Esercizio - interpolatore ideale, campionatore e quadrato (prova scritta del 30 maggio 2025)

Questa pagina non ha ancora la versione ripasso: qui sotto c'è il testo completo.

Testo (prova scritta del corso Teoria dei Segnali, UniPD, 30 maggio 2025, problema 1; è anche l'Esercitazione 6). All'ingresso della cascata

$$x(t),\ \mathbb Z(T)\ \xrightarrow{\ \uparrow g(\cdot)\ }\ y(t),\ \mathbb R\ \xrightarrow{\ \downarrow\ }\ y_c(t),\ \mathbb Z(T)\ \xrightarrow{\ [\cdot]^2\ }\ z(t),\ \mathbb Z(T)$$

in cui l'interpolatore LTI ha risposta impulsiva $g(t)=\frac1T\operatorname{sinc}(t/T)$, $t\in\mathbb R$, è applicato il segnale $x(nT)=A\operatorname{sinc}^2(n/2)$.

1. Scrivere l'espressione della trasformata di Fourier di $y_c$ e rappresentarla graficamente.
2. Calcolare l'area del segnale $z(t)$ in uscita, per $A=2$ V, $T=1$ ms.
3. Scrivere un brano di codice MATLAB per rappresentare accuratamente il grafico della trasformata di Fourier del segnale $s(t)=\dfrac{x(t)}{A+x(t)}$, $t\in\mathbb Z(T)$, per $A=2$ V, $T=1$ ms.

Teoria usata: Segnali notevoli - gradino, rect, tri, sinc ed esponenzialiI segnali di uso più frequente sono la costante, la sinusoide $A_0\cos(2\pi f_0t+\varphi_0)$ e l'esponenziale complesso $Ae^{i2\pi f_0t}$ (periodici, a potenza finita), il gradino $\mathbf 1(t)$ e il segno, e gli impulsi a energia finita: $\operatorname{rect}$ (area $D$), $\operatorname{tri}$, $\operatorname{sinc}$ (area $1$), la gaussiana $e^{-\pi t^2}$ e gli esponenziali smorzati. Per ciascuno si sanno a memoria forma, area ed energia; gli altri segnali si ottengono da questi con traslazioni, scalature, somme e differenze.Segnali notevoli - gradino, rect, tri, sinc ed esponenziali →, Trasformata di Fourier a tempo discretoLa trasformata di Fourier di un segnale discreto è $S(f)=\sum_nT,s(nT),e^{-i2\pi fnT}$: una funzione continua e periodica in $f$ di periodo $F_p=1/T$. L'antitrasformata è l'integrale su un periodo, $s(nT)=\int_0^{F_p}S(f)e^{i2\pi fnT}df$. Le regole sono quelle del caso continuo (traslazione, convoluzione $\leftrightarrow$ prodotto, Parseval $\sum T|s|^2=\int_0^{F_p}|S|^2$), con incremento e somma corrente al posto di derivata e integrale. Per segnali reali $S(f)=S^*(-f)$, quindi basta $[0,F_p/2]$. Esempi: $\delta\to1$, $1\to\delta_{F_p}$, rect $\to$ sinc periodico, $a^n\mathbf 1_0\to\frac T{1-ae^{-i2\pi fT}}$.Trasformata di Fourier a tempo discreto →, Interpolazione LTI e teorema del campionamentoIl campionatore R→Z(T) ripete lo spettro con periodo Fc = 1/T (Sc(f) = Σ S(f - kFc), senza fattore 1/T). Il filtro interpolatore Z(T)→R ha y(t) = Σ x(nT) g0(t-nT) con g0 = T g e in frequenza Y = G·X. Se S è nulla fuori da (-B,B) e Fc ≥ 2B, con g0(t) = sinc(Fc t) si ricostruisce esattamente s(t) dai campioni. Altrimenti c'è un errore (in banda per l'aliasing, fuori banda per la parte tagliata), ridotto da un prefiltro anti-aliasing.Interpolazione LTI e teorema del campionamento →, Campionamento e ricostruzioneIl campionamento $s_c(nT)=s(nT)$ trasforma un segnale continuo in uno discreto e, in frequenza, ripete lo spettro con periodo $F_c=1/T$: $S_c(f)=\sum_kS(f-kF_c)$. Se le repliche si sovrappongono si ha aliasing e il segnale non è recuperabile. Un interpolatore $\mathbb Z(T)\to\mathbb R$ con risposta impulsiva $g$ produce $\tilde s(t)=\sum_nT g(t-nT)s(nT)$ e $\tilde S=G,S_c$. Teorema del campionamento: se $s$ ha banda $B$ e $F_c\ge2B$, l'interpolatore ideale $G=\operatorname{rect}(f/F_c)$ ricostruisce esattamente $s(t)=\sum s(nT)\operatorname{sinc}(F_c(t-nT))$. Se le ipotesi non valgono c'è un errore, in banda e fuori banda, riducibile con un prefiltro anti-aliasing.Campionamento e ricostruzione →, Energia, potenza e valor medio dei segnaliSu un segnale continuo si calcolano quattro numeri riassuntivi: l'area $\int s,dt$, il valor medio (componente continua) $\lim\frac1{2T}\int_{-T}^Ts,dt$, l'energia $\int|s|^2dt$ e la potenza media $\lim\frac1{2T}\int_{-T}^T|s|^2dt$. Un segnale ad energia finita ha potenza nulla e uno a potenza finita non nulla ha energia infinita. Per un segnale periodico di periodo $T_p$ area ed energia si calcolano su un periodo; un segnale periodico è la ripetizione periodica $\sum_ku(t-kT_p)$ di un suo periodo. Valgono per traslazione l'invarianza, per scala $s(at)$ la divisione per $|a|$.Energia, potenza e valor medio dei segnali →, Proprietà della trasformata di FourierLe regole della trasformata di Fourier trasformano operazioni sui segnali in operazioni sulle trasformate: linearità, ribaltamento, coniugio, traslazione nel tempo ($\times e^{-i2\pi ft_0}$) e in frequenza, convoluzione $\leftrightarrow$ prodotto, cambio di scala $s(at)\to\frac1{|a|}S(f/a)$, derivazione ($\times i2\pi f$), integrazione, regola di simmetria ($S(t)\to s(-f)$). Area $S(0)=\int s$, teorema di Parseval $\int|s|^2=\int|S|^2$. Durata e banda sono inversamente legati e un segnale non può avere durata e banda entrambe limitate; la banda del prodotto è la somma delle bande. Con queste regole si ricavano quasi tutte le trasformate senza integrare.Proprietà della trasformata di Fourier →.

