Esercizio - Parseval, impulsi periodici e coefficienti assegnati

Testo (dispense del corso Teoria dei Segnali, UniPD, Es. 3.1G, 3.1H, 3.1I).

• Es. 3.1G. Verificare il teorema di Parseval per il segnale sinusoidale $s(t)=A_0\cos(2\pi f_0t+\varphi_0)$ (esempio 3.1E del testo).
• Es. 3.1H. Calcolare i coefficienti di Fourier del segnale $s(t)=\operatorname{rep}_{T_p}\left[\delta\left(t-\frac14T_p\right)-\delta\left(t-\frac34T_p\right)\right]$ e discuterne le eventuali simmetrie.
• Es. 3.1I. Calcolare il segnale periodico di periodo $T_p$ i cui coefficienti di Fourier risultano $S_n=\left(\frac12\right)^{|n|}$.

Teoria usata: Serie di FourierUn segnale periodico di periodo $T_p$ si scrive come somma di esponenziali alle frequenze multiple della fondamentale $F=1/T_p$: $s(t)=\sum_nS_ne^{i2\pi nFt}$, con $S_n=\frac1{T_p}\int_{T_p}s(t)e^{-i2\pi nFt}dt$. Si basa sull'ortogonalità degli esponenziali su un periodo. $S_0$ è il valor medio; per segnali reali $S_{-n}=S_n^*$ e si passa alla forma con coseni e seni; vale il teorema di Parseval $P=\sum|S_n|^2$. La convoluzione ciclica diventa il prodotto $T_pX_nY_n$ dei coefficienti. Le somme troncate presentano il fenomeno di Gibbs vicino ai salti.Serie di Fourier →, Energia, potenza e valor medio dei segnaliSu un segnale continuo si calcolano quattro numeri riassuntivi: l'area $\int s,dt$, il valor medio (componente continua) $\lim\frac1{2T}\int_{-T}^Ts,dt$, l'energia $\int|s|^2dt$ e la potenza media $\lim\frac1{2T}\int_{-T}^T|s|^2dt$. Un segnale ad energia finita ha potenza nulla e uno a potenza finita non nulla ha energia infinita. Per un segnale periodico di periodo $T_p$ area ed energia si calcolano su un periodo; un segnale periodico è la ripetizione periodica $\sum_ku(t-kT_p)$ di un suo periodo. Valgono per traslazione l'invarianza, per scala $s(at)$ la divisione per $|a|$.Energia, potenza e valor medio dei segnali →, Serie notevoli - geometrica, telescopica, armonicaLe serie di cui si conosce il carattere e da usare come termine di paragone: geometrica (converge a 1/(1-q) se |q|<1), telescopiche (somma b_1 - lim b_n, come Mengoli), armonica generalizzata (1/n^alpha converge se e solo se alpha>1).Serie notevoli - geometrica, telescopica, armonica →, Numeri complessiI numeri complessi estendono i reali introducendo l'unità immaginaria $i$ ($i^2 = -1$) e possono essere rappresentati in forma algebrica, trigonometrica o polare. Tramite la formula di Eulero e le proprietà del modulo e dell'argomento, è possibile calcolare agilmente prodotti, potenze e radici ennesime.Numeri complessi →, Segnali notevoli - gradino, rect, tri, sinc ed esponenzialiI segnali di uso più frequente sono la costante, la sinusoide $A_0\cos(2\pi f_0t+\varphi_0)$ e l'esponenziale complesso $Ae^{i2\pi f_0t}$ (periodici, a potenza finita), il gradino $\mathbf 1(t)$ e il segno, e gli impulsi a energia finita: $\operatorname{rect}$ (area $D$), $\operatorname{tri}$, $\operatorname{sinc}$ (area $1$), la gaussiana $e^{-\pi t^2}$ e gli esponenziali smorzati. Per ciascuno si sanno a memoria forma, area ed energia; gli altri segnali si ottengono da questi con traslazioni, scalature, somme e differenze.Segnali notevoli - gradino, rect, tri, sinc ed esponenziali →.

