Esercizio - processi gaussiani con correlazione modulata e filtro passa-basso (prova scritta del 17 settembre 2025)

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Testo (prova scritta del corso Teoria dei Segnali, UniPD, 17 settembre 2025, problema 2). I processi gaussiani $x(t)$ e $y(t)$, $t\in\mathbb R$, hanno entrambi media nulla e correlazione rispettivamente $$r_x(t,s)=e^{-f_0|t-s|}\left|\cos2\pi f_0t\right|,\qquad r_y(t,s)=e^{-f_0|t-s|}\left|\cos2\pi f_0(t-s)\right|,\qquad t,s\in\mathbb R.$$

1. Calcolare $P[x(T)>x(2T)]$ e $P[x(T)>1]$, con $T=\frac1{8f_0}$.
2. Immaginando che ciascuno dei due processi sia l'ingresso di un filtro passa-basso ideale con risposta in frequenza $G(f)=G_0\operatorname{rect}(f/f_0)$, determinare se le corrispondenti uscite sono processi stazionari in senso stretto.
3. Scrivere una procedura Matlab che permetta di calcolare numericamente e visualizzare il grafico della densità spettrale di potenza di $y(t)$.

Teoria usata: Processi aleatori - definizioni, media e autocorrelazioneUn processo aleatorio x(t), t in I (R o Z(T)), è una famiglia di variabili aleatorie sullo stesso spazio di probabilità; fissato l'esito si ottiene una realizzazione (un segnale). Si descrive con le densità di ordine N (complete), in particolare del primo e del secondo ordine, oppure solo con media m_x(t) e correlazione r_x(t,s) = E[x(t)x*(s)] (descrizione di potenza). Un processo gaussiano è determinato da media e correlazione.Processi aleatori - definizioni, media e autocorrelazione →, Processi stazionari e densità spettrale di potenzaUn processo è stazionario in media, in potenza, nel primo ordine o in correlazione se la rispettiva grandezza non cambia traslando il tempo; stazionario in senso lato (sl) = media costante e r_x(t,s) = r_x(t-s); in senso stretto (ss) = tutte le densità invarianti. La densità spettrale di potenza R_x(f) = F[r_x(τ)] è non negativa e ha integrale = potenza statistica. Rumore bianco: R costante. Ciclostazionario: statistiche periodiche. Ergodico in media: la media temporale di una realizzazione converge a m_x.Processi stazionari e densità spettrale di potenza →, Processi aleatori attraverso sistemi LTIUna trasformazione applicata a ogni realizzazione dà un nuovo processo, ma dalla descrizione statistica di x non sempre si ricava quella di y (controesempi); si può se ogni vettore di y dipende da un vettore finito di x. Per una tf lineare m_y e r_y si calcolano col nucleo; un filtro LTI conserva la stazionarietà in senso lato: m_y = G(0) m_x, R_y = |G|² R_x. Il campionamento di un processo sl dà un processo sl con PSD ripetuta periodicamente. L'interpolazione LTI di un processo discreto sl è ciclostazionaria. Teorema del campionamento per processi: R_x nulla fuori da (-B,B) e Fc ≥ 2B danno ricostruzione esatta in media quadratica; altrimenti la potenza dell'errore è in banda + fuori banda.Processi aleatori attraverso sistemi LTI →, Risposta in frequenza e filtriLa risposta in frequenza G(f) = F[g] di un filtro LTI dà Y = G·X. Gli esponenziali complessi sono autofunzioni (autovalore G(f)), quindi un ingresso sinusoidale esce sinusoidale con ampiezza moltiplicata per |G(f0)| e fase aumentata di arg G(f0). Il filtro è reale se G è hermitiana, invertibile se G non si annulla. I filtri ideali sono rect in frequenza; non distorsione secondo Heaviside: |G| costante e fase lineare.Risposta in frequenza e filtri →, Serie di FourierUn segnale periodico di periodo $T_p$ si scrive come somma di esponenziali alle