Esercizio - inversa di un filtro e verifica di g convoluta con g_i uguale a delta

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Testo (dispense del corso, Cap. 9; esercizio 9.6A).

• Es. 9.6A. Con riferimento all'Esempio 9.6D (filtro discreto con risposta impulsiva $g(nT)=\alpha^n\,\mathbf 1_0(nT)$, $\lvert\alpha\rvert<1$) e all'Esempio 9.6G (il suo filtro inverso), verificare nel dominio del tempo che $g*g_i=\delta$.
• Aggiunta. Fare la verifica analoga per il filtro RC continuo dell'Esempio 9.6F, e trovare la risposta impulsiva dell'inverso.

Teoria usata: Risposta in frequenza e filtriLa risposta in frequenza G(f) = F[g] di un filtro LTI dà Y = G·X. Gli esponenziali complessi sono autofunzioni (autovalore G(f)), quindi un ingresso sinusoidale esce sinusoidale con ampiezza moltiplicata per |G(f0)| e fase aumentata di arg G(f0). Il filtro è reale se G è hermitiana, invertibile se G non si annulla. I filtri ideali sono rect in frequenza; non distorsione secondo Heaviside: |G| costante e fase lineare.Risposta in frequenza e filtri → (un filtro LTI è invertibile se e solo se $G(f)\ne 0$ per ogni $f$, e l'inverso ha $G_i=1/G$), Sistemi lineari tempo-invarianti e risposta impulsivaUna tf lineare e tempo-invariante (LTI, filtro) ha nucleo h(t,u) = g(t-u): l'uscita è la convoluzione y = gx con la risposta impulsiva g (uscita all'impulso ideale nell'origine). Causale se e solo se g è causale; stabile BIBO se e solo se g è assolutamente integrabile (sommabile); reale se e solo se g è reale. Cascata: g = g2g1; parallelo: g1+g2; retroazione: Ge = G/(1+HG) in frequenza.Sistemi lineari tempo-invarianti e risposta impulsiva →, ConvoluzioneLa convoluzione $xy(t)=\int x(u),y(t-u),du$ combina due segnali ribaltando e traslando il secondo, moltiplicando e integrando. È commutativa, associativa, lineare; l'area del risultato è il prodotto delle aree; l'estensione è la somma delle estensioni (estremo con estremo); l'impulso $\delta$ è l'elemento neutro; la convoluzione con il gradino integra. Per due segnali periodici di uguale periodo si usa la convoluzione ciclica (integrale su un periodo). È l'operazione del filtraggio: l'uscita di un filtro è la convoluzione dell'ingresso con la risposta impulsiva.Convoluzione →, Trasformata di Fourier a tempo discretoLa trasformata di Fourier di un segnale discreto è $S(f)=\sum_nT,s(nT),e^{-i2\pi fnT}$: una funzione continua e periodica in $f$ di periodo $F_p=1/T$. L'antitrasformata è l'integrale su un periodo, $s(nT)=\int_0^{F_p}S(f)e^{i2\pi fnT}df$. Le regole sono quelle del caso continuo (traslazione, convoluzione $\leftrightarrow$ prodotto, Parseval $\sum T|s|^2=\int_0^{F_p}|S|^2$), con incremento e somma corrente al posto di derivata e integrale. Per segnali reali $S(f)=S^(-f)$, quindi basta $[0,F_p/2]$. Esempi: $\delta\to1$, $1\to\delta_{F_p}$, rect $\to$ sinc periodico, $a^n\mathbf 1_0\to\frac T{1-ae^{-i2\pi fT}}$.Trasformata di Fourier a tempo discreto →, Trasformata di FourierLa trasformata di Fourier $S(f)=\int s(t)e^{-i2\pi ft}dt$ associa a un segnale continuo (anche aperiodico) la sua rappresentazione in frequenza; l'antitrasformata $s(t)=\int S(f)e^{i2\pi ft}df$ lo ricostruisce, perché gli esponenziali $e^{i2\pi ft}$ sono ortogonali su tutto $\mathbb R$ ($\int e^{i2\pi ft}dt=\delta(f)$). Per un segnale reale $S(-f)=S^*(f)$. Si calcola per i segnali notevoli (rect $\leftrightarrow$ sinc, $e^{-\alpha t}\mathbf 1(t)\leftrightarrow\frac1{\alpha+i2\pi f}$, gaussiana, $\delta\leftrightarrow1$, $1\leftrightarrow\delta$, gradino) e per i segnali periodici, la cui trasformata è un treno di impulsi di area $S_n$ in $nF$.Trasformata di Fourier →.

