forma modulo-fase. Il numero non negativo $\lvert s\rvert\lvert r\rvert$ è quindi il modulo di $p$, e l'angolo $\varphi_s+\varphi_r$ è una fase di $p$: $$\boxed{\lvert p\rvert=\lvert s\rvert\,\lvert r\rvert,\qquad \varphi_p=\varphi_s+\varphi_r\ \ (\text{a meno di }2\pi).}$$

Seconda dimostrazione del modulo, senza usare la forma esponenziale: $\lvert p\rvert^2=p\,p^*=(s\,r)(s\,r)^*=s\,r\,s^*r^*=(s\,s^*)(r\,r^*)=\lvert s\rvert^2\lvert r\rvert^2$ (il complesso coniugato di un prodotto è il prodotto dei coniugati, e il prodotto è commutativo). Estraendo la radice di numeri non negativi si ha $\lvert p\rvert=\lvert s\rvert\lvert r\rvert$.

Attenzione al valore principale. La somma $\varphi_s+\varphi_r$ di due valori principali può uscire da $(-\pi,\pi]$: allora il valore principale di $\varphi_p$ si ottiene sottraendo (o sommando) $2\pi$. Esempio con numeri: $s=r=-1+i$. Il modulo è $\sqrt{2}$ e la fase principale è $\frac{3\pi}{4}$ (secondo quadrante). Il prodotto è $(-1+i)^2=1-2i+i^2=-2i$, di modulo $2=\sqrt2\cdot\sqrt2$ ✓. La somma delle fasi è $\frac{3\pi}{4}+\frac{3\pi}{4}=\frac{3\pi}{2}\approx4{,}712$, che non sta in $(-\pi,\pi]$; il numero $-2i$ sta sul semiasse immaginario negativo e ha fase principale $-\frac{\pi}{2}$, e infatti $\frac{3\pi}{2}-2\pi=-\frac{\pi}{2}$ ✓.

Esempio con due segnali. Con $s(t)=e^{i\pi t^2}$ (modulo $1$, fase $\pi t^2$) e $r(t)=\dfrac{1}{1+it}$ (modulo $\frac{1}{\sqrt{1+t^2}}$, fase $-\arctan t$: lo si ricava qui sotto) il prodotto $\dfrac{e^{i\pi t^2}}{1+it}$ ha modulo $\dfrac{1}{\sqrt{1+t^2}}$ e fase $\pi t^2-\arctan t$. Per $t=2$: modulo $\frac{1}{\sqrt5}\approx0{,}4472$, fase $4\pi-\arctan 2\approx12{,}566-1{,}107=11{,}459$ rad (che, ridotta a $(-\pi,\pi]$, vale $11{,}459-4\pi\approx-1{,}107$).

Perché serve. Moltiplicare per $e^{i2\pi f_0t}$ (una "modulazione") non cambia il modulo e somma $2\pi f_0t$ alla fase: è la regola che si userà nella trasformata di Fourier.

Il caso del segnale $r(t)=\dfrac1{1+it}$ appena usato: moltiplicando numeratore e denominatore per il coniugato del denominatore, $$\frac{1}{1+it}=\frac{1-it}{(1+it)(1-it)}=\frac{1-it}{1+t^2},\qquad \Re=\frac{1}{1+t^2}>0,\quad \Im=\frac{-t}{1+t^2}.$$ Poiché la parte reale è sempre positiva, il punto sta sempre nel semipiano destro e la fase principale è semplicemente $\arctan\dfrac{\Im}{\Re}=\arctan(-t)=-\arctan t$. Il modulo è $\sqrt{\dfrac{1+t^2}{(1+t^2)^2}}=\dfrac{1}{\sqrt{1+t^2}}$.

(Es. 2.1C) Modulo e fase di $\sin 2\pi t$

Il segnale $s(t)=\sin 2\pi t$ è reale: la sua parte immaginaria è nulla, quindi il punto $s(t)$ sta sull'asse reale del piano complesso.