Notazione: $F=\frac1{T_p}$, $s(t)=\sum_{n\in\mathbb Z}S_ne^{i2\pi nFt}$, $S_n=\frac1{T_p}\int_{T_p}s(t)e^{-i2\pi nFt}dt$. Teorema di Parseval: $$\int_0^{T_p}|s(t)|^2dt=T_p\sum_{n=-\infty}^{+\infty}|S_n|^2,\qquad\text{cioè}\qquad P_s=\frac1{T_p}\int_0^{T_p}|s(t)|^2dt=\sum_n|S_n|^2.$$ (Dimostrazione: si sviluppa $|s|^2=s\,s^*$ con la serie; per l'ortogonalità $\int_0^{T_p}e^{i2\pi(m-n)Ft}dt=T_p\delta_{mn}$ sopravvivono solo i termini $m=n$.)

Es. 3.1G - Parseval per il segnale sinusoidale

Coefficienti. Con la formula di Eulero $\cos x=\frac{e^{ix}+e^{-ix}}2$: $$s(t)=\frac{A_0}2e^{i\varphi_0}e^{i2\pi f_0t}+\frac{A_0}2e^{-i\varphi_0}e^{-i2\pi f_0t}.$$ Il segnale ha periodo $T_p=\frac1{f_0}$, quindi $F=f_0$ e i due esponenziali sono le armoniche $n=\pm1$. Per confronto con la serie: $$S_1=\frac{A_0}2e^{i\varphi_0},\qquad S_{-1}=\frac{A_0}2e^{-i\varphi_0},\qquad S_n=0\ \text{ per }|n|\ne1.$$ (Sono coniugati: il segnale è reale.)

Lato sinistro (nel tempo). Si usa $\cos^2x=\frac{1+\cos2x}2$: $$\int_0^{T_p}A_0^2\cos^2(2\pi f_0t+\varphi_0)dt=\frac{A_0^2}2\int_0^{T_p}\left[1+\cos(4\pi f_0t+2\varphi_0)\right]dt=\frac{A_0^2}2T_p.$$ Il secondo termine ha integrale nullo: il coseno a frequenza $2f_0$ compie esattamente $2$ periodi in $T_p$, e su un numero intero di periodi l'area è nulla. Il lato sinistro vale $\frac{A_0^2T_p}2$ (energia in un periodo). Dividendo per $T_p$ la potenza è $\frac{A_0^2}2$.

Lato destro (dai coefficienti). $$T_p\sum_n|S_n|^2=T_p\left(|S_1|^2+|S_{-1}|^2\right)=T_p\left(\frac{A_0^2}4+\frac{A_0^2}4\right)=\frac{A_0^2T_p}2.$$ I due lati coincidono ✓ ($|e^{\pm i\varphi_0}|=1$: la fase non influisce sulla potenza). In particolare la potenza di una sinusoide è $\frac{A_0^2}2$ e il suo valore efficace $\frac{A_0}{\sqrt2}$.

Esempio numerico. $A_0=3$ V, $f_0=5$ Hz ($T_p=0{,}2$ s), $\varphi_0=0{,}7$: $|S_1|=1{,}5$ V, $P=2\cdot1{,}5^2=4{,}5\ \text{V}^2$, energia in un periodo $4{,}5\cdot0{,}2=0{,}9\ \text{V}^2\text{s}$. L'integrale numerico di $s^2$ su un periodo dà $0{,}9$ ✓.

Es. 3.1H - coefficienti di un treno di impulsi con segni alterni

Il segnale è la ripetizione di un impulso di area $+1$ in $t=\frac{T_p}4$ e di uno di area $-1$ in $t=\frac{3T_p}4$. Sul periodo $\left[0,T_p\right)$ ci sono due impulsi.

