Esercizio - massa e molla - equazione differenziale del secondo ordine

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Testo (dispense del corso, Esempio 12.3B, Esempio 12.5B ed Esempio 12.6A). Una massa $m$ è collegata a una molla di costante elastica $K$ ed è soggetta, a partire da $t_0=0$, a una forza sinusoidale. Assumendo come ingresso la forza $F(t)$ e come uscita lo scostamento $y(t)$ della massa dalla posizione di equilibrio, l'equazione del moto è

$$m\,y''(t)+K\,y(t)=F_0\cos(\omega_1t)\,1(t),\qquad y(0)=y_0,\quad y'(0)=v_0.$$

1. Risolvere l'equazione con il metodo della soluzione dell'equazione differenziale (§12.5) ed evidenziare evoluzione libera e risposta forzata.
2. Ritrovare la risposta forzata con la trasformata di Laplace (§12.6).
3. Studiare il caso di risonanza $\omega_1=\omega_0$ con $\omega_0=\sqrt{K/m}$.
4. Calcolare i valori numerici per $m=2\ \mathrm{kg}$, $K=50\ \mathrm{N/m}$, $F_0=10\ \mathrm N$, $\omega_1=3\ \mathrm{rad/s}$, $y_0=0{,}1\ \mathrm m$, $v_0=0{,}5\ \mathrm{m/s}$ e disegnare i grafici.

Teoria usata: Sistemi continui descritti da equazioni differenzialiUn'equazione differenziale lineare a coefficienti costanti Σ a_i y^(i) = Σ b_i x^(i) descrive un sistema LTI continuo con stato (condizioni iniziali y(0), y'(0), ...). L'uscita è evoluzione libera + risposta forzata g*x. Si calcola risolvendo l'equazione (omogenea + particolare) oppure con Laplace: G(p) = Σ b_i p^i / Σ a_i p^i. Il sistema è stabile se tutte le radici del polinomio caratteristico hanno parte reale negativa.Sistemi continui descritti da equazioni differenziali →, Sistemi lineari tempo-invarianti e risposta impulsivaUna tf lineare e tempo-invariante (LTI, filtro) ha nucleo h(t,u) = g(t-u): l'uscita è la convoluzione y = gx con la risposta impulsiva g (uscita all'impulso ideale nell'origine). Causale se e solo se g è causale; stabile BIBO se e solo se g è assolutamente integrabile (sommabile); reale se e solo se g è reale. Cascata: g = g2g1; parallelo: g1+g2; retroazione: Ge = G/(1+HG) in frequenza.Sistemi lineari tempo-invarianti e risposta impulsiva →, Risposta in frequenza e filtriLa risposta in frequenza G(f) = F[g] di un filtro LTI dà Y = G·X. Gli esponenziali complessi sono autofunzioni (autovalore G(f)), quindi un ingresso sinusoidale esce sinusoidale con ampiezza moltiplicata per |G(f0)| e fase aumentata di arg G(f0). Il filtro è reale se G è hermitiana, invertibile se G non si annulla. I filtri ideali sono rect in frequenza; non distorsione secondo Heaviside: |G| costante e fase lineare.Risposta in frequenza e filtri →. Per la parte meccanica: Forza elasticaUna molla ideale esercita F = −k Δx, opposta alla deformazione (legge di Hooke). Una massa attaccata a una molla compie un moto armonico con ω = √(k/m); ampiezza e fase vengono dalle condizioni iniziali, e v² = ω²(A² − x²). Una forza costante in più sposta solo la posizione di equilibrio.Forza elastica →, Moto armonico sempliceMoto rettilineo con legge oraria x = A·sin(ωt + φ): oscilla tra −A e A con periodo T = 2π/ω. È caratterizzato da a = −ω²x, l'equazione differenziale dell'oscillatore armonico; ampiezza e fase si ricavano dalle condizioni iniziali.Moto armonico semplice →, Oscillazioni forzate e risonanzaUn oscillatore smorzato spinto da una forza F₀cos(Ωt), dopo un transitorio, oscilla alla pulsazione Ω della forza con ampiezza A(Ω) = (F₀/m)/√((ω₀² − Ω²)² + 4γ²Ω²) e sfasamento δ, con tan δ = 2γΩ/(ω₀² − Ω²). Vicino a Ω = ω₀ l'ampiezza e la potenza assorbita sono massime (risonanza); la larghezza della risonanza è 2γ e l'amplificazione vale Q. Lo stesso schema descrive il circuito RLC.Oscillazioni forzate e risonanza →.

