Segnali a tempo continuo - definizioni e trasformazioni

Segnali e sistemi

Un segnale è una grandezza che porta informazione e che varia in funzione di una o più coordinate: una tensione nel tempo, la pressione sonora in un microfono, la luminosità dei punti di una fotografia. I segnali sono sempre legati a sistemi che li producono, li memorizzano, li elaborano o li trasportano: per questo la Teoria dei Segnali e lo studio dei sistemi vanno insieme (i sistemi arrivano nella seconda parte del corso, a partire da Trasformazioni e sistemi - proprietàUna trasformazione manda un segnale d'ingresso su I in un segnale d'uscita su U, y = φ[x]. Si classifica per invertibilità, memoria, causalità, stabilità BIBO, linearità, tempo-invarianza e realtà. Una trasformazione lineare ha un nucleo h(t,u) = risposta all'impulso applicato in u; la finestra y = w·x è lineare ma NON tempo-invariante. Le tf LTI (filtri) sono il caso con h(t,u) = g(t-u).Trasformazioni e sistemi - proprietà →).

I segnali si classificano in modo incrociato:

Un segnale a tempo continuo e ad ampiezza continua si dice analogico, uno a tempo discreto e ad ampiezza discreta si dice numerico. La distinzione fondamentale è tra tempo continuo e tempo discreto; l'ampiezza discreta o continua ha un ruolo marginale nella teoria. Nelle note sui segnali continui si studiano segnali scalari con una sola coordinata, che si chiama tempo anche quando non lo è.

Come è organizzato il corso. Il filo conduttore è il percorso di un segnale in un sistema di telecomunicazioni: lo si descrive, lo si elabora, lo si converte in numeri, e si tiene conto del fatto che il messaggio e il rumore non sono noti in anticipo.

