Esercizio - ripetizione periodica e frequenza minima di campionamento

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Testo (dispense del corso, Esercizi 13.5A, 13.5B e 13.5C).

• 13.5A. È data la trasformata $S(f)=A_0\exp\left(-\lvert f\rvert T_0\right)$, $f\in\mathbb R$. Calcolarne la ripetizione periodica $S_c(f)$ di periodo $F_c$. Si tenga presente che è sufficiente valutare $S_c(f)$ in un periodo, quale $[0,F_c)$.
• 13.5B. Trovare la minima frequenza di campionamento (che consenta una corretta ricostruzione) del segnale $s(t)=A_0\operatorname{sinc}^2(F_0t)$, $t\in\mathbb R$, con $F_0=2\ \mathrm{MHz}$.
• 13.5C. Trovare la condizione di non aliasing (13.31b) per il segnale $s(t)=A_0\operatorname{sinc}(F_0t)\cos(2\pi f_0t)$, con $F_0=2\ \mathrm{kHz}$ e $f_0=1\ \mathrm{MHz}$.

Teoria usata: Campionamento e ricostruzioneIl campionamento $s_c(nT)=s(nT)$ trasforma un segnale continuo in uno discreto e, in frequenza, ripete lo spettro con periodo $F_c=1/T$: $S_c(f)=\sum_kS(f-kF_c)$. Se le repliche si sovrappongono si ha aliasing e il segnale non è recuperabile. Un interpolatore $\mathbb Z(T)\to\mathbb R$ con risposta impulsiva $g$ produce $\tilde s(t)=\sum_nT g(t-nT)s(nT)$ e $\tilde S=G,S_c$. Teorema del campionamento: se $s$ ha banda $B$ e $F_c\ge2B$, l'interpolatore ideale $G=\operatorname{rect}(f/F_c)$ ricostruisce esattamente $s(t)=\sum s(nT)\operatorname{sinc}(F_c(t-nT))$. Se le ipotesi non valgono c'è un errore, in banda e fuori banda, riducibile con un prefiltro anti-aliasing.Campionamento e ricostruzione →, Interpolazione LTI e teorema del campionamentoIl campionatore R→Z(T) ripete lo spettro con periodo Fc = 1/T (Sc(f) = Σ S(f - kFc), senza fattore 1/T). Il filtro interpolatore Z(T)→R ha y(t) = Σ x(nT) g0(t-nT) con g0 = T g e in frequenza Y = G·X. Se S è nulla fuori da (-B,B) e Fc ≥ 2B, con g0(t) = sinc(Fc t) si ricostruisce esattamente s(t) dai campioni. Altrimenti c'è un errore (in banda per l'aliasing, fuori banda per la parte tagliata), ridotto da un prefiltro anti-aliasing.Interpolazione LTI e teorema del campionamento →, Trasformata di FourierLa trasformata di Fourier $S(f)=\int s(t)e^{-i2\pi ft}dt$ associa a un segnale continuo (anche aperiodico) la sua rappresentazione in frequenza; l'antitrasformata $s(t)=\int S(f)e^{i2\pi ft}df$ lo ricostruisce, perché gli esponenziali $e^{i2\pi ft}$ sono ortogonali su tutto $\mathbb R$ ($\int e^{i2\pi ft}dt=\delta(f)$). Per un segnale reale $S(-f)=S^*(f)$. Si calcola per i segnali notevoli (rect $\leftrightarrow$ sinc, $e^{-\alpha t}\mathbf 1(t)\leftrightarrow\frac1{\alpha+i2\pi f}$, gaussiana, $\delta\leftrightarrow1$, $1\leftrightarrow\delta$, gradino) e per i segnali periodici, la cui trasformata è un treno di impulsi di area $S_n$ in $nF$.Trasformata di Fourier →, Proprietà della trasformata di FourierLe regole della trasformata di Fourier trasformano operazioni sui segnali in operazioni sulle trasformate: linearità, ribaltamento, coniugio, traslazione nel tempo ($\times e^{-i2\pi ft_0}$) e in frequenza, convoluzione $\leftrightarrow$ prodotto, cambio di scala $s(at)\to\frac1{|a|}S(f/a)$, derivazione ($\times i2\pi f$), integrazione, regola di simmetria ($S(t)\to s(-f)$). Area $S(0)=\int s$, teorema di Parseval $\int|s|^2=\int|S|^2$. Durata e banda sono inversamente legati e un segnale non può avere durata e banda entrambe limitate; la banda del prodotto è la somma delle bande. Con queste regole si ricavano quasi tutte le trasformate senza integrare.Proprietà della trasformata di Fourier →, Segnali notevoli - gradino, rect, tri, sinc ed esponenzialiI segnali di uso più frequente sono la costante, la sinusoide $A_0\cos(2\pi f_0t+\varphi_0)$ e l'esponenziale complesso $Ae^{i2\pi f_0t}$ (periodici, a potenza finita), il gradino $\mathbf 1(t)$ e il segno, e gli impulsi a energia finita: $\operatorname{rect}$ (area $D$), $\operatorname{tri}$, $\operatorname{sinc}$ (area $1$), la gaussiana $e^{-\pi t^2}$ e gli esponenziali smorzati. Per ciascuno si sanno a memoria forma, area ed energia; gli altri segnali si ottengono da questi con traslazioni, scalature, somme e differenze.Segnali notevoli - gradino, rect, tri, sinc ed esponenziali →, Serie notevoli - geometrica, telescopica, armonicaLe serie di cui si conosce il carattere e da usare come termine di paragone: geometrica (converge a 1/(1-q) se |q|<1), telescopiche (somma b_1 - lim b_n, come Mengoli), armonica generalizzata (1/n^alpha converge se e solo se alpha>1).Serie notevoli - geometrica, telescopica, armonica →.

