Impulso ideale (delta di Dirac)

Da dove nasce

Si consideri la successione di impulsi rettangolari centrati nell'origine, di durata $\frac1n$ e di area unitaria: l'$n$-simo ha altezza $n$, $$r_n(t)=\begin{cases}n&|t|<\frac1{2n}\\0&\text{altrove}\end{cases}.$$ Al crescere di $n$ l'impulso diventa più stretto e più alto, ma l'area resta $1$. Il limite puntuale è inutilizzabile (vale $+\infty$ in $0$ e $0$ altrove), ma il suo effetto su un segnale ha senso. Se $s(t)$ è continuo nell'origine, per il teorema della media esiste $t_n\in\left(-\frac1{2n},\frac1{2n}\right)$ con $$\int_{-\infty}^{+\infty}s(t)\,r_n(t)\,dt=n\int_{-1/2n}^{1/2n}s(t)\,dt=n\cdot s(t_n)\cdot\frac1n=s(t_n)\xrightarrow[n\to\infty]{}s(0).$$ L'integrale del prodotto "rivela" il valore del segnale nell'origine. Per un segnale complesso si ragiona separatamente su parte reale e parte immaginaria.

Esempio. Con $s(t)=2+3t+t^2$ si ha $\int s\,r_n=2+\frac1{12n^2}$: $2{,}0833$ per $n=1$, $2{,}00083$ per $n=10$, $2{,}000008$ per $n=100$; tende a $s(0)=2$.

Definizione operativa

Definizione (impulso ideale). L'impulso ideale (delta di Dirac) è il "segnale" $\delta(t)$ tale che

1. $\delta(t)=0$ per $t\ne0$;
2. per ogni segnale $s(t)$ continuo nell'origine vale la proprietà rivelatrice $$\int_{-\infty}^{+\infty}s(t)\,\delta(t)\,dt=s(0).$$

Esempio. Con $s(t)=2+3t+t^2$ si ha $\int s\,\delta=s(0)=2$.

La definizione rigorosa richiede la teoria delle distribuzioni; qui interessa soprattutto come si usa. Scegliendo $s=1$ si ottiene che l'area è $1$: $\int\delta(t)\,dt=1$. Altre conseguenze immediate: l'estensione di $\delta$ è $\{0\}$; è un segnale pari, $\delta(t)=\delta(-t)$; $\int_{-\varepsilon}^{\varepsilon}\delta(t)\,dt=1$ per ogni $\varepsilon>0$ (si prende $s(t)=\operatorname{rect}\frac t{2\varepsilon}$, continuo in $0$).

Impulso traslato. Per $\alpha$ complesso e $t_0$ reale, $\alpha\,\delta(t-t_0)$ è l'impulso ideale di area $\alpha$ applicato in $t_0$, con proprietà rivelatrice $$\int s(t)\,\delta(t-t_0)\,dt=s(t_0)\quad(s\text{ continuo in }t_0).$$ Si disegna come una freccia in $t_0$ la cui "altezza" $\alpha$ non è un'ordinata ma un'area.

Esempio. $\int e^{-t^2}\delta(t-2)\,dt=e^{-4}=0{,}0183$.

Moltiplicazione per un segnale. Per $s$ continuo in $t_0$: $$s(t)\,\delta(t-t_0)=s(t_0)\,\delta(t-t_0).$$ I due membri sono nulli per $t\ne t_0$ (quindi sono impulsi) e hanno la stessa area $s(t_0)$. Non confondere questa uguaglianza, che è un segnale (un impulso di area $s(t_0)$), con la proprietà rivelatrice, che è un numero.

Esempio. $\cos(2\pi t)\,\delta(t-\frac13)=\cos\frac{2\pi}3\,\delta(t-\frac13)=-\frac12\,\delta(t-\frac13)$.

Cambio di scala. Per $a\ne0$, $\delta(at)=\frac1{|a|}\delta(t)$: l'impulso $r_n(at)$ è largo $\frac1{n|a|}$ e quindi ha area $\frac1{|a|}$ (si verifica con $r_{50}(-2t)$ e $s=\cos t$: l'integrale vale $0{,}49999\approx\frac12$).