Modulo. Per un numero reale il modulo è il valore assoluto: $$\lvert s(t)\rvert=\lvert\sin 2\pi t\rvert.$$ È una "sinusoide raddrizzata": i lobi negativi vengono ribaltati sopra l'asse. Ha periodo $\frac12$ (non $1$), perché $\lvert\sin(2\pi(t+\frac12))\rvert=\lvert-\sin2\pi t\rvert=\lvert\sin 2\pi t\rvert$.

Quando il segno è positivo e quando è negativo. $\sin 2\pi t=0$ se e solo se $2\pi t=k\pi$, cioè $t=\frac{k}{2}$ con $k$ intero. Tra due zeri consecutivi il segno è costante e alterna:

• $\sin2\pi t>0$ per $t\in(k,k+\tfrac12)$ (per esempio $t=0{,}25$: $\sin\frac\pi2=1$);
• $\sin2\pi t<0$ per $t\in(k+\tfrac12,k+1)$ (per esempio $t=0{,}75$: $\sin\frac{3\pi}{2}=-1$),

con $k$ intero qualsiasi.

Fase. Il numero reale $s(t)$ si scrive $\lvert s\rvert e^{i\varphi}$ con $e^{i\varphi}=\pm1$:

• se $s(t)>0$: $s=\lvert s\rvert\cdot 1=\lvert s\rvert e^{i0}$, quindi $\varphi=0$;
• se $s(t)<0$: $s=-\lvert s\rvert=\lvert s\rvert e^{i\pi}$ (perché $e^{i\pi}=-1$), quindi $\varphi=\pi$. Anche $-\pi$ andrebbe bene come angolo, ma il valore principale sta in $(-\pi,\pi]$ e quindi si sceglie $+\pi$.

Riassumendo, per $t\ne\frac k2$: $$\boxed{\lvert s(t)\rvert=\lvert\sin 2\pi t\rvert,\qquad \varphi_s(t)=\begin{cases}0 & t\in(k,k+\frac12)\\ \pi & t\in(k+\frac12,k+1)\end{cases}}$$ e in forma compatta $\varphi_s(t)=\dfrac{\pi}{2}\big(1-\operatorname{sgn}(\sin2\pi t)\big)$.

Nei punti $t=\frac k2$ il segnale è nullo: il modulo vale $0$ e la fase non è definita (nessun valore ha senso, perché $0\cdot e^{i\varphi}=0$ per ogni $\varphi$). Nel grafico la fase "salta" tra $0$ e $\pi$ proprio in quei punti.

Nota sulla formula a tre casi con $\arctan$ delle dispense: per $z=x+iy$ con $x<0$ e $y=0$ nessuno dei casi elencati si applica (sono dati solo per $y>0$ o $y<0$); è il caso del seno negativo, e il valore giusto è $\pi$, come si ottiene direttamente dalla definizione di angolo.

Numeri. $t=0{,}1$: $\sin0{,}2\pi=0{,}5878>0$, fase $0$. $t=0{,}6$: $\sin1{,}2\pi=-0{,}5878<0$, modulo $0{,}5878$, fase $\pi$. $t=-0{,}2$: $\sin(-0{,}4\pi)=-0{,}9511<0$, fase $\pi$.

(Es. 2.1D) Zeri di parte reale e immaginaria di $e^{i\pi t^2}$

Per la formula di Eulero $e^{i\phi}=\cos\phi+i\sin\phi$ (con $\phi$ reale), poniamo $\phi=\pi t^2$: $$\Re\,e^{i\pi t^2}=\cos\pi t^2,\qquad \Im\,e^{i\pi t^2}=\sin\pi t^2.$$ Il segnale ha modulo $1$ in ogni istante: il punto $s(t)$ percorre la circonferenza unitaria, con un angolo $\pi t^2$ che cresce sempre più in fretta (l'angolo non è proporzionale a $t$ ma a $t^2$).