1. Segnali determinati, cioè funzioni note. Nel tempo: Segnali a tempo continuo - definizioni e trasformazioni (questa nota), Segnali notevoli - gradino, rect, tri, sinc ed esponenzialiI segnali di uso più frequente sono la costante, la sinusoide $A_0\cos(2\pi f_0t+\varphi_0)$ e l'esponenziale complesso $Ae^{i2\pi f_0t}$ (periodici, a potenza finita), il gradino $\mathbf 1(t)$ e il segno, e gli impulsi a energia finita: $\operatorname{rect}$ (area $D$), $\operatorname{tri}$, $\operatorname{sinc}$ (area $1$), la gaussiana $e^{-\pi t^2}$ e gli esponenziali smorzati. Per ciascuno si sanno a memoria forma, area ed energia; gli altri segnali si ottengono da questi con traslazioni, scalature, somme e differenze.Segnali notevoli - gradino, rect, tri, sinc ed esponenziali →, Energia, potenza e valor medio dei segnaliSu un segnale continuo si calcolano quattro numeri riassuntivi: l'area $\int s,dt$, il valor medio (componente continua) $\lim\frac1{2T}\int_{-T}^Ts,dt$, l'energia $\int|s|^2dt$ e la potenza media $\lim\frac1{2T}\int_{-T}^T|s|^2dt$. Un segnale ad energia finita ha potenza nulla e uno a potenza finita non nulla ha energia infinita. Per un segnale periodico di periodo $T_p$ area ed energia si calcolano su un periodo; un segnale periodico è la ripetizione periodica $\sum_ku(t-kT_p)$ di un suo periodo. Valgono per traslazione l'invarianza, per scala $s(at)$ la divisione per $|a|$.Energia, potenza e valor medio dei segnali →, Impulso ideale (delta di Dirac)L'impulso ideale $\delta(t)$ è il segnale "nullo fuori dall'origine e di area $1$" definito dalla proprietà rivelatrice $\int s(t)\delta(t-t_0),dt=s(t_0)$: è il limite (in senso operativo) di impulsi rettangolari sempre più stretti e alti di area $1$. Serve per scrivere derivate dei segnali con salti (la derivata del gradino è $\delta$, il salto diventa un impulso di area pari al salto), come elemento neutro della convoluzione e come risposta impulsiva dei filtri. Non ha senso parlare di energia o potenza di $\delta$.Impulso ideale (delta di Dirac) →, ConvoluzioneLa convoluzione $xy(t)=\int x(u),y(t-u),du$ combina due segnali ribaltando e traslando il secondo, moltiplicando e integrando. È commutativa, associativa, lineare; l'area del risultato è il prodotto delle aree; l'estensione è la somma delle estensioni (estremo con estremo); l'impulso $\delta$ è l'elemento neutro; la convoluzione con il gradino integra. Per due segnali periodici di uguale periodo si usa la convoluzione ciclica (integrale su un periodo). È l'operazione del filtraggio: l'uscita di un filtro è la convoluzione dell'ingresso con la risposta impulsiva.Convoluzione →. In frequenza: Serie di FourierUn segnale periodico di periodo $T_p$ si scrive come somma di esponenziali alle frequenze multiple della fondamentale $F=1/T_p$: $s(t)=\sum_nS_ne^{i2\pi nFt}$, con $S_n=\frac1{T_p}\int_{T_p}s(t)e^{-i2\pi nFt}dt$. Si basa sull'ortogonalità degli esponenziali su un periodo. $S_0$ è il valor medio; per segnali reali $S_{-n}=S_n^$ e si passa alla forma con coseni e seni; vale il teorema di Parseval $P=\sum|S_n|^2$. La convoluzione ciclica diventa il prodotto $T_pX_nY_n$ dei coefficienti. Le somme troncate presentano il fenomeno di Gibbs vicino ai salti.Serie di Fourier →, Trasformata di FourierLa trasformata di Fourier $S(f)=\int s(t)e^{-i2\pi ft}dt$ associa a un segnale continuo (anche aperiodico) la sua rappresentazione in frequenza; l'antitrasformata $s(t)=\int S(f)e^{i2\pi ft}df$ lo ricostruisce, perché gli esponenziali $e^{i2\pi ft}$ sono ortogonali su tutto $\mathbb R$ ($\int e^{i2\pi ft}dt=\delta(f)$). Per un segnale reale $S(-f)=S^(f)$. Si calcola per i segnali notevoli (rect $\leftrightarrow$ sinc, $e^{-\alpha t}\mathbf 1(t)\leftrightarrow\frac1{\alpha+i2\pi f}$, gaussiana, $\delta\leftrightarrow1$, $1\leftrightarrow\delta$, gradino) e per i segnali periodici, la cui trasformata è un treno di impulsi di area $S_n$ in $nF$.Trasformata di Fourier →, Proprietà della trasformata di FourierLe regole della trasformata di Fourier trasformano operazioni sui segnali in operazioni sulle trasformate: linearità, ribaltamento, coniugio, traslazione nel tempo ($\times e^{-i2\pi ft_0}$) e in frequenza, convoluzione $\leftrightarrow$ prodotto, cambio di scala $s(at)\to\frac1{|a|}S(f/a)$, derivazione ($\times i2\pi f$), integrazione, regola di simmetria ($S(t)\to