Calcolo. La proprietà rivelatrice dell'impulso ($\int\delta(t-t_0)g(t)\,dt=g(t_0)$ se $t_0$ è nell'intervallo) dà $$S_n=\frac1{T_p}\int_0^{T_p}\left[\delta\left(t-\tfrac{T_p}4\right)-\delta\left(t-\tfrac{3T_p}4\right)\right]e^{-i2\pi nFt}dt=F\left[e^{-i2\pi nF\frac{T_p}4}-e^{-i2\pi nF\frac{3T_p}4}\right].$$ Con $FT_p=1$ gli esponenti diventano $e^{-i\pi n/2}$ e $e^{-i3\pi n/2}$. Raccogliamo $e^{-i\pi n}=(-1)^n$, cioè l'esponenziale con l'angolo che sta a metà tra i due ($\pi$ è il punto medio di $\frac\pi2$ e $\frac{3\pi}2$): si ha $e^{-i\pi n/2}=e^{-i\pi n}e^{+i\pi n/2}$ e $e^{-i3\pi n/2}=e^{-i\pi n}e^{-i\pi n/2}$, quindi $$S_n=F(-1)^n\left[e^{i\pi n/2}-e^{-i\pi n/2}\right]=F(-1)^n\cdot2i\sin\frac{n\pi}2.$$ Per $n$ pari $\sin\frac{n\pi}2=0$. Per $n$ dispari $(-1)^n=-1$. Quindi, per ogni $n$: $$\boxed{S_n=-2iF\sin\frac{n\pi}2}=\begin{cases}-2iF&n=1,5,9,\dots\\+2iF&n=3,7,11,\dots\\0&n\text{ pari}\end{cases}\qquad(S_{-n}=-S_n).$$

Simmetrie. Verifichiamo ciascuna proprietà dal segnale e dai coefficienti.

• Reale: gli impulsi sono reali, quindi $S_{-n}=S_n^*$. Infatti $S_{-n}=+2iF\sin\frac{n\pi}2=(S_n)^*$ ✓.
• Dispari: $s(-t)=\delta(-t-\frac{T_p}4)-\delta(-t-\frac{3T_p}4)=\delta(t+\frac{T_p}4)-\delta(t+\frac{3T_p}4)$ (l'impulso è pari). Per la periodicità l'impulso in $-\frac{T_p}4$ coincide con quello in $\frac{3T_p}4$ e quello in $-\frac{3T_p}4$ con quello in $\frac{T_p}4$: $s(-t)=\delta(t-\frac{3T_p}4)-\delta(t-\frac{T_p}4)=-s(t)$. Il segnale è dispari, e i coefficienti sono dispari in $n$ ($S_{-n}=-S_n$) e immaginari puri. È il caso "reale e dispari" già visto nell'Esercizio - serie di Fourier di segnali pari e con simmetria di mezzo periodo: $R_n=0$ e $S_0=0$.
• Antisimmetria di mezzo periodo: $s\left(t-\frac{T_p}2\right)=\delta(t-\frac{3T_p}4)-\delta(t-\frac{5T_p}4)=\delta(t-\frac{3T_p}4)-\delta(t-\frac{T_p}4)=-s(t)$. Quindi niente armoniche pari ✓ (come nell'esercizio 3.1E).
• Valor medio: $S_0=F[1-1]=0$ ✓ (le aree $+1$ e $-1$ si cancellano).

Forma trigonometrica. Accoppiando $\pm n$: $2\operatorname{Re}\{S_ne^{i\theta}\}=2\operatorname{Re}\{-2iF\sin\frac{n\pi}2(\cos\theta+i\sin\theta)\}=4F\sin\frac{n\pi}2\sin\theta$, con $\theta=2\pi nFt$: $$s(t)=4F\left[\sin2\pi Ft-\sin6\pi Ft+\sin10\pi Ft-\cdots\right]=4F\sum_{n\text{ dispari}}\sin\frac{n\pi}2\,\sin2\pi nFt.$$

Parseval? Tutti i coefficienti dispari hanno modulo $2F$ senza decrescere: $\sum|S_n|^2=\sum4F^2=+\infty$. Il teorema vale, ma dice che la potenza è infinita, com'è giusto per un segnale fatto di impulsi ideali (energia infinita già in un periodo, perché $\delta^2$ non è integrabile).