Richiami delle dispense. Il campionamento $\mathbb R\to\mathbb Z(T)$ con $F_c=1/T$ produce in frequenza la ripetizione periodica senza il fattore $1/T$: $S_c(f)=\sum_kS(f-kF_c)$. Se il segnale è a banda limitata, $S(f)=0$ per $\lvert f\rvert>B$, e vale la condizione di non aliasing (13.31b) $$F_c\ge2B,$$ allora le repliche non si sovrappongono e $s(t)$ si ricostruisce con l'interpolatore ideale $Q(f)=\operatorname{rect}(f/F_c)$, cioè $g_0(t)=\operatorname{sinc}(F_ct)$: $s(t)=\sum_ns(nT)\operatorname{sinc}\left[F_c(t-nT)\right]$.

(1) Ripetizione periodica di $A_0e^{-\lvert f\rvert T_0}$ (Es. 13.5A)

Il segnale non è a banda limitata (l'esponenziale non si annulla mai): le repliche si sovrappongono sempre, qualunque sia $F_c$. Per $f\in[0,F_c)$: $$S_c(f)=\sum_{k=-\infty}^{+\infty}A_0\,e^{-\lvert f-kF_c\rvert T_0}.$$ Il valore assoluto si risolve distinguendo il segno di $f-kF_c$:

• per $k\le0$ si ha $f-kF_c=f+\lvert k\rvert F_c\ge0$, quindi $\lvert f-kF_c\rvert=f+mF_c$ con $m=\lvert k\rvert=0,1,2,\dots$;
• per $k\ge1$ si ha $kF_c\ge F_c>f$, quindi $f-kF_c<0$ e $\lvert f-kF_c\rvert=kF_c-f$.

Le due serie sono geometriche di ragione $e^{-F_cT_0}<1$ (Serie notevoli - geometrica, telescopica, armonicaLe serie di cui si conosce il carattere e da usare come termine di paragone: geometrica (converge a 1/(1-q) se |q|<1), telescopiche (somma b_1 - lim b_n, come Mengoli), armonica generalizzata (1/n^alpha converge se e solo se alpha>1).Serie notevoli - geometrica, telescopica, armonica →): $$\sum_{m=0}^\infty e^{-(f+mF_c)T_0}=\frac{e^{-fT_0}}{1-e^{-F_cT_0}},\qquad\sum_{k=1}^\infty e^{-(kF_c-f)T_0}=e^{fT_0}\,\frac{e^{-F_cT_0}}{1-e^{-F_cT_0}}=\frac{e^{-(F_c-f)T_0}}{1-e^{-F_cT_0}}.$$ Sommando: $$\boxed{S_c(f)=A_0\,\frac{e^{-fT_0}+e^{-(F_c-f)T_0}}{1-e^{-F_cT_0}},\qquad0\le f<F_c.}$$ Mettendo in evidenza $e^{-F_cT_0/2}$ nei due termini (numeratore $=2e^{-F_cT_0/2}\cosh\left[(F_c/2-f)T_0\right]$, denominatore $=2e^{-F_cT_0/2}\sinh(F_cT_0/2)$) la forma si semplifica in $$S_c(f)=A_0\,\frac{\cosh\left[T_0\left(\frac{F_c}2-f\right)\right]}{\sinh\left(\frac{F_cT_0}2\right)}.$$ Osservazioni:

• è simmetrica intorno a $F_c/2$ (come deve, perché $S$ è pari e $S_c$ ha periodo $F_c$) e ha il minimo in $f=F_c/2$, il massimo in $f=0$ e $f=F_c$ dove vale $A_0\coth\left(F_cT_0/2\right)>A_0=S(0)$: il campionamento aumenta lo spettro per effetto dell'aliasing;
• per $F_c\to\infty$ in $(-F_c/2,F_c/2)$ si ritrova $S_c(f)\to A_0e^{-\lvert f\rvert T_0}$: più si campiona velocemente più l'aliasing diminuisce.

Verifica numerica con $A_0=2$, $T_0=1\ \mathrm{ms}$ (f in kHz), $F_c=2\ \mathrm{kHz}$ ($T=0{,}5\ \mathrm{ms}$): la somma di $401$ repliche (da $k=-200$ a $200$) coincide con la formula (a $10^{-15}$) in $f=0;\,0{,}5;\,1;\,1{,}5;\,1{,}9;\,2{,}4$:

Controllo indipendente: il segnale ha $s(t)=\int A_0e^{-\lvert f\rvert T_0}e^{i2\pi ft}df=\dfrac{2A_0T_0}{1+(2\pi T_0t)^2}$ (trasformata inversa dell'esponenziale bilatero). La trasformata di Fourier discreta dei suoi campioni $\sum_nT\,s(nT)\cos(2\pi fnT)$, con $4\cdot10^6$ termini, dà in $f=0;\,0{,}3;\,0{,}7;\,1$ i valori $2{,}626070;\ 2{,}136092;\ 1{,}778995;\ 1{,}701836$, uguali a $S_c(f)$ (differenza massima $2\cdot10^{-7}$, dovuta alla coda della somma troncata).

(2) Minima frequenza di campionamento di $A_0\operatorname{sinc}^2(F_0t)$ (Es. 13.5B)

Spettro. Dalla coppia $\operatorname{sinc}^2(t/D)\leftrightarrow D\operatorname{tri}(Df)$ con $D=1/F_0$: $$S(f)=\frac{A_0}{F_0}\operatorname{tri}\!\left(\frac f{F_0}\right),\qquad\operatorname{tri}(x)=\max(0,1-\lvert x\rvert).$$ È un triangolo di base $2F_0$ che si annulla per $\lvert f\rvert\ge F_0$: segnale a banda limitata con $$B=F_0=2\ \mathrm{MHz}.$$

Condizione. Per il teorema del campionamento servono $F_c\ge2B=2F_0$, quindi $$\boxed{F_{c,\min}=2B=4\ \mathrm{MHz},\qquad T_{\max}=\frac1{F_{c,\min}}=0{,}25\ \mu\mathrm s.}$$ (Con $F_c=2B$ esattamente le repliche si toccano nei punti $\pm F_c/2=\pm B$ dove il triangolo vale $0$, quindi non c'è sovrapposizione effettiva: la condizione con "$\ge$" è corretta per questo segnale.) Con $F_c=4\ \mathrm{MHz}$ l'interpolatore ideale è $g_0(t)=\operatorname{sinc}(F_ct)$ e la formula di ricostruzione è $$s(t)=A_0\sum_n\operatorname{sinc}^2\!\left(\frac n2\right)\operatorname{sinc}\!\left[F_c\left(t-\frac n{F_c}\right)\right],\qquad F_0T=\frac12,$$ con campioni $\operatorname{sinc}^2(n/2)$ uguali a $1$ per $n=0$, $0$ per $n$ pari non nullo, $4/(\pi^2n^2)$ per $n$ dispari.