s(-f)$). Area $S(0)=\int s$, teorema di Parseval $\int|s|^2=\int|S|^2$. Durata e banda sono inversamente legati e un segnale non può avere durata e banda entrambe limitate; la banda del prodotto è la somma delle bande. Con queste regole si ricavano quasi tutte le trasformate senza integrare.Proprietà della trasformata di Fourier →. Poi gli stessi strumenti per i segnali a tempo discreto, adatti al calcolatore: Segnali a tempo discretoUn segnale a tempo discreto è una funzione complessa $s(nT)$ definita sui multipli interi del quanto temporale $T$ (insieme $\mathbb Z(T)$, velocità $F_p=1/T$). Le definizioni sono quelle dei segnali continui con la somma al posto dell'integrale e il quanto $T$ al posto di $dt$: area $\sum T,s(nT)$, energia $\sum T|s(nT)|^2$, convoluzione $\sum T,x(kT)y(nT-kT)$. L'impulso ideale discreto vale $1/T$ nell'origine. Esponenziali e sinusoidi discreti sono periodici solo se $f_0/F_p$ è razionale e hanno frequenza ambigua a meno di multipli di $F_p$. I segnali periodici con periodo $NT$ sono descritti da $N$ valori e si trattano al calcolatore.Segnali a tempo discreto →, Trasformata di Fourier a tempo discretoLa trasformata di Fourier di un segnale discreto è $S(f)=\sum_nT,s(nT),e^{-i2\pi fnT}$: una funzione continua e periodica in $f$ di periodo $F_p=1/T$. L'antitrasformata è l'integrale su un periodo, $s(nT)=\int_0^{F_p}S(f)e^{i2\pi fnT}df$. Le regole sono quelle del caso continuo (traslazione, convoluzione $\leftrightarrow$ prodotto, Parseval $\sum T|s|^2=\int_0^{F_p}|S|^2$), con incremento e somma corrente al posto di derivata e integrale. Per segnali reali $S(f)=S^(-f)$, quindi basta $[0,F_p/2]$. Esempi: $\delta\to1$, $1\to\delta_{F_p}$, rect $\to$ sinc periodico, $a^n\mathbf 1_0\to\frac T{1-ae^{-i2\pi fT}}$.Trasformata di Fourier a tempo discreto →, Trasformata di Fourier discreta (DFT) e FFTUn segnale discreto periodico di periodo $NT$ ha una trasformata discreta e periodica, la DFT: $S(kF)=\sum_{n=0}^{N-1}T,s(nT)e^{-i2\pi kn/N}$, con $F=1/(NT)$, e $s(nT)=\sum_{k=0}^{N-1}F,S(kF)e^{i2\pi kn/N}$. Dipende da soli $N$ numeri, si calcola senza approssimazioni e con la FFT costa $N\log_2N$ invece di $N^2$. I coefficienti di Fourier del segnale periodico sono $S_k=F,S(kF)$. La DFT dà anche campioni della trasformata di un segnale discreto o continuo a durata limitata (con zero-padding), ma la scalatura $T$ e l'asse delle frequenze vanno gestiti con cura.Trasformata di Fourier discreta (DFT) e FFT →, e il ponte tra continuo e discreto, Campionamento e ricostruzioneIl campionamento $s_c(nT)=s(nT)$ trasforma un segnale continuo in uno discreto e, in frequenza, ripete lo spettro con periodo $F_c=1/T$: $S_c(f)=\sum_kS(f-kF_c)$. Se le repliche si sovrappongono si ha aliasing e il segnale non è recuperabile. Un interpolatore $\mathbb Z(T)\to\mathbb R$ con risposta impulsiva $g$ produce $\tilde s(t)=\sum_nT g(t-nT)s(nT)$ e $\tilde S=G,S_c$. Teorema del campionamento: se $s$ ha banda $B$ e $F_c\ge2B$, l'interpolatore ideale $G=\operatorname{rect}(f/F_c)$ ricostruisce esattamente $s(t)=\sum s(nT)\operatorname{sinc}(F_c(t-nT))$. Se le ipotesi non valgono c'è un errore, in banda e fuori banda, riducibile con un prefiltro anti-aliasing.Campionamento e ricostruzione →.
2. Trasformazioni e sistemi: cosa fa un dispositivo a un segnale. Trasformazioni e sistemi - proprietàUna trasformazione manda un segnale d'ingresso su I in un segnale d'uscita su U, y = φ[x]. Si classifica per invertibilità, memoria, causalità, stabilità BIBO, linearità, tempo-invarianza e realtà. Una trasformazione lineare ha un nucleo h(t,u) = risposta all'impulso applicato in u; la finestra y = w·x è lineare ma NON tempo-invariante. Le tf LTI (filtri) sono il caso con h(t,u) = g(t-u).Trasformazioni e sistemi - proprietà → (invertibile, causale, stabile, lineare, tempo-invariante), poi i filtri LTI con Sistemi lineari tempo-invarianti e risposta impulsivaUna tf lineare e tempo-invariante (LTI, filtro) ha nucleo h(t,u) = g(t-u): l'uscita è la convoluzione y = gx con la risposta impulsiva g (uscita all'impulso ideale nell'origine). Causale se e solo se g è causale; stabile BIBO se e solo se g è assolutamente integrabile (sommabile); reale se e solo se g è reale. Cascata: g = g2g1; parallelo: g1+g2; retroazione: Ge = G/(1+HG) in frequenza.Sistemi lineari tempo-invarianti e risposta impulsiva → e Risposta in frequenza e filtriLa risposta in frequenza G(f) = F[g] di un filtro LTI dà Y = G·X. Gli esponenziali complessi sono autofunzioni (autovalore G(f)), quindi un ingresso sinusoidale esce sinusoidale con ampiezza moltiplicata per |G(f0)| e fase aumentata di arg G(f0). Il filtro è reale se G è hermitiana, invertibile se G non si annulla. I filtri ideali sono rect in frequenza; non distorsione secondo Heaviside: |G| costante e fase lineare.Risposta in frequenza e filtri →, i sistemi descritti da equazioni (Trasformata zeta e sistemi a tempo discretoUn sistema LTI discreto è descritto da un'equazione alle differenze Σ a_i y(n-i) = Σ b_i x(n-i) con condizioni iniziali. L'uscita è evoluzione libera (dalle condizioni iniziali) più risposta forzata gx. Si calcola in tre modi: soluzione dell'equazione, risposta impulsiva con segnale fittizio, trasformata zeta. FIR: memoria finita, sempre stabile; IIR: stabile se tutti i poli hanno modulo minore di 1. In frequenza G(f) = Σ b_i e^{-i2πfi} / Σ a_i e^{-i2πfi}.Trasformata zeta e sistemi a tempo discreto →, Sistemi continui descritti da equazioni differenzialiUn'equazione differenziale lineare a coefficienti costanti Σ a_i y^(i) = Σ b_i x^(i) descrive un sistema LTI continuo con stato (condizioni iniziali y(0), y'(0), ...). L'uscita è evoluzione libera + risposta forzata gx. Si calcola risolvendo l'equazione (omogenea + particolare) oppure con Laplace: G(p) = Σ b_i p^i / Σ a_i p^i. Il sistema è stabile se tutte le radici del polinomio caratteristico hanno parte reale negativa.Sistemi continui descritti da equazioni differenziali →) e le conversioni tra continuo e discreto (Interpolazione LTI e teorema del campionamentoIl campionatore R→Z(T) ripete lo spettro con periodo Fc = 1/T (Sc(f) = Σ S(f - kFc), senza fattore 1/T). Il filtro interpolatore Z(T)→R ha y(t) = Σ x(nT) g0(t-nT) con g0 = T g e in frequenza Y = G·X. Se S è nulla fuori da (-B,B) e Fc ≥ 2B, con g0(t) = sinc(Fc t) si ricostruisce esattamente s(t) dai campioni. Altrimenti c'è un errore (in banda per l'aliasing, fuori banda per la parte tagliata), ridotto da un prefiltro anti-aliasing.Interpolazione LTI e teorema del campionamento →).
3. Processi aleatori: segnali che non si conoscono prima di riceverli (la voce che arriva, il rumore del canale) si modellano con le loro statistiche. Processi aleatori - definizioni, media e autocorrelazioneUn processo aleatorio x(t), t in I (R o Z(T)), è una famiglia di variabili aleatorie sullo stesso spazio di probabilità; fissato l'esito si ottiene una realizzazione (un segnale). Si descrive con le densità di ordine N (complete), in particolare del primo e del secondo ordine, oppure solo con media m_x(t) e correlazione r_x(t,s) = E[x(t)x*(s)] (descrizione di potenza). Un processo gaussiano è determinato da media e correlazione.Processi aleatori - definizioni, media e autocorrelazione →, Processi stazionari e densità spettrale di potenzaUn processo è stazionario in media, in potenza, nel primo ordine o in correlazione se la rispettiva grandezza non cambia traslando il tempo; stazionario in senso lato (sl) = media costante e r_x(t,s) = r_x(t-s); in senso stretto (ss) = tutte le densità invarianti. La densità spettrale di potenza R_x(f) = F[r_x(τ)] è non negativa e ha integrale = potenza statistica. Rumore bianco: R costante. Ciclostazionario: statistiche periodiche. Ergodico in media: la media temporale di una realizzazione converge a m_x.Processi stazionari e densità spettrale di potenza →, Processi aleatori attraverso sistemi LTIUna trasformazione applicata a ogni realizzazione dà un nuovo processo, ma dalla descrizione statistica di x non sempre si ricava quella di y (controesempi); si può se ogni vettore di y dipende da un vettore finito di x. Per una tf lineare m_y e r_y si calcolano col nucleo; un filtro LTI conserva la stazionarietà in senso lato: m_y = G(0) m_x, R_y = |G|² R_x. Il campionamento di un processo sl dà un processo sl con PSD ripetuta periodicamente. L'interpolazione LTI di un processo discreto sl è ciclostazionaria. Teorema del campionamento per processi: R_x nulla fuori da (-B,B) e Fc ≥ 2B danno ricostruzione esatta in media quadratica; altrimenti la potenza dell'errore è in banda + fuori banda.Processi aleatori attraverso sistemi LTI →: le stesse trasformazioni della parte 2 applicate a un processo.

