Esercizio - convoluzione di impulsi rettangolari discreti

Testo (dispense del corso Teoria dei Segnali, UniPD, Esempio 5.4A). Calcolare la convoluzione dei due segnali discreti

$$x(nT)=A_0\operatorname{rect}\left(\frac{nT}{9T}\right),\qquad y(nT)=B_0\operatorname{rect}\left(\frac{nT}{7T}\right).$$

Come secondo caso si calcola la convoluzione di due rettangoli non centrati nell'origine, $x(nT)=A_0\operatorname{rect}\left(\frac{nT-3T}{5T}\right)$ e $y(nT)=B_0\operatorname{rect}\left(\frac{nT+T/2}{4T}\right)$.

Teoria usata: Segnali a tempo discretoUn segnale a tempo discreto è una funzione complessa $s(nT)$ definita sui multipli interi del quanto temporale $T$ (insieme $\mathbb Z(T)$, velocità $F_p=1/T$). Le definizioni sono quelle dei segnali continui con la somma al posto dell'integrale e il quanto $T$ al posto di $dt$: area $\sum T,s(nT)$, energia $\sum T|s(nT)|^2$, convoluzione $\sum T,x(kT)y(nT-kT)$. L'impulso ideale discreto vale $1/T$ nell'origine. Esponenziali e sinusoidi discreti sono periodici solo se $f_0/F_p$ è razionale e hanno frequenza ambigua a meno di multipli di $F_p$. I segnali periodici con periodo $NT$ sono descritti da $N$ valori e si trattano al calcolatore.Segnali a tempo discreto → (convoluzione discreta, estensione, durata, impulso rettangolare discreto), ConvoluzioneLa convoluzione $x*y(t)=\int x(u),y(t-u),du$ combina due segnali ribaltando e traslando il secondo, moltiplicando e integrando. È commutativa, associativa, lineare; l'area del risultato è il prodotto delle aree; l'estensione è la somma delle estensioni (estremo con estremo); l'impulso $\delta$ è l'elemento neutro; la convoluzione con il gradino integra. Per due segnali periodici di uguale periodo si usa la convoluzione ciclica (integrale su un periodo). È l'operazione del filtraggio: l'uscita di un filtro è la convoluzione dell'ingresso con la risposta impulsiva.Convoluzione → (stessa idea del caso continuo), SommatorieIl simbolo di sommatoria, le sue proprietà (linearità, additività, cambio di indice) e le somme notevoli di Gauss e geometrica.Sommatorie →.

La convoluzione discreta e il quanto $T$

La convoluzione di due segnali su $\mathbb Z(T)$ è

$$s(nT)=x*y(nT)=\sum_{k=-\infty}^{+\infty}T\,x(kT)\,y(nT-kT).$$

È la solita convoluzione (ribalto $y$, lo trasla di $nT$, moltiplico per $x$, sommo), ma la somma è pesata con $T$ come ogni "integrale" del caso discreto. In pratica: si conta/si somma $x(kT)\,y(nT-kT)$ su tutti i $k$ e si moltiplica il risultato per $T$. L'impulso ideale $\delta(nT)$ (che vale $\frac1T$ in $n=0$) è l'elemento neutro: $\delta*x=x$, perché $\sum_kT\,\delta(kT)x(nT-kT)=T\cdot\frac1T\,x(nT)$.

Estensione e durata. Se $e(x)=\{n_xT,\dots,N_xT\}$ ed $e(y)=\{n_yT,\dots,N_yT\}$, allora $e(s)=\{(n_x+n_y)T,\dots,(N_x+N_y)T\}$: agli estremi si sommano gli indici. La durata è $D=T\cdot(\text{numero di campioni})$, e quindi

$$D(s)=D(x)+D(y)-T .$$

Il "$-T$" c'è perché $N_x-n_x+1$ campioni di $x$ e $N_y-n_y+1$ di $y$ danno $(N_x+N_y)-(n_x+n_y)+1=(N_x-n_x+1)+(N_y-n_y+1)-1$ campioni.