L'energia e la potenza di $\delta$ non si possono definire: il quadrato dell'impulso non esiste (nemmeno nella teoria delle distribuzioni).

Derivate generalizzate

Dalla proprietà rivelatrice $$\int_{-\infty}^{t}\delta(u)\,du=\int_{-\infty}^{\infty}\delta(u)\,\mathbf 1(t-u)\,du=\mathbf 1(t),$$ quindi si definisce la derivata generalizzata del gradino come l'impulso: $\dfrac{d\mathbf 1(t)}{dt}=\delta(t)$. Si ottiene così la derivata di un segnale anche nei punti di discontinuità.

Regola (derivata di un salto). Nella derivata generalizzata di un segnale, in ogni punto di discontinuità di salto $t_0$ compare un impulso $\Delta s\,\delta(t-t_0)$ di area uguale al salto con segno $\Delta s=s(t_0^+)-s(t_0^-)$, sommato alla derivata ordinaria nei punti regolari.

Esempio. $\operatorname{rect}(t)=\mathbf 1(t+\frac12)-\mathbf 1(t-\frac12)$ ha derivata $\delta(t+\frac12)-\delta(t-\frac12)$ (salto $+1$ in $-\frac12$, $-1$ in $\frac12$). Il segnale segno è $\operatorname{sgn}(t)=\mathbf 1(t)-\mathbf 1(-t)$, con derivata $\delta(t)+\delta(-t)=2\delta(t)$ (salto $2$ in $0$). Il segnale $e^{-t}\mathbf 1(t)$ ha derivata $\delta(t)-e^{-t}\mathbf 1(t)$ (salto $1$ in $0$ più la derivata ordinaria).

Usando il segno e il valore dei salti si ricavano le derivate di segnali a tratti, il che permette di calcolare le loro trasformate di Fourier tramite la regola di derivazione (Proprietà della trasformata di FourierLe regole della trasformata di Fourier trasformano operazioni sui segnali in operazioni sulle trasformate: linearità, ribaltamento, coniugio, traslazione nel tempo ($\times e^{-i2\pi ft_0}$) e in frequenza, convoluzione $\leftrightarrow$ prodotto, cambio di scala $s(at)\to\frac1{|a|}S(f/a)$, derivazione ($\times i2\pi f$), integrazione, regola di simmetria ($S(t)\to s(-f)$). Area $S(0)=\int s$, teorema di Parseval $\int|s|^2=\int|S|^2$. Durata e banda sono inversamente legati e un segnale non può avere durata e banda entrambe limitate; la banda del prodotto è la somma delle bande. Con queste regole si ricavano quasi tutte le trasformate senza integrare.Proprietà della trasformata di Fourier →).