Lo spettro di $x$

Il segnale $x(nT)=A\operatorname{sinc}^2(n/2)$ è formato dai campioni del segnale continuo $$x_0(t)=A\operatorname{sinc}^2\!\Big(\frac t{2T}\Big),\qquad x_0(nT)=A\operatorname{sinc}^2\!\Big(\frac n2\Big).$$ Dalla coppia $\operatorname{sinc}^2(t/D)\leftrightarrow D\operatorname{tri}(Df)$ con $D=2T$: $$X_0(f)=2AT\operatorname{tri}(2Tf),\qquad\text{supporto }\lvert f\rvert<\frac1{2T}.$$ La trasformata discreta di $x$ è la ripetizione periodica, con periodo $\frac1T$ e senza fattori (Campionamento e ricostruzioneIl campionamento $s_c(nT)=s(nT)$ trasforma un segnale continuo in uno discreto e, in frequenza, ripete lo spettro con periodo $F_c=1/T$: $S_c(f)=\sum_kS(f-kF_c)$. Se le repliche si sovrappongono si ha aliasing e il segnale non è recuperabile. Un interpolatore $\mathbb Z(T)\to\mathbb R$ con risposta impulsiva $g$ produce $\tilde s(t)=\sum_nT g(t-nT)s(nT)$ e $\tilde S=G,S_c$. Teorema del campionamento: se $s$ ha banda $B$ e $F_c\ge2B$, l'interpolatore ideale $G=\operatorname{rect}(f/F_c)$ ricostruisce esattamente $s(t)=\sum s(nT)\operatorname{sinc}(F_c(t-nT))$. Se le ipotesi non valgono c'è un errore, in banda e fuori banda, riducibile con un prefiltro anti-aliasing.Campionamento e ricostruzione →): $X(f)=\sum_kX_0\big(f-\frac kT\big)$. Il supporto di $X_0$ è largo esattamente $\frac1T$: le repliche si toccano in $\pm\frac1{2T}$, dove $\operatorname{tri}$ vale 0, e non si sovrappongono. Quindi $$X(f)=2AT\sum_{k}\operatorname{tri}\!\Big(2T\Big(f-\frac kT\Big)\Big).$$