L'esame ha una prova scritta (un problema su segnali e sistemi e uno sui processi, entrambi nel tempo e in frequenza), una di laboratorio (analisi di segnali al calcolatore: nelle note il codice MATLAB è riscritto in Python, si veda Esercizio - laboratorio 1, Python al posto di MATLAB) e un orale su tutto il programma.

Definizione di segnale continuo

Definizione (segnale a tempo continuo). Un segnale a tempo continuo è una funzione complessa di variabile reale $$s:\mathbb R\to\mathbb C,\qquad t\mapsto s(t).$$ È reale se $s(t)=s^*(t)$ per ogni $t$, dove $^*$ indica il complesso coniugato.

Esempio. $s(t)=\cos(2\pi t)$ è reale; $s(t)=e^{i\pi t^2}$ è complesso, perché $s^*(t)=e^{-i\pi t^2}\ne s(t)$ (per $t=\frac12$ vale $e^{i\pi/4}$, che non è reale).

Due scelte vanno spiegate.

Perché il dominio è tutto $\mathbb R$. Un segnale fisico esiste solo mentre lo si osserva (una telefonata di tre minuti), ma la teoria prende $\mathbb R$ perché le due operazioni più usate, il ribaltamento e la traslazione, mantengono il dominio. Se $s$ fosse definito su un intervallo $I$, $s(-t)$ sarebbe definito su $-I$ e $s(t-t_0)$ su $I+t_0$: due segnali ottenuti da $s$ avrebbero domini diversi. L'unico sottoinsieme di $\mathbb R$ che coincide con il proprio ribaltato e con ogni suo traslato è $\mathbb R$ stesso. Un segnale con dominio naturale $[t_1,t_2]$ si estende a $\mathbb R$ ponendolo uguale a $0$ fuori (scelta più comune) oppure ripetendolo periodicamente con periodo $t_2-t_1$ (si veda Energia, potenza e valor medio dei segnaliSu un segnale continuo si calcolano quattro numeri riassuntivi: l'area $\int s,dt$, il valor medio (componente continua) $\lim\frac1{2T}\int_{-T}^Ts,dt$, l'energia $\int|s|^2dt$ e la potenza media $\lim\frac1{2T}\int_{-T}^T|s|^2dt$. Un segnale ad energia finita ha potenza nulla e uno a potenza finita non nulla ha energia infinita. Per un segnale periodico di periodo $T_p$ area ed energia si calcolano su un periodo; un segnale periodico è la ripetizione periodica $\sum_ku(t-kT_p)$ di un suo periodo. Valgono per traslazione l'invarianza, per scala $s(at)$ la divisione per $|a|$.Energia, potenza e valor medio dei segnali →).

Perché i valori sono complessi. I segnali fisici sono reali, ma i segnali complessi rendono più semplici le formule, e i segnali reali ne sono il caso particolare: il segnale $\cos(2\pi f_0t)$ è la parte reale dell'esponenziale complesso $e^{i2\pi f_0t}$, che è molto più comodo da trattare (si veda Segnali notevoli - gradino, rect, tri, sinc ed esponenzialiI segnali di uso più frequente sono la costante, la sinusoide $A_0\cos(2\pi f_0t+\varphi_0)$ e l'esponenziale complesso $Ae^{i2\pi f_0t}$ (periodici, a potenza finita), il gradino $\mathbf 1(t)$ e il segno, e gli impulsi a energia finita: $\operatorname{rect}$ (area $D$), $\operatorname{tri}$, $\operatorname{sinc}$ (area $1$), la gaussiana $e^{-\pi t^2}$ e gli esponenziali smorzati. Per ciascuno si sanno a memoria forma, area ed energia; gli altri segnali si ottengono da questi con traslazioni, scalature, somme e differenze.Segnali notevoli - gradino, rect, tri, sinc ed esponenziali →). Per i richiami sui numeri complessi: Numeri complessiI numeri complessi estendono i reali introducendo l'unità immaginaria $i$ ($i^2 = -1$) e possono essere rappresentati in forma algebrica, trigonometrica o polare. Tramite la formula di Eulero e le proprietà del modulo e dell'argomento, è possibile calcolare agilmente prodotti, potenze e radici ennesime.Numeri complessi →.

La parola "continuo" si riferisce al dominio: non implica che la funzione sia continua. Un segnale può avere salti, e per i salti vale una regola.

Regola dell'emivalore. In un punto $t_0$ di discontinuità di salto, il segnale vale la media dei limiti da sinistra e da destra: $$s(t_0)=\tfrac12\big[s(t_0^-)+s(t_0^+)\big].$$

Esempio. Il segnale segno $\operatorname{sgn}(t)$ (vale $1$ per $t>0$ e $-1$ per $t<0$) ha $\operatorname{sgn}(0)=\frac12(-1+1)=0$. Il gradino $\mathbf 1(t)$ ha $\mathbf 1(0)=\frac12$.