Verifica numerica (unità: $t$ in $\mu\mathrm s$, frequenze in MHz, $A_0=1$): si ricostruisce $s(t)$ in $121$ punti di $[-3,3]\ \mu\mathrm s$ con $8001$ campioni, e si guarda l'errore massimo:

Esatta con $F_c\ge2B$, errore finito (aliasing) sotto.

(3) Condizione di non aliasing di $A_0\operatorname{sinc}(F_0t)\cos(2\pi f_0t)$ (Es. 13.5C)

Spettro. Da $\operatorname{sinc}(t/D)\leftrightarrow D\operatorname{rect}(Df)$ con $D=1/F_0$: $\operatorname{sinc}(F_0t)\leftrightarrow\frac1{F_0}\operatorname{rect}(f/F_0)$, rettangolo di base $F_0=2\ \mathrm{kHz}$ centrato in $0$, cioè su $(-1\ \mathrm{kHz},1\ \mathrm{kHz})$. Il coseno è una modulazione (Proprietà della trasformata di FourierLe regole della trasformata di Fourier trasformano operazioni sui segnali in operazioni sulle trasformate: linearità, ribaltamento, coniugio, traslazione nel tempo ($\times e^{-i2\pi ft_0}$) e in frequenza, convoluzione $\leftrightarrow$ prodotto, cambio di scala $s(at)\to\frac1{|a|}S(f/a)$, derivazione ($\times i2\pi f$), integrazione, regola di simmetria ($S(t)\to s(-f)$). Area $S(0)=\int s$, teorema di Parseval $\int|s|^2=\int|S|^2$. Durata e banda sono inversamente legati e un segnale non può avere durata e banda entrambe limitate; la banda del prodotto è la somma delle bande. Con queste regole si ricavano quasi tutte le trasformate senza integrare.Proprietà della trasformata di Fourier →): $x(t)\cos(2\pi f_0t)\leftrightarrow\frac12\left[X(f-f_0)+X(f+f_0)\right]$. Quindi $$S(f)=\frac{A_0}{2F_0}\left[\operatorname{rect}\!\left(\frac{f-f_0}{F_0}\right)+\operatorname{rect}\!\left(\frac{f+f_0}{F_0}\right)\right].$$ Sono due rettangoli di larghezza $F_0=2\ \mathrm{kHz}$ centrati in $\pm f_0=\pm1\ \mathrm{MHz}$, cioè sulle bande $f_0-\frac{F_0}2<\lvert f\rvert<f_0+\frac{F_0}2$, $999\ \mathrm{kHz}<\lvert f\rvert<1001\ \mathrm{kHz}$.

Banda. L'estensione spettrale è $(-B,B)$ con $$B=f_0+\frac{F_0}2=1000+1=1001\ \mathrm{kHz}=1{,}001\ \mathrm{MHz},$$ l'estremo più alto dello spettro (si usa l'estensione, non la larghezza utile dei due rettangoli).

Condizione (13.31b). $$\boxed{F_c\ge2B=2f_0+F_0=2{,}002\ \mathrm{MHz}.}$$ Si controlla numericamente (in kHz) che per $F_c=2002$ la ripetizione coincide con $S(f)$ in $(-F_c/2,F_c/2)$ (scarto massimo $0$), mentre già per $F_c=2001{,}999$, per $2000$ e per $1998$ lo scarto è $A_0/(2F_0)$, cioè una replica entra nell'intervallo $(-F_c/2,F_c/2)$ e $S_c\ne S$ lì dentro. La replica più pericolosa è quella del rettangolo negativo traslato di $F_c$, che occupa $(F_c-1001,\ F_c-999)$ kHz: tocca la banda principale $(999,1001)$ proprio quando $F_c-1001=1001$, cioè $F_c=2002$ kHz.

Il caso particolare $F_c=2f_0=2\ \mathrm{MHz}$ è il peggiore: il rettangolo negativo traslato cade esattamente sul positivo (si sommano le due bande), e infatti $\cos(2\pi f_0nT)=\cos(\pi n)=(-1)^n$ per $T=\frac1{2f_0}$.