(1) La trasformata di $y_c$

Interpolatore. Ha risposta in frequenza $G(f)=\operatorname{rect}(Tf)$ (da $\frac1T\operatorname{sinc}(t/T)\leftrightarrow\operatorname{rect}(Tf)$): è l'interpolatore ideale, che passa $\lvert f\rvert<\frac1{2T}$ e taglia le repliche (Interpolazione LTI e teorema del campionamentoIl campionatore R→Z(T) ripete lo spettro con periodo Fc = 1/T (Sc(f) = Σ S(f - kFc), senza fattore 1/T). Il filtro interpolatore Z(T)→R ha y(t) = Σ x(nT) g0(t-nT) con g0 = T g e in frequenza Y = G·X. Se S è nulla fuori da (-B,B) e Fc ≥ 2B, con g0(t) = sinc(Fc t) si ricostruisce esattamente s(t) dai campioni. Altrimenti c'è un errore (in banda per l'aliasing, fuori banda per la parte tagliata), ridotto da un prefiltro anti-aliasing.Interpolazione LTI e teorema del campionamento →). Quindi $$Y(f)=G(f)X(f)=2AT\operatorname{tri}(2Tf),\qquad y(t)=A\operatorname{sinc}^2\!\Big(\frac t{2T}\Big)=x_0(t).$$ Si ricostruisce esattamente il segnale continuo $x_0$, perché ha banda $\frac1{2T}$ e i campioni sono presi a passo $T$ (teorema del campionamento). Controllo numerico: la somma $\sum_nA\operatorname{sinc}^2(n/2)\operatorname{sinc}(t/T-n)$ coincide con $A\operatorname{sinc}^2(t/2T)$ in $t/T=0{,}3$, $0{,}5$, $1{,}7$, $2{,}5$ (per esempio $1{,}8563$ e $1{,}6211$ per $A=2$ in $0{,}3$ e $0{,}5$).

Campionatore. Ripete $Y$ con periodo $\frac1T$, $Y_c(f)=\sum_kY(f-\frac kT)$. Le repliche non si sovrappongono, quindi $$\boxed{Y_c(f)=2AT\sum_{k=-\infty}^{+\infty}\operatorname{tri}\!\Big(2T\Big(f-\frac kT\Big)\Big)=X(f)}$$ e infatti $y_c(nT)=y(nT)=x(nT)$: un'interpolazione ideale seguita dallo stesso campionamento riporta al segnale di partenza. È un controllo dei conti, e porta con sé il risultato: $y_c=x$.

Per $A=2$ V, $T=1$ ms: altezza $2AT=4\cdot10^{-3}$ V$\cdot$s (4 mVs), periodo $\frac1T=1000$ Hz; i triangoli hanno base $\frac1T=1000$ Hz (da $f=k\cdot1000-500$ a $k\cdot1000+500$), si toccano in $\pm500$ Hz, $\pm1500$ Hz, ... e hanno il massimo $4$ mVs nei multipli di $1000$ Hz.

(2) L'area di $z$

Poiché $y_c=x$, l'uscita è il quadrato campione per campione: $$z(nT)=x(nT)^2=A^2\operatorname{sinc}^4(n/2).$$ L'area su $\mathbb Z(T)$ è la somma pesata con $T$ (Energia, potenza e valor medio dei segnaliSu un segnale continuo si calcolano quattro numeri riassuntivi: l'area $\int s,dt$, il valor medio (componente continua) $\lim\frac1{2T}\int_{-T}^Ts,dt$, l'energia $\int|s|^2dt$ e la potenza media $\lim\frac1{2T}\int_{-T}^T|s|^2dt$. Un segnale ad energia finita ha potenza nulla e uno a potenza finita non nulla ha energia infinita. Per un segnale periodico di periodo $T_p$ area ed energia si calcolano su un periodo; un segnale periodico è la ripetizione periodica $\sum_ku(t-kT_p)$ di un suo periodo. Valgono per traslazione l'invarianza, per scala $s(at)$ la divisione per $|a|$.Energia, potenza e valor medio dei segnali →), cioè $Z(0)$. Si può calcolare in due modi.