Verifica indipendente (derivata dell'onda quadra). Sia $q(t)$ l'onda quadra che vale $+1$ per $|t|<\frac{T_p}4$ e $-1$ nel resto del periodo. La sua derivata ha un salto $+2$ in $-\frac{T_p}4$ (impulso $+2$) e un salto $-2$ in $+\frac{T_p}4$ (impulso $-2$): $q'=2\delta(t+\frac{T_p}4)-2\delta(t-\frac{T_p}4)$, cioè $s=-\frac12q'$. I coefficienti di $q$ sono (rettangolo di ciclo utile $\frac12$ meno la costante) $Q_n=\operatorname{sinc}\frac n2$ per $n\ne0$. Derivando termine a termine la serie, $\frac{d}{dt}e^{i2\pi nFt}=i2\pi nF\,e^{i2\pi nFt}$, quindi $$S_n=-\frac12\,i2\pi nF\,Q_n=-i\pi nF\frac{\sin(n\pi/2)}{n\pi/2}=-2iF\sin\frac{n\pi}2\ \checkmark$$

Es. 3.1I - dal coefficiente $\left(\frac12\right)^{|n|}$ al segnale

Impostazione. Il segnale è la somma della serie $$s(t)=\sum_{n=-\infty}^{+\infty}\left(\frac12\right)^{|n|}e^{i2\pi nFt}.$$ Poniamo $z=e^{i2\pi Ft}=e^{i\theta}$ con $\theta=2\pi Ft$: $z$ ha modulo $1$ e $z^{-1}=\bar z=e^{-i\theta}$. Separiamo tre parti.

• $n=0$: il termine vale $1$.
• $n\ge1$: $\left(\frac12\right)^nz^n=\left(\frac z2\right)^n$.
• $n\le-1$: con $m=-n\ge1$, $\left(\frac12\right)^mz^{-m}=\left(\frac{\bar z}2\right)^m$.

Somma delle due serie geometriche. Per $|q|<1$, $\sum_{m=1}^\infty q^m=\frac q{1-q}$ (Serie notevoli - geometrica, telescopica, armonicaLe serie di cui si conosce il carattere e da usare come termine di paragone: geometrica (converge a 1/(1-q) se |q|<1), telescopiche (somma b_1 - lim b_n, come Mengoli), armonica generalizzata (1/n^alpha converge se e solo se alpha>1).Serie notevoli - geometrica, telescopica, armonica →). Qui $q=\frac z2$ e $q=\frac{\bar z}2$ hanno modulo $\frac12<1$ per ogni $t$, quindi la serie converge: $$s(t)=1+\frac{z/2}{1-z/2}+\frac{\bar z/2}{1-\bar z/2}=1+\frac z{2-z}+\frac{\bar z}{2-\bar z}.$$ I due ultimi termini sono uno il coniugato dell'altro, quindi la somma è reale: $2\operatorname{Re}\left\{\frac z{2-z}\right\}$. Per calcolare la parte reale si moltiplica numeratore e denominatore per il coniugato del denominatore, $2-\bar z$: $$\frac z{2-z}=\frac{z(2-\bar z)}{(2-z)(2-\bar z)}=\frac{2z-|z|^2}{|2-z|^2}=\frac{2z-1}{5-4\cos\theta},$$ perché $|z|^2=1$ e $|2-z|^2=(2-\cos\theta)^2+\sin^2\theta=5-4\cos\theta$. La parte reale del numeratore è $2\cos\theta-1$. Allora $$s=1+\frac{2(2\cos\theta-1)}{5-4\cos\theta}=\frac{(5-4\cos\theta)+(4\cos\theta-2)}{5-4\cos\theta}=\boxed{\frac3{5-4\cos2\pi Ft}=\frac{3/4}{\frac54-\cos2\pi Ft}}.$$ Perché non c'è parte immaginaria: i coefficienti sono reali e pari ($S_{-n}=S_n$), quindi il segnale è reale e pari, come mostra il risultato. (Se invece i coefficienti fossero stati $\left(\frac12\right)^n$ solo per $n\ge0$, come nell'esempio 3.1B del testo, si sarebbe ottenuto il segnale complesso $\frac1{1-z/2}$.)