La regola ha un motivo: nei punti di salto la serie e la trasformata di Fourier convergono proprio all'emivalore (si vedano Serie di FourierUn segnale periodico di periodo $T_p$ si scrive come somma di esponenziali alle frequenze multiple della fondamentale $F=1/T_p$: $s(t)=\sum_nS_ne^{i2\pi nFt}$, con $S_n=\frac1{T_p}\int_{T_p}s(t)e^{-i2\pi nFt}dt$. Si basa sull'ortogonalità degli esponenziali su un periodo. $S_0$ è il valor medio; per segnali reali $S_{-n}=S_n^$ e si passa alla forma con coseni e seni; vale il teorema di Parseval $P=\sum|S_n|^2$. La convoluzione ciclica diventa il prodotto $T_pX_nY_n$ dei coefficienti. Le somme troncate presentano il fenomeno di Gibbs vicino ai salti.Serie di Fourier → e Trasformata di FourierLa trasformata di Fourier $S(f)=\int s(t)e^{-i2\pi ft}dt$ associa a un segnale continuo (anche aperiodico) la sua rappresentazione in frequenza; l'antitrasformata $s(t)=\int S(f)e^{i2\pi ft}df$ lo ricostruisce, perché gli esponenziali $e^{i2\pi ft}$ sono ortogonali su tutto $\mathbb R$ ($\int e^{i2\pi ft}dt=\delta(f)$). Per un segnale reale $S(-f)=S^(f)$. Si calcola per i segnali notevoli (rect $\leftrightarrow$ sinc, $e^{-\alpha t}\mathbf 1(t)\leftrightarrow\frac1{\alpha+i2\pi f}$, gaussiana, $\delta\leftrightarrow1$, $1\leftrightarrow\delta$, gradino) e per i segnali periodici, la cui trasformata è un treno di impulsi di area $S_n$ in $nF$.Trasformata di Fourier →).

Come si rappresenta un segnale complesso

Un segnale reale ha un grafico, uno complesso no: servono due grafici (o uno tridimensionale). Ci sono due modi.

Formula (parte reale e immaginaria). $s(t)=\Re s(t)+i\,\Im s(t)$, con $\Re s=\frac12(s+s^*)$ e $\Im s=\frac1{2i}(s-s^*)$, entrambi segnali reali.

Formula (modulo e fase). $s(t)=|s(t)|\,e^{i\varphi_s(t)}$, con $|s(t)|=\sqrt{s(t)s^*(t)}=\sqrt{(\Re s)^2+(\Im s)^2}$ e $\varphi_s(t)=\arg s(t)$. Per la formula di Eulero $e^{i\varphi}=\cos\varphi+i\sin\varphi$: $$\Re s=|s|\cos\varphi_s,\qquad \Im s=|s|\sin\varphi_s.$$

La fase è determinata a meno di multipli di $2\pi$, perché $e^{i\varphi}$ ha periodo $2\pi$. Per averne una sola si prende il valore principale, l'angolo in $(-\pi,\pi]$ che porta il semiasse reale positivo sul punto $(\Re s,\Im s)$. Per $z=x+iy\ne0$: $$\arg z=\begin{cases}\arctan\frac yx&x>0\\ \arctan\frac yx+\pi&x<0,\ y\ge0\\ \arctan\frac yx-\pi&x<0,\ y<0\\ \frac\pi2\operatorname{sgn}(y)&x=0,\ y\neq0\end{cases}$$ (in Python np.angle(z)). Per $z=0$ la fase non è definita. Conviene ricordare che il modulo di un prodotto è il prodotto dei moduli e la fase è la somma delle fasi (a meno di $2\pi$).

Esempio. $s(t)=e^{i\pi t^2}$ ha $|s|=1$ per ogni $t$ e fase $\pi t^2$. Per $t=1$ la fase vale $\pi$ ($s(1)=-1$); per $t=1{,}2$ la fase $\pi t^2=4{,}524$ supera $\pi$, quindi il valore principale è $4{,}524-2\pi=-1{,}759$.

Esempio. $s(t)=\frac1{1+it}=\frac{1-it}{1+t^2}$ ha $\Re s=\frac1{1+t^2}$, $\Im s=\frac{-t}{1+t^2}$, $|s|=\frac1{\sqrt{1+t^2}}$. La parte reale è sempre positiva, quindi il valore principale della fase è semplicemente $-\arctan t$: per $t=2$ si ha $s=0{,}2-0{,}4\,i$, $|s|=0{,}447$, fase $-1{,}107$ rad.

Ribaltamento, traslazione, cambio di scala

Definizione (operazioni elementari). Dato $s(t)$:

• ribaltamento (inversione dei tempi): $s_-(t)=s(-t)$, il grafico si specchia rispetto all'asse delle ordinate;
• traslazione di $t_0$: $s_{t_0}(t)=s(t-t_0)$; per $t_0>0$ è un ritardo (il grafico si sposta a destra: $s_{t_0}(t_0)=s(0)$), per $t_0<0$ un anticipo;
• cambio di scala con $a\ne0$ reale: $x(t)=s(at)$; per $|a|>1$ il segnale è compresso nel tempo, per $0<|a|<1$ espanso, per $a<0$ si ha in più un ribaltamento: $s(at)=s_-(|a|t)$.