frequenze multiple della fondamentale $F=1/T_p$: $s(t)=\sum_nS_ne^{i2\pi nFt}$, con $S_n=\frac1{T_p}\int_{T_p}s(t)e^{-i2\pi nFt}dt$. Si basa sull'ortogonalità degli esponenziali su un periodo. $S_0$ è il valor medio; per segnali reali $S_{-n}=S_n^$ e si passa alla forma con coseni e seni; vale il teorema di Parseval $P=\sum|S_n|^2$. La convoluzione ciclica diventa il prodotto $T_pX_nY_n$ dei coefficienti. Le somme troncate presentano il fenomeno di Gibbs vicino ai salti.Serie di Fourier →, Trasformata di FourierLa trasformata di Fourier $S(f)=\int s(t)e^{-i2\pi ft}dt$ associa a un segnale continuo (anche aperiodico) la sua rappresentazione in frequenza; l'antitrasformata $s(t)=\int S(f)e^{i2\pi ft}df$ lo ricostruisce, perché gli esponenziali $e^{i2\pi ft}$ sono ortogonali su tutto $\mathbb R$ ($\int e^{i2\pi ft}dt=\delta(f)$). Per un segnale reale $S(-f)=S^(f)$. Si calcola per i segnali notevoli (rect $\leftrightarrow$ sinc, $e^{-\alpha t}\mathbf 1(t)\leftrightarrow\frac1{\alpha+i2\pi f}$, gaussiana, $\delta\leftrightarrow1$, $1\leftrightarrow\delta$, gradino) e per i segnali periodici, la cui trasformata è un treno di impulsi di area $S_n$ in $nF$.Trasformata di Fourier →, Trasformata di Fourier discreta (DFT) e FFTUn segnale discreto periodico di periodo $NT$ ha una trasformata discreta e periodica, la DFT: $S(kF)=\sum_{n=0}^{N-1}T,s(nT)e^{-i2\pi kn/N}$, con $F=1/(NT)$, e $s(nT)=\sum_{k=0}^{N-1}F,S(kF)e^{i2\pi kn/N}$. Dipende da soli $N$ numeri, si calcola senza approssimazioni e con la FFT costa $N\log_2N$ invece di $N^2$. I coefficienti di Fourier del segnale periodico sono $S_k=F,S(kF)$. La DFT dà anche campioni della trasformata di un segnale discreto o continuo a durata limitata (con zero-padding), ma la scalatura $T$ e l'asse delle frequenze vanno gestiti con cura.Trasformata di Fourier discreta (DFT) e FFT →, Vettori gaussianiX = (X₁, ..., Xₙ) è un vettore gaussiano N(m, Σ) se ogni combinazione lineare a·X è gaussiana (equivalentemente X = m + AZ con Z gaussiane standard indipendenti); se Σ è invertibile ha densità exp(−½(x−m)ᵀΣ⁻¹(x−m)) / √((2π)ⁿ det Σ). Proprietà chiave: AX + b ~ N(Am + b, AΣAᵀ), le marginali sono gaussiane e componenti non correlate sono indipendenti.Vettori gaussiani →, Distribuzione gaussiana (normale)N(μ, σ²) ha densità e^(−(x−μ)²/(2σ²)) / √(2πσ²), a campana centrata in μ con larghezza σ; media μ, varianza σ²; si standardizza con Z = (X − μ)/σ ~ N(0, 1) e si calcola P(X ≤ x) = Φ((x − μ)/σ), con Φ(−z) = 1 − Φ(z); aX + b è ancora gaussiana, N(aμ + b, a²σ²).Distribuzione gaussiana (normale) →.

Nota sul testo (due osservazioni di correttezza, che non cambiano le risposte richieste).

• $r_x(t,s)$ così scritta non è simmetrica: una correlazione reale deve soddisfare $r(t,s)=r(s,t)$, mentre qui, per esempio, $r_x\left(\frac1{8f_0},\frac1{4f_0}\right)=e^{-1/8}\cos\frac\pi4$ e $r_x\left(\frac1{4f_0},\frac1{8f_0}\right)=0$. Nei punti (1) e (2) si usano solo i valori sulla diagonale $r_x(t,t)=|\cos2\pi f_0t|$ (non ambigui) oppure la sola parte simmetrica di $r_x$ (l'unica che conta in ogni momento di secondo ordine dell'uscita di un filtro reale).
• $r_y(\tau)=e^{-f_0|\tau|}|\cos2\pi f_0\tau|$ è simmetrica, ma la sua densità spettrale, calcolata al punto (3), assume valori negativi attorno a $\pm4f_0$: quindi non è una funzione definita non-negativa e un processo con quella correlazione non esiste. Le risposte al punto (2) restano valide perché il filtro lascia passare solo $|f|<\frac{f_0}2$, dove la densità è positiva.