Convenzioni: sul dominio $\mathbb Z(T)$ l'impulso ideale vale $\delta(0)=\frac1T$ e $\delta(nT)=0$ per $n\ne0$ (area $T\cdot\frac1T=1$); la convoluzione è $(g*h)(nT)=\sum_k T\,g(kT)\,h(nT-kT)$; la trasformata è $G(f)=\sum_n T\,g(nT)\,e^{-i2\pi fnT}$, periodica di periodo $F_p=\frac1T$. L'identità per la convoluzione è proprio $\delta$ (l'elemento neutro: $\delta*x=x$).

(1) Il filtro discreto, il suo inverso e la risposta impulsiva dell'inverso

Risposta in frequenza. Con $g(nT)=\alpha^n\mathbf 1_0(nT)$ la serie ha solo i termini $n\ge0$ ed è una serie geometrica di ragione $\alpha e^{-i2\pi fT}$, che ha modulo $\lvert\alpha\rvert<1$ (vedi Serie notevoli - geometrica, telescopica, armonicaLe serie di cui si conosce il carattere e da usare come termine di paragone: geometrica (converge a 1/(1-q) se |q|<1), telescopiche (somma b_1 - lim b_n, come Mengoli), armonica generalizzata (1/n^alpha converge se e solo se alpha>1).Serie notevoli - geometrica, telescopica, armonica →): $$G(f)=\sum_{n=0}^{\infty}T\,\alpha^n e^{-i2\pi fnT}=\frac{T}{1-\alpha e^{-i2\pi fT}} .$$

Invertibilità. Un filtro LTI è invertibile se e solo se $G(f)\ne0$ per ogni $f$. Qui $\lvert G(f)\rvert=\dfrac{T}{\lvert1-\alpha e^{-i2\pi fT}\rvert}\ge\dfrac{T}{1+\lvert\alpha\rvert}>0$ perché $\lvert1-\alpha e^{-i\theta}\rvert\le1+\lvert\alpha\rvert$: il numeratore è costante e il denominatore è limitato, quindi $G$ non si annulla mai. L'inverso ha dunque $$G_i(f)=\frac1{G(f)}=\frac1T\left(1-\alpha e^{-i2\pi fT}\right).$$

Risposta impulsiva dell'inverso. La trasformata dell'impulso ideale $\delta$ su $\mathbb Z(T)$ è $T\cdot\delta(0)=1$, e il ritardo di $T$ moltiplica per $e^{-i2\pi fT}$. Perciò $1\leftrightarrow\delta(nT)$ e $e^{-i2\pi fT}\leftrightarrow\delta(nT-T)$, e $$g_i(nT)=\frac1T\Big[\delta(nT)-\alpha\,\delta(nT-T)\Big],\qquad\text{cioè}\quad g_i(0)=\frac1{T^2},\quad g_i(T)=-\frac{\alpha}{T^2},\quad g_i(nT)=0\ \text{altrove}.$$ (Il valore del segnale in $0$ è il coefficiente $\frac1T$ moltiplicato per $\delta(0)=\frac1T$; analogamente in $T$.) È un filtro FIR a due coefficienti, causale, con memoria $T$. Esempio numerico, $T=0{,}5$ e $\alpha=0{,}6$: $g_i(0)=4$, $g_i(T)=-2{,}4$.

(2) Verifica nel dominio del tempo che $g*g_i=\delta$

Si calcola $(g*g_i)(nT)=\sum_{k}T\,g(kT)\,g_i(nT-kT)$. Poiché $g_i$ è diverso da zero solo per i due indici $nT-kT=0$ e $nT-kT=T$, cioè $k=n$ e $k=n-1$, la somma ha al più due termini:

• termine $k=n$: $T\,g(nT)\,g_i(0)=T\cdot\alpha^n\mathbf 1_0(nT)\cdot\dfrac1{T^2}=\dfrac1T\,\alpha^n\mathbf 1_0(nT)$;
• termine $k=n-1$: $T\,g((n-1)T)\,g_i(T)=T\cdot\alpha^{n-1}\mathbf 1_0((n-1)T)\cdot\Big(-\dfrac{\alpha}{T^2}\Big)=-\dfrac1T\,\alpha^{n}\mathbf 1_0((n-1)T)$.