Convenzioni di questo capitolo: $a_ny^{(n)}+\dots+a_1y'+a_0y=x$, polinomio caratteristico $h(p)=a_np^n+\dots+a_0$, variabile di Laplace $p$. Qui $a_2=m$, $a_1=0$, $a_0=K$.

(1) Soluzione dell'equazione

Omogenea. Il polinomio caratteristico è $h(p)=mp^2+K$, con radici $p_{1,2}=\pm i\omega_0$ e $$\omega_0=\sqrt{\frac Km}.$$ Infatti $mp^2+K=0$ dà $p^2=-K/m$. Le due soluzioni elementari sono $e^{i\omega_0t}$ e $e^{-i\omega_0t}$: la soluzione generale è $\alpha_1e^{i\omega_0t}+\alpha_2e^{-i\omega_0t}$ (oscillazione propria, di pulsazione $\omega_0$; per la formula di Eulero si possono usare equivalentemente $\cos\omega_0t$ e $\sin\omega_0t$).

Soluzione particolare. Per $t>0$ l'ingresso è $F_0\cos\omega_1t$ (si estende a tutto l'asse). Si prova $y_p(t)=A_0\cos\omega_1t$, dato che la derivata seconda di un coseno è un coseno: $y_p''=-\omega_1^2A_0\cos\omega_1t$. Sostituendo: $$m\left(-\omega_1^2A_0\right)\cos\omega_1t+K\,A_0\cos\omega_1t=F_0\cos\omega_1t\ \Rightarrow\ A_0\left(K-m\omega_1^2\right)=F_0\ \Rightarrow\ A_0=\frac{F_0}{K-m\omega_1^2}.$$ Questo vale se $\omega_1\ne\omega_0$ (altrimenti il denominatore si annulla: caso di risonanza, punto (3)). Con $K=m\omega_0^2$ si può anche scrivere $A_0=\dfrac{F_0}{m\left(\omega_0^2-\omega_1^2\right)}$.

Soluzione generale e condizioni iniziali. $y(t)=A_0\cos\omega_1t+\alpha_1e^{i\omega_0t}+\alpha_2e^{-i\omega_0t}$. Condizioni iniziali, con $y'(t)=-\omega_1A_0\sin\omega_1t+i\omega_0\left(\alpha_1e^{i\omega_0t}-\alpha_2e^{-i\omega_0t}\right)$, che in $t=0$ vale $i\omega_0(\alpha_1-\alpha_2)$ (il termine in seno si annulla): $$\begin{cases}A_0+\alpha_1+\alpha_2=y_0\\[2pt] i\omega_0(\alpha_1-\alpha_2)=v_0\end{cases}\ \Rightarrow\ \alpha_1+\alpha_2=y_0-A_0,\quad\alpha_1-\alpha_2=\frac{v_0}{i\omega_0}.$$ Sommando e sottraendo: $\alpha_{1,2}=\dfrac{y_0-A_0}{2}\pm\dfrac{v_0}{2i\omega_0}$. Ricomponendo con Eulero, $\alpha_1e^{i\omega_0t}+\alpha_2e^{-i\omega_0t}=(y_0-A_0)\cos\omega_0t+\frac{v_0}{\omega_0}\sin\omega_0t$, da cui $$\boxed{y(t)=A_0\left(\cos\omega_1t-\cos\omega_0t\right)+y_0\cos\omega_0t+\frac{v_0}{\omega_0}\sin\omega_0t,\qquad t>0.}$$ Le due componenti:

• evoluzione libera (ingresso nullo, $F_0=0$, quindi $A_0=0$): $y_\ell(t)=y_0\cos\omega_0t+\dfrac{v_0}{\omega_0}\sin\omega_0t$. Un'oscillazione di pulsazione $\omega_0$ che non si smorza (oscillatore ideale: non c'è attrito) e dipende solo dallo stato iniziale;
• risposta forzata (condizioni iniziali nulle $y_0=v_0=0$): $y_f(t)=A_0\left(\cos\omega_1t-\cos\omega_0t\right)$. È la somma di un'oscillazione alla pulsazione $\omega_1$ imposta dall'esterno e di una alla pulsazione propria $\omega_0$, che serve a far partire il moto da $y=0$ con $y'=0$ (infatti $y_f(0)=0$ e $y_f'(0)=0$).