(1) Le due probabilità

Con $T=\frac1{8f_0}$ gli angoli sono $2\pi f_0T=\frac\pi4$ e $2\pi f_0\cdot2T=\frac\pi2$. Le varianze di $x(T)$ e $x(2T)$ sono le potenze statistiche $r_x(t,t)=|\cos2\pi f_0t|$ (la media è nulla):

• $\sigma_{x(T)}^2=r_x(T,T)=\left|\cos\frac\pi4\right|=\frac{\sqrt2}2\approx0{,}7071$;
• $\sigma_{x(2T)}^2=r_x(2T,2T)=\left|\cos\frac\pi2\right|=0$: $x(2T)=0$ con probabilità $1$ (gaussiana degenere, tutta la massa in $0$).

$P[x(T)>x(2T)]$. Poiché $x(2T)=0$ quasi certamente, $P[x(T)>x(2T)]=P[x(T)>0]$. La variabile $x(T)$ è gaussiana a media nulla e varianza $\frac{\sqrt2}2>0$, simmetrica rispetto a $0$ (Distribuzione gaussiana (normale)N(μ, σ²) ha densità e^(−(x−μ)²/(2σ²)) / √(2πσ²), a campana centrata in μ con larghezza σ; media μ, varianza σ²; si standardizza con Z = (X − μ)/σ ~ N(0, 1) e si calcola P(X ≤ x) = Φ((x − μ)/σ), con Φ(−z) = 1 − Φ(z); aX + b è ancora gaussiana, N(aμ + b, a²σ²).Distribuzione gaussiana (normale) →): $$\boxed{P[x(T)>x(2T)]=\frac12.}$$ (Anche senza notare che $x(2T)=0$: la differenza di due gaussiane congiunte a media nulla, se non degenere, è una gaussiana a media nulla e vale $\frac12$ per simmetria; la sua varianza non serve.)

$P[x(T)>1]$. Si standardizza con $\sigma=\sqrt{\sqrt2/2}=2^{-1/4}\approx0{,}8409$: $$P[x(T)>1]=Q\left(\frac1\sigma\right)=Q\left(2^{1/4}\right)=Q(1{,}1892)=1-\Phi(1{,}1892)=\boxed{0{,}1172},$$ con $Q(z)=1-\Phi(z)$ (la funzione $\Phi$ è quella della gaussiana standard).

(2) Stazionarietà in senso stretto delle uscite

Passo 1: riduzione. L'uscita di un filtro lineare con ingresso gaussiano è un processo gaussiano (Vettori gaussianiX = (X₁, ..., Xₙ) è un vettore gaussiano N(m, Σ) se ogni combinazione lineare a·X è gaussiana (equivalentemente X = m + AZ con Z gaussiane standard indipendenti); se Σ è invertibile ha densità exp(−½(x−m)ᵀΣ⁻¹(x−m)) / √((2π)ⁿ det Σ). Proprietà chiave: AX + b ~ N(Am + b, AΣAᵀ), le marginali sono gaussiane e componenti non correlate sono indipendenti.Vettori gaussiani →). Un processo gaussiano è completamente determinato da media e correlazione (Processi aleatori - definizioni, media e autocorrelazioneUn processo aleatorio x(t), t in I (R o Z(T)), è una famiglia di variabili aleatorie sullo stesso spazio di probabilità; fissato l'esito si ottiene una realizzazione (un segnale). Si descrive con le densità di ordine N (complete), in particolare del primo e del secondo ordine, oppure solo con media m_x(t) e correlazione r_x(t,s) = E[x(t)x*(s)] (descrizione di potenza). Un processo gaussiano è determinato da media e correlazione.Processi aleatori - definizioni, media e autocorrelazione →): se queste sono invarianti per traslazioni, lo sono tutte le densità di ogni ordine. Quindi per processi gaussiani stazionario in senso lato $\Leftrightarrow$ stazionario in senso stretto, e basta verificare che la media sia costante (qui è nulla) e che la correlazione dell'uscita dipenda solo da $t-s$.

La risposta impulsiva del filtro è $g(t)=G_0f_0\operatorname{sinc}(f_0t)$, e la correlazione dell'uscita è $r_o(t,s)=\iint g(t-u)\,g(s-v)\,r(u,v)\,du\,dv$.