Dai campioni. $\operatorname{sinc}(n/2)=\frac{\sin(\pi n/2)}{\pi n/2}$ vale $1$ in $n=0$, è $0$ per $n$ pari non nullo ($\sin\frac{\pi n}2=0$) ed è $\pm\frac2{\pi n}$ per $n$ dispari, quindi $\operatorname{sinc}^4(n/2)=\frac{16}{\pi^4n^4}$ per $n$ dispari. Con $\sum_{k\text{ dispari}>0}\frac1{k^4}=\frac{\pi^4}{96}$, la somma su tutti i dispari (positivi e negativi) è $\frac{\pi^4}{48}$: $$\sum_n\operatorname{sinc}^4\!\Big(\frac n2\Big)=1+\frac{16}{\pi^4}\cdot\frac{\pi^4}{48}=1+\frac13=\frac43.$$ Area: $T\,A^2\cdot\frac43$.

Dalla frequenza (controllo): $x$ è reale e pari, quindi $\sum_nT\,x(nT)^2=\int_{-1/2T}^{1/2T}X(f)^2\,df$ (Parseval, Trasformata di Fourier a tempo discretoLa trasformata di Fourier di un segnale discreto è $S(f)=\sum_nT,s(nT),e^{-i2\pi fnT}$: una funzione continua e periodica in $f$ di periodo $F_p=1/T$. L'antitrasformata è l'integrale su un periodo, $s(nT)=\int_0^{F_p}S(f)e^{i2\pi fnT}df$. Le regole sono quelle del caso continuo (traslazione, convoluzione $\leftrightarrow$ prodotto, Parseval $\sum T|s|^2=\int_0^{F_p}|S|^2$), con incremento e somma corrente al posto di derivata e integrale. Per segnali reali $S(f)=S^*(-f)$, quindi basta $[0,F_p/2]$. Esempi: $\delta\to1$, $1\to\delta_{F_p}$, rect $\to$ sinc periodico, $a^n\mathbf 1_0\to\frac T{1-ae^{-i2\pi fT}}$.Trasformata di Fourier a tempo discreto →); su un periodo c'è un solo triangolo: $$\int(2AT)^2\operatorname{tri}^2(2Tf)\,df=4A^2T^2\cdot\frac1{2T}\int_{-1}^{1}\operatorname{tri}^2(v)\,dv=4A^2T^2\cdot\frac1{2T}\cdot\frac23=\frac43A^2T,$$ perché $\int_{-1}^1(1-\lvert v\rvert)^2dv=2\cdot\frac13=\frac23$. Stesso risultato: $$\boxed{\text{area}(z)=\frac43\,A^2\,T=\frac43\cdot4\ \text{V}^2\cdot10^{-3}\ \text{s}=5{,}33\cdot10^{-3}\ \text{V}^2\text{s}}$$ La somma numerica di $4\cdot10^5$ termini dà $5{,}3333\cdot10^{-3}$.

(3) La trasformata di $s(t)=\dfrac{x(t)}{A+x(t)}$

Il segnale. Con $x(n)=A\operatorname{sinc}^2(n/2)\in[0,A]$ il denominatore $A+x$ non si annulla mai, e $$s(nT)=\frac{\operatorname{sinc}^2(n/2)}{1+\operatorname{sinc}^2(n/2)}.$$ La trasformazione $x\mapsto\frac x{A+x}$ è non lineare, quindi non si può usare $X(f)$: si calcola $S(f)=\sum_nT\,s(nT)e^{-i2\pi fnT}$ direttamente dai campioni. Valori: $s(0)=\frac12$; $s(n)=0$ per $n$ pari non nullo; per $n$ dispari ($\operatorname{sinc}^2=\frac4{\pi^2n^2}$) $s(n)=\frac4{\pi^2n^2+4}$, che decade come $\frac1{n^2}$.

Il codice. Il segnale decade come $\frac1{n^2}$ (lentamente): serve un numero di campioni abbastanza grande, perché l'errore di troncamento sullo spettro scala come $\frac1N$ (qui $N=2000$ dà un errore sotto $2\cdot10^{-7}$ su valori dell'ordine di $10^{-3}$).