Parte reale nulla. $\cos\phi=0$ se e solo se $\phi=\frac\pi2+k\pi$, con $k$ intero (Funzioni trigonometriche e loro inverseSeno, coseno e tangente definiti sulla circonferenza goniometrica (angoli in radianti), le loro proprietà e le inverse arcoseno, arcocoseno e arcotangente; come risolvere a sin t + b cos t ≥ c.Funzioni trigonometriche e loro inverse →). Quindi $\pi t^2=\frac\pi2+k\pi$, cioè, dividendo per $\pi$, $$t^2=\tfrac12+k.$$ Il quadrato è non negativo, quindi servono $k\ge0$ (per $k=-1$ si avrebbe $t^2=-\frac12<0$, impossibile). Ogni $k\ge0$ dà due soluzioni, una positiva e una negativa: $$\boxed{\Re s(t)=0\iff t=\pm\sqrt{k+\tfrac12},\quad k=0,1,2,\dots}$$ cioè $t=\pm0{,}7071,\ \pm1{,}2247,\ \pm1{,}5811,\ \pm1{,}8708,\ \pm2{,}1213,\dots$

Parte immaginaria nulla. $\sin\phi=0$ se e solo se $\phi=k\pi$. Quindi $\pi t^2=k\pi$, cioè $t^2=k$: $$\boxed{\Im s(t)=0\iff t=\pm\sqrt{k},\quad k=0,1,2,\dots}$$ cioè $t=0,\ \pm1,\ \pm1{,}4142,\ \pm1{,}7321,\ \pm2,\dots$ Per $k=0$ le due soluzioni $\pm\sqrt0$ coincidono: $t=0$ è una soluzione sola.

Cosa si vede. Gli zeri delle due componenti si alternano (prima uno di cos, poi uno di sin) ma si infittiscono: la distanza tra $\sqrt{k+1}$ e $\sqrt k$ è circa $\frac{1}{2\sqrt k}$ e tende a $0$. Significa che il segnale oscilla sempre più rapidamente man mano che $\lvert t\rvert$ cresce (la "frequenza istantanea", cioè la derivata della fase divisa per $2\pi$, vale $\frac{1}{2\pi}\cdot2\pi t=t$: è proporzionale al tempo). È il segnale detto "chirp".

(I punti marcati sono gli zeri della parte reale.)

Complemento (Es. 2.1E): quando la fase principale vale $\frac{3\pi}{4}$

La fase di $e^{i\pi t^2}$ è $\pi t^2$, definita a meno di $2\pi$; il valore principale è quel valore che sta in $(-\pi,\pi]$. Il valore principale vale $\frac{3\pi}{4}$ esattamente quando $\pi t^2$ differisce da $\frac{3\pi}{4}$ per un multiplo intero di $2\pi$: $$\pi t^2=\tfrac{3\pi}{4}+2k\pi\ \Longrightarrow\ t^2=\tfrac34+2k.$$ Poiché $t^2\ge0$ occorre $k\ge0$, e $$\boxed{t=\pm\sqrt{\tfrac34+2k},\quad k=0,1,2,\dots}\qquad(\approx\pm0{,}8660,\ \pm1{,}6583,\ \pm2{,}1794,\ \pm2{,}5981,\dots)$$ Verifica: per $k=1$, $t^2=2{,}75$ e $\pi t^2=2{,}75\pi=\frac{3\pi}{4}+2\pi$: l'angolo riporta lo stesso punto del piano che per $k=0$. (Non si usa $2k\pi$ con $k$ negativo, perché $t^2=\frac34+2k<0$ per $k\le-1$.)

Complemento (Es. 2.1F): $s(t)=\dfrac{t}{1+it}$

Parte reale e immaginaria. Come sopra, moltiplicando e dividendo per $1-it$: $$s(t)=\frac{t(1-it)}{1+t^2}=\frac{t}{1+t^2}-i\,\frac{t^2}{1+t^2}.$$

Modulo. Il segnale è il prodotto del numero reale $t$ per $\frac{1}{1+it}$, e il modulo di un prodotto è il prodotto dei moduli (Es. 2.1A): $$\lvert s(t)\rvert=\frac{\lvert t\rvert}{\sqrt{1+t^2}}.$$ Va a $0$ per $t\to0$ e a $1$ per $\lvert t\rvert\to\infty$.

Fase. Per il prodotto (Es. 2.1A) la fase è la somma delle fasi di $t$ e di $\frac{1}{1+it}$, che è $-\arctan t$ (vedi sopra).