Controlli: in $t=0$ $y(0)=A_0(1-1)+y_0=y_0$ ✓ e $y'(0)=A_0(0)+\frac{v_0}{\omega_0}\omega_0=v_0$ ✓; sostituendo nell'equazione, i termini a pulsazione $\omega_0$ danno $\left(K-m\omega_0^2\right)\times(\dots)=0$ perché $K=m\omega_0^2$, e resta $A_0\left(K-m\omega_1^2\right)\cos\omega_1t=F_0\cos\omega_1t$ ✓.

(2) Con la trasformata di Laplace (Esempio 12.6A)

Trasformando con $\mathcal L[y'']=p^2Y-p\,y_0-v_0$ e $\mathcal L[F_0\cos\omega_1t\,1(t)]=\dfrac{F_0\,p}{p^2+\omega_1^2}$: $$m\left(p^2Y-p\,y_0-v_0\right)+KY=\frac{F_0p}{p^2+\omega_1^2}\ \Rightarrow\ Y(p)=\underbrace{\frac{F_0}{m}\frac{p}{(p^2+\omega_0^2)(p^2+\omega_1^2)}}_{Y_f(p)}+\underbrace{\frac{p\,y_0+v_0}{p^2+\omega_0^2}}_{Y_\ell(p)}.$$ Evoluzione libera: $\mathcal L[\cos\omega_0t]=\frac{p}{p^2+\omega_0^2}$ e $\mathcal L[\sin\omega_0t]=\frac{\omega_0}{p^2+\omega_0^2}$, quindi $Y_\ell\leftrightarrow y_0\cos\omega_0t+\frac{v_0}{\omega_0}\sin\omega_0t$ ✓.

Risposta forzata. Per decomporre in fratti semplici basta osservare che $$\frac{p}{(p^2+\omega_0^2)(p^2+\omega_1^2)}=\frac{1}{\omega_0^2-\omega_1^2}\left[\frac{p}{p^2+\omega_1^2}-\frac{p}{p^2+\omega_0^2}\right]$$ (controllo: il termine in parentesi vale $p\,\frac{(p^2+\omega_0^2)-(p^2+\omega_1^2)}{(p^2+\omega_1^2)(p^2+\omega_0^2)}=p\frac{\omega_0^2-\omega_1^2}{\dots}$ ✓). Antitrasformando: $$y_f(t)=\frac{F_0}{m(\omega_0^2-\omega_1^2)}\left(\cos\omega_1t-\cos\omega_0t\right)=A_0\left(\cos\omega_1t-\cos\omega_0t\right),$$ identica al risultato del punto (1) ✓. La funzione di trasferimento è $G(p)=\frac1{mp^2+K}$ e la risposta impulsiva $g(t)=\frac{1}{m\omega_0}\sin\omega_0t\,1(t)$; i poli sono sull'asse immaginario, quindi il sistema non è BIBO-stabile (limite fra stabile e instabile): un ingresso limitato alla pulsazione propria dà un'uscita illimitata, come si vede nel punto (3).

(3) Risonanza $\omega_1=\omega_0$

Se la forza ha proprio la pulsazione propria, $A_0=F_0/(K-m\omega_1^2)$ non è definita. Il limite di $y_f$ per $\omega_1\to\omega_0$ si calcola con la regola di de L'Hôpital rispetto a $\omega_1$ (numeratore $\cos\omega_1t-\cos\omega_0t$, derivata $-t\sin\omega_1t$; denominatore $\omega_0^2-\omega_1^2$, derivata $-2\omega_1$): $$y_f(t)\xrightarrow[\omega_1\to\omega_0]{}\frac{F_0}{m}\cdot\frac{t\sin\omega_0t}{2\omega_0}=\frac{F_0}{2m\omega_0}\,t\,\sin\omega_0t.$$ Lo stesso risultato si ricava da Laplace: $Y_f=\frac{F_0}{m}\frac{p}{(p^2+\omega_0^2)^2}$, e $\mathcal L^{-1}\left[\frac{p}{(p^2+\omega_0^2)^2}\right]=\frac{t\sin\omega_0t}{2\omega_0}$ (doppio polo in $\pm i\omega_0$, da cui il fattore $t$). L'ampiezza dell'oscillazione cresce linearmente nel tempo e il sistema ideale non ha limite: la molla alla fine si rompe. Nella pratica entra l'attrito, che limita la crescita.

Numericamente ($m=2$, $K=50$, $\omega_0=5\ \mathrm{rad/s}$, $F_0=10$): $y_f(t)=\frac{10}{2\cdot2\cdot5}t\sin5t=0{,}5\,t\sin5t$ metri, con inviluppo $\pm0{,}5\,t$. Per valutare il limite si può anche calcolare $A_0(\cos\omega_1t-\cos\omega_0t)$ a $t=2$ per $\omega_1=4{,}9;\ 4{,}99;\ 4{,}999$: dà $-0{,}461;\ -0{,}536;\ -0{,}5432$, che tende a $0{,}5\cdot2\sin10=-0{,}5440$ ✓.