Esempio. Per $s(t)=\operatorname{tri}(t)$ (triangolo di vertice $1$ in $t=0$, che si annulla in $\pm1$) il segnale $x(t)=s(2t)$ ha $x(3)=s(6)=0$ e vertice sempre in $0$, ma è largo la metà: si annulla in $\pm\frac12$.

Combinazioni: l'ordine conta. Per tracciare $s(at-b)$ si riscrive $s\big(a(t-\tfrac ba)\big)$: prima si fa il cambio di scala $a$, poi si trasla di $b/a$ (non di $b$). Una verifica rapida si fa cercando gli istanti dove l'argomento vale $0$ o gli estremi dell'estensione.

Esempio. $s(2t-3)=s\big(2(t-\frac32)\big)$ con $s=\operatorname{tri}$: il triangolo compresso di un fattore $2$ (si annulla in $\pm\frac12$) traslato di $\frac32$ a destra. Ha vertice $1$ in $t=\frac32$ e si annulla in $t=1$ e $t=2$; in $t=1{,}25$ vale $\operatorname{tri}(-0{,}5)=0{,}5$.

Se un segnale dipende da più operazioni, il grafico risultante si controlla sempre con due o tre valori numerici, come sopra.

Coniugato. Accanto alle tre operazioni sull'asse del tempo c'è il coniugio, che agisce sui valori: $s^*(t)$ ha la stessa parte reale e la parte immaginaria cambiata di segno, quindi lo stesso modulo e la fase opposta ($\varphi_{s^*}=-\varphi_s$ a meno di $2\pi$). Un segnale reale coincide con il proprio coniugato. Le operazioni si combinano: $s^*(-t)$ è il coniugato ribaltato, ed è quello che entra nella definizione di segnale hermitiano (vedi più sotto).

Esempio. Per $s(t)=\frac1{1+it}=\frac{1-it}{1+t^2}$ il coniugato è $s^*(t)=\frac1{1-it}$ e il coniugato ribaltato è $s^*(-t)=\frac1{1+it}=s(t)$. In $t=2$: $s(2)=0{,}2-0{,}4i$, $s^*(2)=0{,}2+0{,}4i$, $s^*(-2)=0{,}2-0{,}4i=s(2)$.

Simmetrie

Le simmetrie semplificano molti calcoli (per esempio un segnale pari ha trasformata reale, come si vedrà). Sono tre coppie, ciascuna è un'invarianza rispetto a una operazione:

Il segnale identicamente nullo le ha tutte. Un segnale pari è simmetrico rispetto all'asse delle ordinate, uno dispari rispetto all'origine, e perciò un segnale dispari vale $0$ nell'origine (se è continuo lì: $s(0)=-s(0)$).

Teorema (scomposizione). Ogni segnale si scrive in modo unico come somma di una componente di tipo (a) e una di tipo (b), per ciascuna coppia: $$s=s_p+s_d,\quad s_p=\tfrac12[s(t)+s(-t)],\ s_d=\tfrac12[s(t)-s(-t)];$$ $$s=\Re s+i\Im s;\qquad s=s_h+s_a,\quad s_h=\tfrac12[s(t)+s^*(-t)],\ s_a=\tfrac12[s(t)-s^*(-t)].$$

Esempio. $s(t)=e^{-t}\mathbf 1(t)$ ha parte pari $\frac12e^{-|t|}$ e parte dispari $\frac12\operatorname{sgn}(t)e^{-|t|}$: in $t=1$ valgono entrambe $\frac12e^{-1}=0{,}1839$ e la somma è $e^{-1}=s(1)$.

Un segnale hermitiano ha parte reale pari, parte immaginaria dispari, modulo pari e fase dispari; uno antihermitiano ha parte reale dispari e parte immaginaria pari. Per un segnale reale "hermitiano" significa "pari". L'esempio tipico è la trasformata di Fourier di un segnale reale, che è sempre hermitiana (Trasformata di FourierLa trasformata di Fourier $S(f)=\int s(t)e^{-i2\pi ft}dt$ associa a un segnale continuo (anche aperiodico) la sua rappresentazione in frequenza; l'antitrasformata $s(t)=\int S(f)e^{i2\pi ft}df$ lo ricostruisce, perché gli esponenziali $e^{i2\pi ft}$ sono ortogonali su tutto $\mathbb R$ ($\int e^{i2\pi ft}dt=\delta(f)$). Per un segnale reale $S(-f)=S^*(f)$. Si calcola per i segnali notevoli (rect $\leftrightarrow$ sinc, $e^{-\alpha t}\mathbf 1(t)\leftrightarrow\frac1{\alpha+i2\pi f}$, gaussiana, $\delta\leftrightarrow1$, $1\leftrightarrow\delta$, gradino) e per i segnali periodici, la cui trasformata è un treno di impulsi di area $S_n$ in $nF$.Trasformata di Fourier →).