Passo 2: il processo $y$. $r_y$ dipende solo da $\tau=t-s$: $y$ è già stazionario (in senso lato, e quindi, essendo gaussiano, in senso stretto). Un filtro LTI conserva la stazionarietà (Processi aleatori attraverso sistemi LTIUna trasformazione applicata a ogni realizzazione dà un nuovo processo, ma dalla descrizione statistica di x non sempre si ricava quella di y (controesempi); si può se ogni vettore di y dipende da un vettore finito di x. Per una tf lineare m_y e r_y si calcolano col nucleo; un filtro LTI conserva la stazionarietà in senso lato: m_y = G(0) m_x, R_y = |G|² R_x. Il campionamento di un processo sl dà un processo sl con PSD ripetuta periodicamente. L'interpolazione LTI di un processo discreto sl è ciclostazionaria. Teorema del campionamento per processi: R_x nulla fuori da (-B,B) e Fc ≥ 2B danno ricostruzione esatta in media quadratica; altrimenti la potenza dell'errore è in banda + fuori banda.Processi aleatori attraverso sistemi LTI →): l'uscita ha media $0$ e densità $|G(f)|^2R_y(f)$, quindi è stazionaria in senso stretto.

Passo 3: il processo $x$. Qui l'ingresso non è stazionario: la potenza statistica $M_x(t)=|\cos2\pi f_0t|$ dipende da $t$. Ma l'uscita lo è, e per il seguente motivo. Il fattore $|\cos2\pi f_0t|$ è periodico di periodo $\frac1{2f_0}$ e si sviluppa in serie di Fourier (Serie di FourierUn segnale periodico di periodo $T_p$ si scrive come somma di esponenziali alle frequenze multiple della fondamentale $F=1/T_p$: $s(t)=\sum_nS_ne^{i2\pi nFt}$, con $S_n=\frac1{T_p}\int_{T_p}s(t)e^{-i2\pi nFt}dt$. Si basa sull'ortogonalità degli esponenziali su un periodo. $S_0$ è il valor medio; per segnali reali $S_{-n}=S_n^*$ e si passa alla forma con coseni e seni; vale il teorema di Parseval $P=\sum|S_n|^2$. La convoluzione ciclica diventa il prodotto $T_pX_nY_n$ dei coefficienti. Le somme troncate presentano il fenomeno di Gibbs vicino ai salti.Serie di Fourier →) con armoniche alle frequenze $2kf_0$: $$|\cos2\pi f_0t|=\frac2\pi+\frac4\pi\sum_{k\ge1}\frac{(-1)^{k+1}}{4k^2-1}\cos\left(2\pi\cdot2kf_0\,t\right)$$ (verifica in $t=0$: $\frac2\pi+\frac4\pi\cdot\frac{\pi-2}4=1$). Quindi $$r_x(t,s)=\frac2\pi\,e^{-f_0|t-s|}+\sum_{k\ge1}c_k\,e^{-f_0|t-s|}\cos\left(2\pi a_kt\right),\qquad a_k=2kf_0,\ c_k=\frac4\pi\frac{(-1)^{k+1}}{4k^2-1}.$$ Il primo termine è stazionario; gli altri sono modulati a frequenza $a_k\ge2f_0$. Si scrive $e^{-f_0|u-v|}=\int\hat L(\varphi)e^{i2\pi\varphi(u-v)}d\varphi$ con $\hat L(\varphi)=\frac{2f_0}{f_0^2+4\pi^2\varphi^2}$ e si passa il termine $e^{-f_0|u-v|}e^{i2\pi au}$ attraverso il filtro nelle due variabili. L'integrale in $u$ dà $e^{i2\pi(\varphi+a)t}\,G(\varphi+a)$ e quello in $v$ dà $e^{-i2\pi\varphi s}\,G(-\varphi)$, quindi il contributo è $$\int\hat L(\varphi)\,G(\varphi+a)\,G(-\varphi)\,e^{i2\pi(\varphi+a)t}e^{-i2\pi\varphi s}\,d\varphi.$$ Il prodotto $G(\varphi+a)G(-\varphi)=G_0^2\operatorname{rect}\left(\frac{\varphi+a}{f_0}\right)\operatorname{rect}\left(\frac\varphi{f_0}\right)$ è non nullo solo se $|\varphi|<\frac{f_0}2$ e $|\varphi+a|<\frac{f_0}2$, il che richiede $|a|<f_0$. Ma per $k\ge1$ si ha $|a_k|\ge2f_0>f_0$: tutti i termini modulati vengono cancellati dal filtro. Resta soltanto il termine con $k=0$: $$r_{o}(t,s)=\frac2\pi\int\hat L(\varphi)\,|G(\varphi)|^2e^{i2\pi\varphi(t-s)}d\varphi=r_o(t-s),$$ che dipende solo da $t-s$ (e lo stesso vale se si usa la parte simmetrica di $r_x$). L'uscita è dunque stazionaria in senso lato e, essendo gaussiana, in senso stretto; la potenza in uscita è $$M_o=\frac2\pi\,G_0^2\int_{-f_0/2}^{f_0/2}\frac{2f_0}{f_0^2+4\pi^2\varphi^2}d\varphi=\frac{4\arctan\pi}{\pi^2}G_0^2\approx0{,}5117\,G_0^2.$$

