Esercizio - segnale discreto esponenziale, finestra triangolare e campionamento (prova scritta del 3 settembre 2025)

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Testo (prova scritta del corso Teoria dei Segnali, UniPD, 3 settembre 2025, problema 1). Il segnale a tempo discreto $$x(kT)=A\,3^{k}\,1_0(-kT)+A\,3^{-(k-1)}\,1_0(kT-T),\qquad T=1\ \text{ms},\quad A=2\ \text{V}$$ ($1_0$ è il gradino discreto, con $1_0(0)=1$) è in ingresso a una finestra con forma $w(kT)=\operatorname{triang}(k/4)$, e il segnale in uscita da questa trasformazione viene successivamente campionato con periodo $T_c=3T$.

1. Calcolare l'energia del segnale $x$.
2. Determinare l'espressione della sua autoconvoluzione $y=x*x$.
3. Detto $z$ il segnale campionato, darne una rappresentazione grafica accurata e calcolarne la trasformata $Z(f)$.

Teoria usata: Segnali a tempo discretoUn segnale a tempo discreto è una funzione complessa $s(nT)$ definita sui multipli interi del quanto temporale $T$ (insieme $\mathbb Z(T)$, velocità $F_p=1/T$). Le definizioni sono quelle dei segnali continui con la somma al posto dell'integrale e il quanto $T$ al posto di $dt$: area $\sum T,s(nT)$, energia $\sum T|s(nT)|^2$, convoluzione $\sum T,x(kT)y(nT-kT)$. L'impulso ideale discreto vale $1/T$ nell'origine. Esponenziali e sinusoidi discreti sono periodici solo se $f_0/F_p$ è razionale e hanno frequenza ambigua a meno di multipli di $F_p$. I segnali periodici con periodo $NT$ sono descritti da $N$ valori e si trattano al calcolatore.Segnali a tempo discreto →, Energia, potenza e valor medio dei segnaliSu un segnale continuo si calcolano quattro numeri riassuntivi: l'area $\int s,dt$, il valor medio (componente continua) $\lim\frac1{2T}\int_{-T}^Ts,dt$, l'energia $\int|s|^2dt$ e la potenza media $\lim\frac1{2T}\int_{-T}^T|s|^2dt$. Un segnale ad energia finita ha potenza nulla e uno a potenza finita non nulla ha energia infinita. Per un segnale periodico di periodo $T_p$ area ed energia si calcolano su un periodo; un segnale periodico è la ripetizione periodica $\sum_ku(t-kT_p)$ di un suo periodo. Valgono per traslazione l'invarianza, per scala $s(at)$ la divisione per $|a|$.Energia, potenza e valor medio dei segnali →, ConvoluzioneLa convoluzione $xy(t)=\int x(u),y(t-u),du$ combina due segnali ribaltando e traslando il secondo, moltiplicando e integrando. È commutativa, associativa, lineare; l'area del risultato è il prodotto delle aree; l'estensione è la somma delle estensioni (estremo con estremo); l'impulso $\delta$ è l'elemento neutro; la convoluzione con il gradino integra. Per due segnali periodici di uguale periodo si usa la convoluzione ciclica (integrale su un periodo). È l'operazione del filtraggio: l'uscita di un filtro è la convoluzione dell'ingresso con la risposta impulsiva.Convoluzione →, Trasformata di Fourier a tempo discretoLa trasformata di Fourier di un segnale discreto è $S(f)=\sum_nT,s(nT),e^{-i2\pi fnT}$: una funzione continua e periodica in $f$ di periodo $F_p=1/T$. L'antitrasformata è l'integrale su un periodo, $s(nT)=\int_0^{F_p}S(f)e^{i2\pi fnT}df$. Le regole sono quelle del caso continuo (traslazione, convoluzione $\leftrightarrow$ prodotto, Parseval $\sum T|s|^2=\int_0^{F_p}|S|^2$), con incremento e somma corrente al posto di derivata e integrale. Per segnali reali $S(f)=S^(-f)$, quindi basta $[0,F_p/2]$. Esempi: $\delta\to1$, $1\to\delta_{F_p}$, rect $\to$ sinc periodico, $a^n\mathbf 1_0\to\frac T{1-ae^{-i2\pi fT}}$.Trasformata di Fourier a tempo discreto →, Campionamento e ricostruzioneIl campionamento $s_c(nT)=s(nT)$ trasforma un segnale continuo in uno discreto e, in frequenza, ripete lo spettro con periodo $F_c=1/T$: $S_c(f)=\sum_kS(f-kF_c)$. Se le repliche si sovrappongono si ha aliasing e il segnale non è recuperabile. Un interpolatore $\mathbb Z(T)\to\mathbb R$ con risposta impulsiva $g$ produce $\tilde s(t)=\sum_nT g(t-nT)s(nT)$ e $\tilde S=G,S_c$. Teorema del campionamento: se $s$ ha banda $B$ e $F_c\ge2B$, l'interpolatore ideale $G=\operatorname{rect}(f/F_c)$ ricostruisce esattamente $s(t)=\sum s(nT)\operatorname{sinc}(F_c(t-nT))$. Se le ipotesi non valgono c'è un errore, in banda e fuori banda, riducibile con un prefiltro anti-aliasing.Campionamento e ricostruzione →, Trasformazioni e sistemi - proprietàUna trasformazione manda un segnale d'ingresso su I in un segnale d'uscita su U, y = φ[x]. Si classifica per invertibilità, memoria, causalità, stabilità BIBO, linearità, tempo-invarianza e realtà. Una trasformazione lineare ha un nucleo h(t,u) = risposta all'impulso applicato in u; la finestra y = w·x è lineare ma NON tempo-invariante. Le tf LTI (filtri) sono il caso con h(t,u) = g(t-u).Trasformazioni e sistemi - proprietà →, Segnali notevoli - gradino, rect, tri, sinc ed esponenzialiI segnali di uso più frequente sono la costante, la sinusoide $A_0\cos(2\pi f_0t+\varphi_0)$ e l'esponenziale complesso $Ae^{i2\pi f_0t}$ (periodici, a potenza finita), il gradino $\mathbf 1(t)$ e il segno, e gli impulsi a energia finita: $\operatorname{rect}$ (area $D$), $\operatorname{tri}$, $\operatorname{sinc}$ (area $1$), la gaussiana $e^{-\pi t^2}$ e gli esponenziali smorzati. Per ciascuno si sanno a memoria forma, area ed energia; gli altri segnali si ottengono da questi con traslazioni, scalature, somme e differenze.Segnali notevoli - gradino, rect, tri, sinc ed esponenziali →, Analisi 1: Serie notevoli - geometrica, telescopica, armonicaLe serie di cui si conosce il carattere e da usare come termine di paragone: geometrica (converge a 1/(1-q) se |q|<1), telescopiche (somma b_1 - lim b_n, come Mengoli), armonica generalizzata (1/n^alpha converge se e solo se alpha>1).Serie notevoli - geometrica, telescopica, armonica →.