Sommando: $$(g*g_i)(nT)=\frac{\alpha^n}{T}\Big[\mathbf 1_0(nT)-\mathbf 1_0((n-1)T)\Big].$$ La differenza dei due gradini discreti vale $1$ solo per $n=0$ (dove $\mathbf 1_0(0)=1$ e $\mathbf 1_0(-T)=0$) e vale $0$ per ogni altro $n$ (per $n\ge1$ entrambi valgono $1$, per $n<0$ entrambi valgono $0$). Quindi $$\boxed{(g*g_i)(nT)=\begin{cases}\dfrac1T&n=0\\[1mm]0&n\ne0\end{cases}\;=\;\delta(nT)}$$ che è proprio l'impulso ideale su $\mathbb Z(T)$: la cascata del filtro e del suo inverso è il sistema identità. Dato che la convoluzione è commutativa, anche $g_i*g=\delta$.

Controllo numerico ($T=0{,}5$, $\alpha=0{,}6$): la convoluzione calcolata numericamente su $n=-5,\dots,29$ dà $0,0,0,0,0,\dots$ per $n\ne0$ e $2$ per $n=0$; infatti $\frac1T=2$. In frequenza, $G(f)\,G_i(f)=1$ a tutte le frequenze provate (errore $\sim10^{-16}$); la serie troncata a $200$ termini riproduce $G(f)$ con errore $2\cdot10^{-16}$.

Che cosa fa l'inverso, in pratica. Il filtro diretto equivale all'equazione alle differenze $y(nT)=\alpha\,y(nT-T)+T\,x(nT)$ (dalla somma $y(nT)=T\sum_k\alpha^kx(nT-kT)$ isolando il termine $k=0$ e riconoscendo in quello che resta $\alpha\,y(nT-T)$). L'inverso, con $x(nT)=\sum_k T\,g_i(kT)\,y(nT-kT)$, è $$x(nT)=\frac1T\Big[y(nT)-\alpha\,y(nT-T)\Big],$$ che è la stessa equazione risolta rispetto a $x$. Prova numerica: con $40$ campioni casuali di $x$, passati nel filtro e poi nell'inverso, si ritrova $x$ con errore massimo $9\cdot10^{-16}$. Per $\alpha=1$ si ritrova l'integratore discreto e la sua inversa $x(nT)=\frac1T[y(nT)-y(nT-T)]$ (Esempio 9.2B delle dispense).

(3) Il filtro RC continuo e il suo inverso (Esempio 9.6F)

Per non confondere la costante di tempo con il passo $T$ si indica con $\tau$ la costante di tempo del filtro RC (la $T$ dell'Esempio 9.6F delle dispense). Il filtro RC è il circuito del primo ordine studiato in Circuiti del primo ordine (RC e RL)Una rete con un solo condensatore o un solo induttore è del primo ordine: la variabile di stato x(t) soddisfa dx/dt + x/T = b(t). Con generatori costanti la soluzione è x(t) = x∞ + [x(0) - x∞] e^(-t/T): valore finale (regime stazionario per t > 0) più un transitorio esponenziale. La costante di tempo è T = R C per il condensatore e T = L / R per l'induttore, dove R è la resistenza di Thévenin vista dal componente dinamico. Dopo 4-5 costanti di tempo il transitorio è esaurito. Carica RC: vC = E(1 - e^(-t/RC)); scarica: vC = V0 e^(-t/RC); duali per RL.Circuiti del primo ordine (RC e RL) →. La risposta impulsiva e la risposta in frequenza sono $$g(t)=\frac1\tau\,e^{-t/\tau}\,\mathbf 1(t),\qquad G(f)=\frac1{1+i2\pi f\tau}.$$ Infatti $\int_0^\infty\frac1\tau e^{-t/\tau}e^{-i2\pi ft}dt=\frac1\tau\cdot\frac1{\frac1\tau+i2\pi f}$. $G(f)$ non si annulla mai (modulo $\frac1{\sqrt{1+(2\pi f\tau)^2}}>0$), quindi il filtro è invertibile con $$G_i(f)=1+i2\pi f\tau .$$ La moltiplicazione per $i2\pi f$ in frequenza corrisponde alla derivata nel tempo (regola della derivazione, Proprietà della trasformata di FourierLe regole della trasformata di Fourier trasformano operazioni sui segnali in operazioni sulle trasformate: linearità, ribaltamento, coniugio, traslazione nel tempo ($\times e^{-i2\pi ft_0}$) e in frequenza, convoluzione $\leftrightarrow$ prodotto, cambio di scala $s(at)\to\frac1{|a|}S(f/a)$, derivazione ($\times i2\pi f$), integrazione, regola di simmetria ($S(t)\to s(-f)$). Area $S(0)=\int s$, teorema di Parseval $\int|s|^2=\int|S|^2$. Durata e banda sono inversamente legati e un segnale non può avere durata e banda entrambe limitate; la banda del prodotto è la somma delle bande. Con queste regole si ricavano quasi tutte le trasformate senza integrare.Proprietà della trasformata di Fourier →), quindi $$\boxed{\,g_i(t)=\delta(t)+\tau\,\delta'(t)\,},\qquad\text{cioè}\qquad x(t)=y(t)+\tau\,\frac{dy(t)}{dt}.$$