Conclusione. Con $G(f)=G_0\operatorname{rect}(f/f_0)$ entrambe le uscite sono stazionarie in senso stretto, perché il filtro (banda $\frac{f_0}2$) è più stretto dello scostamento minimo ($2f_0$) tra le componenti del processo nonstazionario. Per $y$ la potenza in uscita è $\approx0{,}517\,G_0^2$.

Verifica numerica. Si calcola la forma quadratica $\mathbf g_t^{\top}R\,\mathbf g_t$ con $R_{uv}=r(u,v)$ e $g$ campionata, per $f_0=1$, $G_0=1$ e $t=0,0{,}1,0{,}2,0{,}25,0{,}37,0{,}5,0{,}6$ (il periodo di $|\cos|$ è $0{,}5$): la varianza dell'uscita resta costante in $t$ (variazioni dell'ordine di $10^{-6}$) sia per $x$ ($0{,}5077$) sia per $y$ ($0{,}5134$), con una griglia grossolana ($dt=0{,}05$, per la quale i valori sono un po' sotto quelli teorici $0{,}5117$ e $0{,}5172$: i punti angolosi di $|\cos|$ richiedono un passo piccolo; per $y$ con $dt=0{,}00625$ il valore sale a $0{,}5167$).

(3) Densità spettrale di potenza di $y$

Analisi. $R_y(f)=\int r_y(\tau)e^{-i2\pi f\tau}d\tau$ (Processi stazionari e densità spettrale di potenzaUn processo è stazionario in media, in potenza, nel primo ordine o in correlazione se la rispettiva grandezza non cambia traslando il tempo; stazionario in senso lato (sl) = media costante e r_x(t,s) = r_x(t-s); in senso stretto (ss) = tutte le densità invarianti. La densità spettrale di potenza R_x(f) = F[r_x(τ)] è non negativa e ha integrale = potenza statistica. Rumore bianco: R costante. Ciclostazionario: statistiche periodiche. Ergodico in media: la media temporale di una realizzazione converge a m_x.Processi stazionari e densità spettrale di potenza →). Con la serie di $|\cos|$ e la coppia $e^{-f_0|\tau|}\leftrightarrow L(f)=\frac{2f_0}{f_0^2+4\pi^2f^2}$ si ottiene in forma chiusa $$R_y(f)=\frac2\pi L(f)+\sum_{k\ge1}\frac{c_k}2\Big[L(f-2kf_0)+L(f+2kf_0)\Big],$$ una lorentziana centrata in $0$ più repliche centrate in $\pm2kf_0$ con pesi $c_k$ di segno alterno (positivi per $k$ dispari, negativi per $k$ pari).

Procedura numerica. Si campiona $r_y(\tau)$ su un asse $\tau$ simmetrico, abbastanza lungo da far decadere $e^{-f_0|\tau|}$, e si usa la FFT per approssimare l'integrale della trasformata.