Esempio 5.4A: due rettangoli centrati

1. Le estensioni. $\operatorname{rect}\left(\frac{nT}{9T}\right)=\operatorname{rect}\left(\frac n9\right)$ vale $1$ se $\frac{|n|}9<\frac12$, cioè $|n|<4{,}5$, cioè $n=-4,\dots,4$: nove campioni, $D(x)=9T$. Allo stesso modo $|n|<3{,}5$ per $y$: $n=-3,\dots,3$, sette campioni, $D(y)=7T$. Quindi

$$e(s)=\{-7T,\dots,7T\},\qquad D(s)=9T+7T-T=15T .$$

2. Simmetria. $x$ e $y$ sono pari, quindi anche $s$ è pari ($s(nT)=s(-nT)$): basta calcolare $n=0,\dots,7$.

3. Il termine da sommare. Il prodotto $x(kT)\,y(nT-kT)$ vale $A_0B_0$ se entrambe le condizioni sono vere, altrimenti $0$:

$$|k|\le4\quad\text{(campione di }x),\qquad |n-k|\le3\quad\text{(campione di }y\text{ traslato)}.$$

Cioè $\max(-4,\,n-3)\le k\le\min(4,\,n+3)$. Il numero di valori di $k$ in questo intervallo dà $s(nT)=T\,A_0B_0\cdot(\text{numero di }k)$.

• $n=0,1$: $n-3\ge-4$ e $n+3\le4$: $k=n-3,\dots,n+3$, cioè $7$ valori (la finestra di $y$, larga $7$, sta tutta dentro quella di $x$, larga $9$). Quindi $s(0)=s(T)=7\,T\,A_0B_0$.
• $n=2,\dots,7$: il limite superiore diventa $4$ (finisce $x$): $k=n-3,\dots,4$, cioè $4-(n-3)+1=8-n$ valori. Quindi $s(nT)=(8-n)\,T\,A_0B_0$: $6,5,4,3,2,1$ per $n=2,\dots,7$.
• $n\ge8$: nessun $k$ valido, $s=0$.

Per simmetria, in $n=-1$ si ha $7$, in $n=-2$ si ha $6$, ecc. Mettendo tutto insieme, in unità di $T\,A_0B_0$:

È un trapezio isoscele di $15$ campioni. Le sue parti:

• salita (e discesa) di un campione per volta, di $6$ passi;
• plateau di $9-7+1=3$ campioni ($n=-1,0,1$), alto $7\,TA_0B_0=D(y)\,A_0B_0$: la posizione in cui il rettangolo più corto sta interamente dentro il più lungo.

(Nota: i "sette" campioni sono l'altezza del plateau in unità $TA_0B_0$, cioè quanti $k$ si sovrappongono; il plateau ha invece tre campioni.) Come nel caso continuo, convolvere due rect dà un trapezio e, con rect di durata uguale, un triangolo.

Controllo con l'area. L'area della convoluzione è il prodotto delle aree: $\operatorname{area}(s)=T\sum_ns(nT)=T\cdot TA_0B_0\cdot(1+2+\dots+6+7+7+7+6+\dots+1)$, e la somma tra parentesi vale $21+21+21=63=9\cdot7$. Quindi $\operatorname{area}(s)=63\,T^2A_0B_0=(9TA_0)(7TB_0)=\operatorname{area}(x)\operatorname{area}(y)$.

Secondo caso: rettangoli non centrati

Sia $x(nT)=A_0\operatorname{rect}\left(\frac{nT-3T}{5T}\right)$ e $y(nT)=B_0\operatorname{rect}\left(\frac{nT+T/2}{4T}\right)$.

1. Le estensioni. Per $x$: $|n-3|<2{,}5$, quindi $n=1,2,3,4,5$ (cinque campioni, $t_0=3T$, $D=5T$). Per $y$: il centro è $t_0=-\frac T2$ e la durata $D=4T$; la condizione $|n+\frac12|<2$ vale per $n=-2,-1,0,1$ (infatti $n=-2$ dà $1{,}5<2$ e $n=1$ dà $1{,}5<2$, mentre $n=2$ dà $2{,}5$, no): quattro campioni. Con la (5.16a): $n_1=-2$, $n_2=1$ danno $t_0=\frac{-2+1}{2}T=-\frac T2$ e $D=(1+2+1)T=4T$. Un rect con numero pari di campioni ha il centro a metà tra due campioni, ed è proprio per questo che $t_0$ è mezzo-intero in unità $T$.

2. L'estensione del risultato. Si sommano gli estremi: da $1+(-2)=-1$ a $5+1=6$, cioè $e(s)=\{-T,\dots,6T\}$, $D(s)=8T=5T+4T-T$. Il centro di $s$ è la somma dei centri, $3T+\left(-\frac T2\right)=\frac52T$: la figura sarà simmetrica rispetto a $n=2{,}5$ (cioè $s(nT)=s((5-n)T)$).

3. Il conteggio. Servono i $k\in\{1,\dots,5\}$ con $n-k\in\{-2,\dots,1\}$, cioè $k\in\{n-1,\dots,n+2\}$. L'intersezione è $[\max(1,n-1),\ \min(5,n+2)]$:

Dunque $s(nT)=T\,A_0B_0\cdot(1,2,3,4,4,3,2,1)$: trapezio con plateau di $5-4+1=2$ campioni ($n=2,3$, simmetrici rispetto a $2{,}5$) alto $4\,TA_0B_0=D(y)A_0B_0$. Per esempio con $T=0{,}5$, $A_0=2$, $B_0=3$ il fattore $TA_0B_0$ vale $3$ e i valori sono $3,6,9,12,12,9,6,3$.