• Per $t>0$ il fattore $t$ è un numero reale positivo, fase $0$: $\varphi_s=-\arctan t\in(-\frac\pi2,0)$.
• Per $t<0$ il fattore $t$ è reale negativo, fase $\pi$: la somma è $\pi-\arctan t$. Qui $-\arctan t\in(0,\frac\pi2)$, quindi $\pi-\arctan t\in(\pi,\frac{3\pi}{2})$ esce da $(-\pi,\pi]$: si sottrae $2\pi$ e si ottiene $\varphi_s=-\pi-\arctan t\in(-\pi,-\frac\pi2)$.
• In $t=0$ il segnale vale $0$ e la fase non è definita.

$$\boxed{\varphi_s(t)=\begin{cases}-\arctan t & t>0\\ -\pi-\arctan t & t<0\end{cases}}$$ Verifica con $t=-1$: $s(-1)=\dfrac{-1}{1-i}=-\dfrac{1+i}{2}=-0{,}5-0{,}5i$, nel terzo quadrante; l'angolo principale è $-\frac{3\pi}{4}$, e la formula dà $-\pi-\arctan(-1)=-\pi+\frac\pi4=-\frac{3\pi}{4}$ ✓.

Controllo

import numpy as np

# Es. 2.1A: (-1+i)^2 = -2i, modulo e fase
s = r = -1 + 1j
p = s * r
print(p, abs(p), abs(s) * abs(r))                       # -2j  2.0  2.0
print(np.angle(p), np.angle(s) + np.angle(r) - 2*np.pi)  # entrambe -pi/2

# prodotto di exp(i pi t^2) e 1/(1+it): modulo e fase
t = np.array([-1.5, -0.4, 0.7, 2.0])
P = np.exp(1j * np.pi * t**2) / (1 + 1j * t)
print(np.abs(P) - 1/np.sqrt(1 + t**2))                   # ~0
print(np.abs(np.exp(1j*np.angle(P)) - np.exp(1j*(np.pi*t**2 - np.arctan(t)))))  # ~0

# Es. 2.1C: sin(2 pi t) fuori dagli zeri
t = np.array([0.1, 0.3, 0.6, 0.9, -0.2, -0.7])
v = np.sin(2*np.pi*t)
print(np.abs(v).round(4), np.angle(v + 0j).round(4))     # fase 0 se v>0, pi se v<0

# Es. 2.1D: zeri di cos(pi t^2) e sin(pi t^2)
k = np.arange(5)
print(np.abs(np.cos(np.pi*(k + 0.5))).max(), np.abs(np.sin(np.pi*k)).max())  # ~0 ~0

# Es. 2.1E: fase principale = 3 pi/4 in t = sqrt(3/4 + 2k)
te = np.sqrt(0.75 + 2*np.arange(4))
print(te.round(4), np.angle(np.exp(1j*np.pi*te**2)) / (np.pi/4))  # 3.0 ovunque

# Es. 2.1F: t/(1+it)
t = np.array([-3.0, -1.0, 0.5, 2.0])
s = t / (1 + 1j*t)
print(np.abs(s) - np.abs(t)/np.sqrt(1 + t**2))           # ~0
print(np.angle(s) - (-np.arctan(t) - np.pi*(t < 0)))     # ~0

Risultati ottenuti eseguendo il codice: il prodotto $(-1+i)^2$ vale $-2i$ con modulo $2$ e fase $-\frac\pi2$; i moduli del prodotto con $\frac{e^{i\pi t^2}}{1+it}$ coincidono con $\frac{1}{\sqrt{1+t^2}}$ (differenza dell'ordine di $10^{-16}$); le fasi del seno sono $0$ o $\pi$ ($3{,}1416$) come previsto; le fasi di $e^{i\pi t^2}$ nei punti $t=\sqrt{\frac34+2k}$ valgono $3\cdot\frac\pi4$ per tutti i $k$ provati; le fasi di $\frac{t}{1+it}$ coincidono con la formula a due rami (ad esempio $-2{,}356=-\frac{3\pi}{4}$ per $t=-1$).