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

A, T = 2.0, 1e-3
N = 2000                                  # la coda decade come 1/n^2: errore ~ 4/(pi^2 N)
n = np.arange(-N, N + 1)
x = A * np.sinc(n / 2) ** 2               # np.sinc e' sin(pi x)/(pi x), come nel corso
s = x / (A + x)                           # trasformazione non lineare, campione per campione

f = np.linspace(-1.5 / T, 1.5 / T, 3001)  # tre periodi (periodo 1/T = 1000 Hz)
S = T * (s @ np.exp(-2j * np.pi * np.outer(n * T, f)))   # TF discreta con peso T
plt.plot(f, S.real); plt.xlabel("f (Hz)"); plt.ylabel("S(f)")
plt.show()

Perché è scritto così (Matlab: n=-N:N; x=A*sinc(n/2).^2; s=x./(A+x); S=T*s*exp(-1i*2*pi*(n.'*T)*f);, con sinc normalizzata della Signal Processing Toolbox):

• np.sinc è la sinc normalizzata $\frac{\sin(\pi x)}{\pi x}$, la stessa del corso (e di Matlab); non serve usare sin(x)/x, che vale 0/0 in $n=0$.
• Il fattore $T$ è il peso dell'integrale su $\mathbb Z(T)$; senza di esso $S$ è sbagliata di un fattore $\frac1T$.
• Il dominio in frequenza è periodico di periodo $\frac1T=1000$ Hz, quindi basta un periodo, ma se ne disegnano tre per mostrare la periodicità. $s$ è reale e pari, quindi $S$ è reale e pari (la parte immaginaria calcolata è sotto $10^{-19}$).
• La somma diretta invece della FFT dà $S$ su un asse $f$ a scelta; con la FFT servirebbe lo zero-padding per avere punti abbastanza fitti.

Forma chiusa (controllo). Con la serie nota $\sum_{n\in\mathbb Z}\frac{\cos(n\theta)}{n^2+a^2}=\frac{\pi\cosh(a(\pi-\theta))}{a\sinh(\pi a)}$ ($0\le\theta\le2\pi$), presa per $a=\frac2\pi$ e separando i dispari dai pari (sottraendo la versione alternata, $\theta\to\theta+\pi$), si trova, con $\theta=2\pi fT$: $$S(f)=T\Big[\frac12+\frac{\sinh\big(1-4\lvert fT\rvert\big)}{\cosh1}\Big],\qquad\lvert fT\rvert\le\frac12,$$ ripetuta con periodo $\frac1T$. Valori: $S(0)=T\big(\frac12+\tanh1\big)=1{,}2616\cdot10^{-3}$ Vs; $S\big(\frac1{4T}\big)=\frac T2=0{,}5\cdot10^{-3}$ Vs (a $fT=\frac14$ il seno iperbolico si annulla); $S\big(\frac1{2T}\big)=T\big(\frac12-\tanh1\big)=-0{,}2616\cdot10^{-3}$ Vs. Il confronto numerico con la somma dà una differenza massima di $2\cdot10^{-7}$ Vs. È un andamento con spigoli in $f=0$ e $f=\pm\frac1{2T}$ (conseguenza della coda $\frac1{n^2}$ dei campioni) e valori negativi vicino ai bordi di ogni periodo.

Errori tipici

• Dimenticare di sommare le repliche (periodicità $\frac1T$) nella trasformata di un segnale su $\mathbb Z(T)$, oppure inserire un fattore $\frac1T$ che in queste convenzioni non c'è.
• Per $S(f)$, applicare la trasformata a $\frac{X}{A+X}$ (come se la tf fosse lineare): $S\ne\frac{X}{A+X}$; serve la trasformata dei campioni.
• Nel punto (2) sommare $z$ senza il peso $T$: l'area è $T\sum z(nT)$.

Vedi anche: Esercizio - decimazione, interpolazione esponenziale e convoluzione di segnali discreti (prova scritta del 19 giugno 2025), Campionamento e ricostruzioneIl campionamento $s_c(nT)=s(nT)$ trasforma un segnale continuo in uno discreto e, in frequenza, ripete lo spettro con periodo $F_c=1/T$: $S_c(f)=\sum_kS(f-kF_c)$. Se le repliche si sovrappongono si ha aliasing e il segnale non è recuperabile. Un interpolatore $\mathbb Z(T)\to\mathbb R$ con risposta impulsiva $g$ produce $\tilde s(t)=\sum_nT g(t-nT)s(nT)$ e $\tilde S=G,S_c$. Teorema del campionamento: se $s$ ha banda $B$ e $F_c\ge2B$, l'interpolatore ideale $G=\operatorname{rect}(f/F_c)$ ricostruisce esattamente $s(t)=\sum s(nT)\operatorname{sinc}(F_c(t-nT))$. Se le ipotesi non valgono c'è un errore, in banda e fuori banda, riducibile con un prefiltro anti-aliasing.Campionamento e ricostruzione →.