Verifica nel dominio del tempo. La convoluzione con $\delta$ lascia il segnale invariato e la convoluzione con $\delta'$ lo deriva (nel senso delle distribuzioni: $g*\delta'=g'$). Allora $$g*g_i=g+\tau\,g' .$$ La derivata di $g$ va calcolata con attenzione perché $g$ ha un salto in $t=0$: da $g(0^-)=0$ a $g(0^+)=\frac1\tau$, ampiezza del salto $\frac1\tau$. La derivata distribuzionale ha quindi la parte regolare $-\frac1{\tau^2}e^{-t/\tau}\mathbf 1(t)$ più un impulso di area uguale al salto: $$g'(t)=-\frac1{\tau^2}e^{-t/\tau}\mathbf 1(t)+\frac1\tau\,\delta(t)=-\frac1\tau\,g(t)+\frac1\tau\,\delta(t).$$ Moltiplicando per $\tau$: $\tau g'=-g+\delta$. Sostituendo, $$g*g_i=g+\tau g'=g-g+\delta=\delta\ \checkmark$$

Verifica sull'uscita. Se all'ingresso del filtro RC si dà il gradino $\mathbf 1(t)$ l'uscita è $y(t)=(1-e^{-t/\tau})\mathbf 1(t)$, continua in $t=0$; allora $y'(t)=\frac1\tau e^{-t/\tau}\mathbf 1(t)$ e $y+\tau y'=(1-e^{-t/\tau})+e^{-t/\tau}=1$ per $t>0$ (e $0$ per $t<0$): si recupera il gradino. Controllo numerico con $\tau=0{,}4$ e ingresso $x(t)=\sin2t+0{,}5\cos5t$: simulato il filtro, derivata numerica, $y+\tau y'$ coincide con $x$ a meno di $9\cdot10^{-9}$ a regime. Valori del gradino per $\tau=0{,}4$: $r(0{,}2)=0{,}3935$, $r(0{,}4)=0{,}6321$, $r(1)=0{,}9179$, $r(2)=0{,}9933$.

Differenza fondamentale fra i due inversi. L'inverso discreto $g_i$ è una funzione limitata con due soli valori: è causale, FIR e stabile ($\sum T\lvert g_i\rvert=\frac1T(1+\lvert\alpha\rvert)<\infty$). L'inverso continuo contiene $\delta'$, cioè è un derivatore: $\lvert G_i(f)\rvert=\sqrt{1+(2\pi f\tau)^2}$ cresce senza limite con la frequenza, quindi amplifica il rumore ad alta frequenza e non è stabile (la sua risposta impulsiva non è una funzione sommabile). L'inversione è possibile in teoria, ma realizzarla richiede di derivare il segnale.

Errori tipici

• Scrivere $g_i(0)=\frac1T$ invece di $\frac1{T^2}$: i valori di $g_i$ vanno dedotti da $\delta(0)=\frac1T$ e dalla convoluzione con peso $T$; il controllo giusto è che $g*g_i$ dia $\frac1T$ in $n=0$.
• Derivare $g(t)=\frac1\tau e^{-t/\tau}\mathbf 1(t)$ senza il termine $\frac1\tau\delta(t)$ dovuto al salto in $0$: senza di esso $g+\tau g'=0$ e non $\delta$.
• Dimenticare la condizione $\lvert\alpha\rvert<1$: serve a far convergere la serie che dà $G(f)$ (per $\lvert\alpha\rvert\ge1$ il filtro non è stabile e la serie non converge).

Vedi anche: Esercizio - integratore a finestra mobile e integratore discreto, risposta, causalità e stabilità (stesso filtro $\alpha^n$) e Esercizio - connessioni in cascata e in parallelo di trasformazioni LTI (la cascata di un filtro e del suo inverso è l'identità).