(4) Valori numerici e grafico

Con $m=2\ \mathrm{kg}$, $K=50\ \mathrm{N/m}$: $\omega_0=\sqrt{50/2}=\sqrt{25}=5\ \mathrm{rad/s}$ (periodo $2\pi/5\approx1{,}257\ \mathrm s$). Con $\omega_1=3\ \mathrm{rad/s}$: $$A_0=\frac{F_0}{K-m\omega_1^2}=\frac{10}{50-2\cdot9}=\frac{10}{32}=0{,}3125\ \mathrm m.$$ La soluzione completa, con $y_0=0{,}1\ \mathrm m$ e $v_0=0{,}5\ \mathrm{m/s}$: $$y(t)=0{,}3125\cos3t+(0{,}1-0{,}3125)\cos5t+\frac{0{,}5}{5}\sin5t=0{,}3125\cos3t-0{,}2125\cos5t+0{,}1\sin5t\ \ (\mathrm m).$$

• evoluzione libera: $y_\ell=0{,}1\cos5t+0{,}1\sin5t$ (ampiezza $0{,}1\sqrt2=0{,}1414$ m);
• risposta forzata: $y_f=0{,}3125\left(\cos3t-\cos5t\right)$.

Per le due pulsazioni vicine l'identità $\cos a-\cos b=-2\sin\frac{a+b}{2}\sin\frac{a-b}{2}$ dà $\cos3t-\cos5t=2\sin t\,\sin4t$: la forzata è un'oscillazione rapida (pulsazione $4$) con inviluppo lento $2A_0\lvert\sin t\rvert$, cioè un battimento. Il valore massimo di $\lvert y_f\rvert$ è $0{,}580$ m (sempre sotto $2A_0=0{,}625$).

Verifica numerica

Integrando l'equazione $y''=\frac1m\left(F_0\cos\omega_1t-Ky\right)$ con scipy.integrate.solve_ivp (tolleranza $10^{-11}$) su $0\le t\le12$ s:

• risposta completa contro la formula del punto (1): errore massimo $2{,}5\cdot10^{-11}$ m;
• forzata ($y_0=v_0=0$) contro $0{,}3125(\cos3t-\cos5t)$: errore massimo $2{,}9\cdot10^{-11}$ m, e coincide con $2A_0\sin t\sin4t$;
• libera ottenuta per sovrapposizione (completa meno forzata) contro $0{,}1\cos5t+0{,}1\sin5t$: errore $1{,}3\cdot10^{-11}$ m;
• caso di risonanza ($\omega_1=5$) contro $0{,}5\,t\sin5t$: errore $2\cdot10^{-10}$ m;
• calcolo simbolico (sympy) dell'antitrasformata di $Y_f$: $\frac{5}{16}\cos3t-\frac5{16}\cos5t$ ✓ e, per la risonanza, $\frac12t\sin5t$ ✓.

Errori tipici.

• Sostituire nella soluzione particolare $A_0=F_0/K$ dimenticando il termine $-m\omega_1^2$ (vale solo per $\omega_1\to0$, forza quasi costante).
• Scrivere la forzata come $A_0\cos\omega_1t$ e basta: manca $-A_0\cos\omega_0t$, senza il quale $y_f(0)=A_0\ne0$ e il sistema non sarebbe "scarico" all'inizio.
• Credere che la risposta alla risonanza sia "ampiezza infinita subito": cresce linearmente con $t$, partendo da zero.

Vedi anche: Esercizio - corpo che cade nell'atmosfera - equazione differenziale del primo ordine (ordine 1) e, nella materia gemella, Equazioni differenziali lineari a coefficienti costantiUn'EDOLCC $\sum a_ky^{(k)}=\sum b_kx^{(k)}$ descrive molti sistemi fisici (circuiti RC, massa-molla-smorzatore). Le soluzioni dell'omogenea formano uno spazio vettoriale di dimensione $n$ con base $t^he^{\lambda t}$ ($\lambda$ radici del polinomio caratteristico $a(s)$). La soluzione generale è libera (dalle condizioni iniziali) più forzata (dall'ingresso); il sistema LTI causale associato ha funzione di trasferimento $b(s)/a(s)$.Equazioni differenziali lineari a coefficienti costanti →.