Regola generale. Se i rettangoli hanno $N_x\ge N_y$ campioni, la convoluzione è un trapezio con $N_x+N_y-1$ campioni: sale di $1$ per campione per $N_y-1$ passi, resta al valore $N_y$ per $N_x-N_y+1$ campioni (plateau) e poi scende. Se $N_x=N_y$ il plateau si riduce a un solo campione (triangolo). Le posizioni non cambiano la forma: si sposta solo il centro.

Controllo

np.convolve(x, y) calcola $\sum_kx[k]\,y[n-k]$ sui due vettori di campioni senza il fattore $T$ e restituisce un vettore di lunghezza $L_x+L_y-1$ il cui primo elemento corrisponde all'indice $n_x+n_y$ (somma dei primi indici). Quindi la convoluzione del corso è T * np.convolve(x, y), e l'asse degli indici va costruito a mano.

import numpy as np

def rect_discreto(n, t0_n, D_n):
    """rect((nT - t0)/D) con t0 = t0_n*T e D = D_n*T: 1 per |x|<1/2, 1/2 per |x|=1/2"""
    x = (n - t0_n) / D_n
    return np.where(np.abs(x) < 0.5, 1.0, np.where(np.abs(x) == 0.5, 0.5, 0.0))

T, A0, B0 = 0.5, 2.0, 3.0

# --- Esempio 5.4A: x = A0 rect(nT/9T), y = B0 rect(nT/7T)
n = np.arange(-12, 13)                     # indici da -12 a 12
x = A0 * rect_discreto(n, 0, 9)
y = B0 * rect_discreto(n, 0, 7)
s = T * np.convolve(x, y)                  # np.convolve non conosce T: si moltiplica a mano
ns = np.arange(2 * n[0], 2 * n[-1] + 1)    # asse degli indici del risultato: -24..24
print("estensione di s: n da", ns[s != 0].min(), "a", ns[s != 0].max(), " durata", np.count_nonzero(s), "T")
print("conteggi (s / (T A0 B0)):", np.round(s[s != 0] / (T * A0 * B0)).astype(int))
print("area:", np.sum(T * s), " area(x) area(y) =", np.sum(T * x) * np.sum(T * y))

# --- secondo caso: x = A0 rect((nT - 3T)/5T), y = B0 rect((nT + T/2)/4T)
x2 = A0 * rect_discreto(n, 3, 5)
y2 = B0 * rect_discreto(n, -0.5, 4)
s2 = T * np.convolve(x2, y2)
print("e(x2):", n[x2 != 0], " e(y2):", n[y2 != 0])
print("e(s2): n da", ns[s2 != 0].min(), "a", ns[s2 != 0].max())
print("conteggi:", np.round(s2[s2 != 0] / (T * A0 * B0)).astype(int))

# --- l'impulso ideale e' l'elemento neutro: delta = 1/T in n = 0
delta = np.where(n == 0, 1 / T, 0.0)
neutro = T * np.convolve(x, delta)[len(n) // 2 : len(n) // 2 + len(n)]
print("x * delta == x :", np.allclose(neutro, x))

Risultati eseguendolo: $e(s)$ da $-7$ a $7$ (durata $15T$), conteggi $1,2,3,4,5,6,7,7,7,6,5,4,3,2,1$; area $94{,}5$ in entrambi i modi (con $T=0{,}5$, $A_0=2$, $B_0=3$: $\operatorname{area}(x)=9TA_0=9$, $\operatorname{area}(y)=7TB_0=10{,}5$, prodotto $94{,}5$); secondo caso: $e(x)=\{1..5\}$, $e(y)=\{-2..1\}$, $e(s)=\{-1..6\}$, conteggi $1,2,3,4,4,3,2,1$; l'impulso ideale lascia invariato $x$ (la verifica stampa True).

Errori comuni

• Dimenticare il fattore $T$: np.convolve da solo dà la convoluzione "con $T=1$".
• Scrivere $D(s)=D(x)+D(y)$ (sarebbe il caso continuo) invece di $D(x)+D(y)-T$: i campioni sono $15$, non $16$.
• Confondere l'altezza del plateau (numero di campioni sovrapposti, $7$) con la sua larghezza ($9-7+1=3$ campioni).
• Con rettangoli non centrati, sommare male i centri: il centro del risultato è la somma dei centri, e un numero pari di campioni ha il centro a metà tra due campioni.