Osservazione (oltre le dispense). Il segnale è un segnale "passa-banda": le due bande occupano in tutto $4\ \mathrm{kHz}$ ma la condizione (13.31b) applicata a $(-B,B)$ chiede più di $2\ \mathrm{MHz}$. Controllando le repliche (somma di tutte le traslate delle due bande) risultano prive di sovrapposizione anche $F_c=1{,}998;\ 1{,}5;\ 1{,}001;\ 0{,}6675\ \mathrm{MHz}$ e $4{,}004\ \mathrm{kHz}$, mentre $2{,}001;\ 1{,}0005;\ 1{,}0\ \mathrm{MHz}$ danno aliasing: è il campionamento passa-banda, che richiede però di ricostruire con un filtro passa-banda e non con l'interpolatore $Q(f)=\operatorname{rect}(f/F_c)$ del teorema. La risposta richiesta dall'esercizio resta $F_c\ge2{,}002\ \mathrm{MHz}$.

Codice Python (13.5A e 13.5B)

import numpy as np

# --- 13.5A: S(f) = A0 exp(-|f| T0), con A0 = 2, T0 = 1 ms, f in kHz, Fc = 2 kHz
A0, T0, Fc = 2.0, 1.0, 2.0
S = lambda f: A0 * np.exp(-np.abs(f) * T0)
Sc_chiusa = lambda f: A0 * np.cosh(T0 * (Fc / 2 - np.mod(f, Fc))) / np.sinh(T0 * Fc / 2)
k = np.arange(-200, 201)
f = 0.5
print(S(f - k * Fc).sum(), Sc_chiusa(f))             # somma delle repliche = formula chiusa

T = 1 / Fc                                            # campioni di s(t) = 2 A0 T0 / (1 + (2 pi T0 t)^2)
n = np.arange(-2_000_000, 2_000_001)
s = 2 * A0 * T0 / (1 + (2 * np.pi * T0 * n * T) ** 2)
print((T * s * np.cos(2 * np.pi * f * n * T)).sum())  # TF discreta dei campioni (peso T)

# --- 13.5B: s(t) = sinc^2(F0 t), F0 = 2 MHz (t in microsecondi, f in MHz): ricostruzione con g0 = sinc(Fc t)
F0 = 2.0
def errore(Fc, N=4000):
    t = np.linspace(-3, 3, 121)
    n = np.arange(-N, N + 1)
    ric = [(np.sinc(F0 * n / Fc) ** 2 * np.sinc(Fc * (x - n / Fc))).sum() for x in t]
    return np.abs(np.array(ric) - np.sinc(F0 * t) ** 2).max()
for Fc in (6, 4, 3):
    print(Fc, errore(Fc))                             # 3e-14, 7e-12 (= 2B: ok), 0.077 (aliasing)

np.sinc è la sinc normalizzata $\sin(\pi x)/(\pi x)$ (come nel corso). Il peso $T$ nella somma dei campioni dà la trasformata di Fourier discreta; in Sc_chiusa np.mod(f, Fc) riporta $f$ nel periodo $[0,F_c)$ dove vale la formula.

Errori tipici.

• Scrivere $e^{-(f-kF_c)T_0}$ senza il valore assoluto anche per $k\ge1$: darebbe esponenziali crescenti e una serie divergente. Per $k\ge1$ e $f\in[0,F_c)$ il modulo è $kF_c-f$ e il termine corretto è $e^{-(kF_c-f)T_0}$.
• Prendere la banda di $\operatorname{sinc}^2(F_0t)$ come $F_0/2$: la base del triangolo è $2F_0$, quindi $B=F_0$ e $F_{c,\min}=2F_0$.
• Calcolare la banda del segnale modulato come $F_0$ (o $F_0/2$) invece che come il massimo $\lvert f\rvert$ dello spettro, $f_0+F_0/2$: $B=1{,}001$ MHz, non $1$ kHz.

Vedi anche: Esercizio - area ed energia di un segnale campionato e, per la materia gemella, Teorema del campionamento, interpolazione e aliasingTeorema di Shannon: un segnale a banda limitata $\omega_M$ si ricostruisce esattamente dai campioni se $T_c<\pi/\omega_M$ (frequenza di campionamento maggiore di quella di Nyquist $2f_{\max}$), con la formula di interpolazione ideale $x(t)=\sum_nx(nT_c)\operatorname{sinc}\left(\frac{t-nT_c}{T_c}\right)$. Sotto Nyquist c'è aliasing: le frequenze alte si confondono con quelle basse e l'informazione è persa.Teorema del campionamento, interpolazione e aliasing →.