Esempio. $s(t)=\frac1{1+it}$ è hermitiano: $s(-t)=\frac1{1-it}=s^*(t)$ (per $t=\frac12$: $s(-\frac12)=0{,}8+0{,}4i=s^*(\frac12)$). Invece $e^{i\pi t^2}$ è pari ma non hermitiano: la sua parte hermitiana è $\cos(\pi t^2)$ e quella antihermitiana $i\sin(\pi t^2)$.

Relazioni tra le simmetrie. Se un segnale ha due simmetrie, ne ha una terza. In particolare: reale e pari $\Rightarrow$ hermitiano; immaginario puro e antihermitiano $\Rightarrow$ pari; hermitiano e dispari $\Rightarrow$ immaginario puro. (Per la prima: $s^*(-t)=s(-t)=s(t)$.)

Estensione e durata

Un segnale che si annulla fuori da un intervallo $[t_s,T_s]$ è a durata limitata. L'intervallo $e[s]=[t_s,T_s]$ è un'estensione del segnale e la sua lunghezza $D_s=T_s-t_s$ è la durata. Ogni intervallo più grande è ancora un'estensione; per rendere unica la definizione si prende il più piccolo. Altrimenti il segnale ha estensione inferiormente limitata $[t_s,+\infty)$, superiormente limitata $(-\infty,T_s]$ oppure illimitata ($\mathbb R$).

Regola (estensione di prodotto e somma). Se $e[s]$ ed $e[r]$ sono estensioni, il prodotto $s\,r$ ha come estensione l'intersezione $e[s]\cap e[r]$ e la somma $s+r$ ha come estensione l'unione $e[s]\cup e[r]$.

Esempio. $\operatorname{rect}(t/4)$ ha estensione $[-2,2]$ e $\operatorname{rect}\big(\frac{t-1}2\big)$ ha estensione $[0,2]$: il prodotto ha estensione $[0,2]$, la loro somma $[-2,2]$.

Per il prodotto l'estensione può essere in realtà più piccola dell'intersezione (può persino ridursi a un punto o essere vuota, anche se le estensioni minime hanno intersezione non vuota), mai più grande.

Definizione (segnale causale). Un segnale è causale se $s(t)=0$ per $t<0$, cioè se la sua estensione sta nel semiasse positivo. Equivale a $s(t)=s(t)\,\mathbf 1(t)$.

Esempio. $e^{-t}\mathbf 1(t)$ è causale; $e^{-|t|}$ no. Dato un segnale $s$, la sua parte causale è $s(t)\mathbf 1(t)$: per la retta $s(t)=\beta t$ è la rampa $\beta\,t\,\mathbf 1(t)$.

Il nome viene dai sistemi: un segnale causale è quello che un sistema fisico può generare applicando un ingresso a partire dall'istante $0$ (si veda Trasformazioni e sistemi - proprietàUna trasformazione manda un segnale d'ingresso su I in un segnale d'uscita su U, y = φ[x]. Si classifica per invertibilità, memoria, causalità, stabilità BIBO, linearità, tempo-invarianza e realtà. Una trasformazione lineare ha un nucleo h(t,u) = risposta all'impulso applicato in u; la finestra y = w·x è lineare ma NON tempo-invariante. Le tf LTI (filtri) sono il caso con h(t,u) = g(t-u).Trasformazioni e sistemi - proprietà →).

Esercizi collegati

• Esercizio - modulo e fase di segnali complessi
• Esercizio - simmetrie di segnali pari, dispari e hermitiani
• Esercizio - estensione e segnali causali
• Esercizio - laboratorio 1, Python al posto di MATLAB

Vedi anche la materia gemella: Trasformazioni elementari e simmetrie dei segnaliRibaltamento $x(-t)$, traslazione $x(t-t_0)$ e scala $x(t/a)$ permettono di costruire ogni segnale a partire da pochi modelli ($\operatorname{rect}$, $\Lambda$, $u$). L'ordine di scala e traslazione conta. Un segnale si scompone in parte pari e dispari, reale e immaginaria, hermitiana e antihermitiana; la ripetizione periodica $\operatorname{rep}_{T}x$ costruisce segnali periodici.Trasformazioni elementari e simmetrie dei segnali → (notazione con $j$ e $\omega$).