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

f0 = 1.0                          # si lavora in unita' di f0 (frequenze in f/f0)
N  = 2**18                        # campioni (potenza di 2 per la FFT)
dt = 1/(256*f0)                   # passo: Fmax = 1/(2 dt) = 128 f0, risoluzione df = 1/(N dt) ~ 0.001 f0
tau = (np.arange(N) - N//2) * dt  # ritardi da -512/f0 a 512/f0 (e^{-512} ~ 0: troncamento trascurabile)
r   = np.exp(-f0*np.abs(tau)) * np.abs(np.cos(2*np.pi*f0*tau))   # r_y(tau)

R = np.fft.fftshift(np.fft.fft(np.fft.ifftshift(r))) * dt        # R_y(f) = integrale ~ somma * dt
f = np.fft.fftshift(np.fft.fftfreq(N, dt))                       # asse delle frequenze, centrato in 0
R = R.real                       # r e' reale e pari: la trasformata e' reale (la parte immaginaria e' ~0)

m = np.abs(f) <= 8*f0            # si mostra solo |f| <= 8 f0
plt.plot(f[m]/f0, R[m]*f0)
plt.xlabel("f / f0"); plt.ylabel("R_y(f) * f0"); plt.grid(); plt.show()

Passaggi e comandi Matlab corrispondenti:

• Asse dei tempi centrato in $0$. La trasformata continua usa $\tau$ da $-\infty$ a $+\infty$ e $r_y$ è centrata in $\tau=0$. La FFT invece assume che il primo campione sia l'istante $0$: si riordina il vettore con ifftshift (in Matlab ifftshift) prima della fft, altrimenti nel risultato compare un fattore di fase $e^{-i2\pi f\tau_{\min}}$ e la parte reale è sbagliata.
• Fattore $dt$. La FFT calcola la somma $\sum_n r(\tau_n)e^{-i2\pi fn\,dt}$, ma l'integrale vale $dt$ volte questa somma: senza $dt$ la densità sarebbe scalata e l'area (la potenza $r_y(0)=1$) non tornerebbe.
• Asse delle frequenze. fftfreq(N, dt) (Matlab: (-N/2:N/2-1)/(N*dt)) dà le frequenze in Hz, con passo $\frac1{N\,dt}$, e fftshift le ordina da $-F_{\max}$ a $+F_{\max}$.
• Scelta di $dt$. La correlazione ha dei "punti angolosi" (per il valore assoluto) e richiede un passo piccolo: con $dt=\frac1{64f_0}$ si ottiene già l'errore dell'ordine di $10^{-3}$, con $\frac1{256f_0}$ i valori coincidono con la serie a meno di $10^{-4}$.
• Controllo. L'area $\int R_y\,df\approx1{,}0000002$ coincide con $r_y(0)=1$; si può confrontare con la serie sopra troncata a qualche decina di termini.

Risultati. Valori del grafico (in unità di $\frac1{f_0}$):

• $f=0$: $1{,}278$ (picco principale);
• $f=\pm f_0$: $0{,}043$;
• $f=\pm2f_0$: $0{,}433$ (secondo picco, la prima replica);
• $f=\pm3f_0$: $0{,}012$;
• $f=\pm4f_0$: $-0{,}080$ (negativo: la seconda replica ha peso $c_2<0$);
• $f=\pm5f_0$: $0{,}001$;
• $f=\pm6f_0$: $0{,}038$.

Commento. Il fatto che $R_y<0$ in un intorno di $\pm4f_0$ (minimo $-0{,}0798/f_0$ in $f=\pm4f_0$) mostra, senza altro conto, che $r_y$ non è la correlazione di nessun processo reale (una densità spettrale di potenza deve essere $\ge0$, teorema di Bochner). Per un uso concreto la correlazione sensata sarebbe $e^{-f_0|\tau|}\cos2\pi f_0\tau$, che ha densità $\frac12[L(f-f_0)+L(f+f_0)]\ge0$.

Errori tipici

• Calcolare $P[x(T)>x(2T)]$ con la covarianza tra $x(T)$ e $x(2T)$: non serve ($x(2T)=0$ quasi certamente, e comunque $\frac12$ per simmetria), e la formula di $r_x(t,s)$ non è simmetrica.
• Concludere che l'uscita di $x$ è non stazionaria perché lo è l'ingresso: un filtro con banda minore della frequenza di modulazione elimina la parte non stazionaria.
• Dimenticare il fattore $dt$ e il riordino ifftshift nel calcolo numerico della trasformata.

Vedi anche: Esercizio - processo gaussiano campionato, interpolato ed elevato al quadrato (prova scritta del 6 febbraio 2026), Esercizio - sinc modulato, estensione spettrale e campionamento a massima efficienza (prova scritta del 3 settembre 2025).