L'impulso nelle altre parti della teoria

• Convoluzione. $s*\delta=s$: l'impulso è l'elemento neutro (ConvoluzioneLa convoluzione $x*y(t)=\int x(u),y(t-u),du$ combina due segnali ribaltando e traslando il secondo, moltiplicando e integrando. È commutativa, associativa, lineare; l'area del risultato è il prodotto delle aree; l'estensione è la somma delle estensioni (estremo con estremo); l'impulso $\delta$ è l'elemento neutro; la convoluzione con il gradino integra. Per due segnali periodici di uguale periodo si usa la convoluzione ciclica (integrale su un periodo). È l'operazione del filtraggio: l'uscita di un filtro è la convoluzione dell'ingresso con la risposta impulsiva.Convoluzione →). Per questo è la risposta impulsiva del filtro identità, e in generale la risposta impulsiva di un filtro è la sua uscita quando l'ingresso è $\delta$ (Sistemi lineari tempo-invarianti e risposta impulsivaUna tf lineare e tempo-invariante (LTI, filtro) ha nucleo h(t,u) = g(t-u): l'uscita è la convoluzione y = gx con la risposta impulsiva g (uscita all'impulso ideale nell'origine). Causale se e solo se g è causale; stabile BIBO se e solo se g è assolutamente integrabile (sommabile); reale se e solo se g è reale. Cascata: g = g2g1; parallelo: g1+g2; retroazione: Ge = G/(1+HG) in frequenza.Sistemi lineari tempo-invarianti e risposta impulsiva →).
• Impulso periodico. $\delta_{T_p}(t)=\sum_k\delta(t-kT_p)$ è l'elemento neutro della convoluzione ciclica e ha tutti i coefficienti di Fourier uguali a $\frac1{T_p}$ (Serie di FourierUn segnale periodico di periodo $T_p$ si scrive come somma di esponenziali alle frequenze multiple della fondamentale $F=1/T_p$: $s(t)=\sum_nS_ne^{i2\pi nFt}$, con $S_n=\frac1{T_p}\int_{T_p}s(t)e^{-i2\pi nFt}dt$. Si basa sull'ortogonalità degli esponenziali su un periodo. $S_0$ è il valor medio; per segnali reali $S_{-n}=S_n^*$ e si passa alla forma con coseni e seni; vale il teorema di Parseval $P=\sum|S_n|^2$. La convoluzione ciclica diventa il prodotto $T_pX_nY_n$ dei coefficienti. Le somme troncate presentano il fenomeno di Gibbs vicino ai salti.Serie di Fourier →).
• Frequenza. La trasformata di Fourier di $\delta$ è la costante $1$ e quella della costante $1$ è $\delta(f)$ (Trasformata di FourierLa trasformata di Fourier $S(f)=\int s(t)e^{-i2\pi ft}dt$ associa a un segnale continuo (anche aperiodico) la sua rappresentazione in frequenza; l'antitrasformata $s(t)=\int S(f)e^{i2\pi ft}df$ lo ricostruisce, perché gli esponenziali $e^{i2\pi ft}$ sono ortogonali su tutto $\mathbb R$ ($\int e^{i2\pi ft}dt=\delta(f)$). Per un segnale reale $S(-f)=S^*(f)$. Si calcola per i segnali notevoli (rect $\leftrightarrow$ sinc, $e^{-\alpha t}\mathbf 1(t)\leftrightarrow\frac1{\alpha+i2\pi f}$, gaussiana, $\delta\leftrightarrow1$, $1\leftrightarrow\delta$, gradino) e per i segnali periodici, la cui trasformata è un treno di impulsi di area $S_n$ in $nF$.Trasformata di Fourier →).
• Segnali discreti. Nei segnali a tempo discreto l'impulso è una funzione ordinaria, con altezza $\frac1T$ (Segnali a tempo discretoUn segnale a tempo discreto è una funzione complessa $s(nT)$ definita sui multipli interi del quanto temporale $T$ (insieme $\mathbb Z(T)$, velocità $F_p=1/T$). Le definizioni sono quelle dei segnali continui con la somma al posto dell'integrale e il quanto $T$ al posto di $dt$: area $\sum T,s(nT)$, energia $\sum T|s(nT)|^2$, convoluzione $\sum T,x(kT)y(nT-kT)$. L'impulso ideale discreto vale $1/T$ nell'origine. Esponenziali e sinusoidi discreti sono periodici solo se $f_0/F_p$ è razionale e hanno frequenza ambigua a meno di multipli di $F_p$. I segnali periodici con periodo $NT$ sono descritti da $N$ valori e si trattano al calcolatore.Segnali a tempo discreto →).

Vedi anche la materia gemella: Delta di Dirac e derivate generalizzateLa delta di Dirac $\delta(t)$ è l'impulso ideale: area 1 concentrata in un punto, definita dalla proprietà rivelatrice $\int x(t)\delta(t-t_0)dt = x(t_0)$. Nel discreto la delta di Kronecker vale 1 in $n=0$. La derivata (generalizzata) di un salto di ampiezza $\Delta$ contiene una delta di area $\Delta$; così si derivano i segnali a tratti.Delta di Dirac e derivate generalizzate →.