Controlli. Valori caratteristici ($\cos\theta=\pm1$):

• $t=0$: $\theta=0$, $s=\frac3{5-4}=3$; dalla serie: $\sum\left(\frac12\right)^{|n|}=1+2\cdot\frac{1/2}{1-1/2}=3$ ✓.
• $t=\frac{T_p}2$: $\theta=\pi$, $s=\frac3{9}=\frac13$; dalla serie: $1+2\sum_{n\ge1}\left(-\frac12\right)^n=1+2\cdot\frac{-1/2}{3/2}=\frac13$ ✓.
• $t=\frac{T_p}4$: $\cos\theta=0$, $s=\frac35=0{,}6$ (qui $e^{in\theta}=i^n$: i termini con $n$ dispari si cancellano a coppie $\pm n$, quelli pari danno $1+2\sum_{k\ge1}(-1)^k\frac1{4^k}=1-\frac25=0{,}6$ ✓).
• Valor medio: $S_0=1$, e $\frac1{2\pi}\int_0^{2\pi}\frac3{5-4\cos\theta}d\theta=\frac3{\sqrt{25-16}}=1$ ✓ (formula $\frac1{2\pi}\int_0^{2\pi}\frac{d\theta}{a-b\cos\theta}=\frac1{\sqrt{a^2-b^2}}$, verificata numericamente).
• Potenza (Parseval): $\sum\left(\frac12\right)^{2|n|}=1+2\sum_{n\ge1}\frac1{4^n}=1+2\cdot\frac{1/4}{3/4}=\frac53$; il valore numerico di $\frac1{2\pi}\int_0^{2\pi}\left(\frac3{5-4\cos\theta}\right)^2d\theta$ è $1{,}6667$ ✓.

Controllo

import numpy as np
from scipy.integrate import quad

# 3.1G: Parseval per A0 cos(2 pi f0 t + phi0)
A0, phi0, f0 = 3.0, 0.7, 5.0
Tp = 1 / f0
E_tempo = quad(lambda t: (A0*np.cos(2*np.pi*f0*t + phi0))**2, 0, Tp)[0]
S1 = A0/2 * np.exp(1j*phi0)
print(E_tempo, Tp * 2*abs(S1)**2)              # 0.9 0.9

# 3.1H: coefficienti del treno di impulsi con segni alterni (Tp = 1, F = 1)
F = 1.0
for n in range(-4, 5):
    Sn = F*(np.exp(-1j*2*np.pi*n*F*0.25) - np.exp(-1j*2*np.pi*n*F*0.75))
    print(n, np.round(Sn, 12), -2j*F*np.sin(n*np.pi/2))      # uguali

# 3.1I: somma della serie con 401 termini e forma chiusa
n = np.arange(-200, 201)
for th in (0, np.pi/4, np.pi/2, np.pi):
    print(th, np.sum(0.5**abs(n)*np.exp(1j*n*th)).real, 3/(5 - 4*np.cos(th)))
print(quad(lambda th: (3/(5 - 4*np.cos(th)))**2, 0, 2*np.pi)[0]/(2*np.pi), 5/3)

Risultati: $0{,}9$ per entrambi i lati di Parseval; coefficienti dell'impulso uguali a $-2iF\sin\frac{n\pi}2$ ($\mp2i$ per $n$ dispari, $0$ per $n$ pari); la somma della serie coincide con $\frac3{5-4\cos\theta}$ (ad esempio $3$; $1{,}38149$; $0{,}6$; $0{,}33333$ in $\theta=0,\frac\pi4,\frac\pi2,\pi$). Come prova numerica sul 3.1H, un impulso ideale sostituito da una gaussiana stretta ($\sigma=0{,}01T_p$) dà $S_1\approx-1{,}996i$, $S_3\approx+1{,}965i$, $S_5\approx-1{,}904i$: i valori ideali $\mp2i$ sono attenuati dal fattore $e^{-2\pi^2n^2\sigma^2/T_p^2}$, che tende a $1$ quando l'impulso si restringe.