Il segnale $x$

Passo 1: i due pezzi. Il gradino discreto $1_0(-kT)$ vale $1$ per $k\le0$ (compreso $k=0$) e $0$ per $k\ge1$; $1_0(kT-T)$ vale $1$ per $k\ge1$ e $0$ per $k\le0$. I due pezzi non si sovrappongono, quindi $$x(kT)=\begin{cases}A\,3^{k},&k\le0,\\[2pt]A\,3^{1-k},&k\ge1.\end{cases}$$ Valori: $x(0)=A$, $x(T)=A$ (perché $3^{1-1}=1$), $x(-T)=\frac A3$, $x(2T)=\frac A3$, $x(-2T)=\frac A9$, $x(3T)=\frac A9$, e così via.

Passo 2: la simmetria. Con $k\to1-k$ i due pezzi si scambiano: $x(kT)=x((1-k)T)$. Il segnale è pari rispetto a $k=\frac12$ (cioè a metà tra $0$ e $T$): una coppia di code esponenziali che decadono con ragione $\frac13$ ai due lati del "salto" tra i campioni $0$ e $1$, ciascuna con massimo $A=2$ V.

(1) Energia di $x$

Sul reticolo $\mathbb Z(T)$ l'energia è $E_x=\sum_kT\,|x(kT)|^2$ (Energia, potenza e valor medio dei segnaliSu un segnale continuo si calcolano quattro numeri riassuntivi: l'area $\int s,dt$, il valor medio (componente continua) $\lim\frac1{2T}\int_{-T}^Ts,dt$, l'energia $\int|s|^2dt$ e la potenza media $\lim\frac1{2T}\int_{-T}^T|s|^2dt$. Un segnale ad energia finita ha potenza nulla e uno a potenza finita non nulla ha energia infinita. Per un segnale periodico di periodo $T_p$ area ed energia si calcolano su un periodo; un segnale periodico è la ripetizione periodica $\sum_ku(t-kT_p)$ di un suo periodo. Valgono per traslazione l'invarianza, per scala $s(at)$ la divisione per $|a|$.Energia, potenza e valor medio dei segnali →). Si separano i due pezzi e si usa la somma di una serie geometrica (Serie notevoli - geometrica, telescopica, armonicaLe serie di cui si conosce il carattere e da usare come termine di paragone: geometrica (converge a 1/(1-q) se |q|<1), telescopiche (somma b_1 - lim b_n, come Mengoli), armonica generalizzata (1/n^alpha converge se e solo se alpha>1).Serie notevoli - geometrica, telescopica, armonica →): $$\sum_{k\le0}A^2\,9^{k}=A^2\sum_{j\ge0}9^{-j}=A^2\frac1{1-\frac19}=\frac98A^2,\qquad\sum_{k\ge1}A^2\,9^{1-k}=A^2\sum_{j\ge0}9^{-j}=\frac98A^2,$$ (nel primo $j=-k$, nel secondo $j=k-1$). Quindi $$\boxed{E_x=T\left(\frac98+\frac98\right)A^2=\frac94\,T\,A^2=\frac94\cdot10^{-3}\ \text{s}\cdot4\ \text{V}^2=9\cdot10^{-3}\ \text{V}^2\text{s}.}$$

(2) Autoconvoluzione $y=x*x$

Impostazione. Su $\mathbb Z(T)$ la convoluzione è una somma pesata dal passo: $y(nT)=\sum_kT\,x(kT)\,x(nT-kT)$ (ConvoluzioneLa convoluzione $x*y(t)=\int x(u),y(t-u),du$ combina due segnali ribaltando e traslando il secondo, moltiplicando e integrando. È commutativa, associativa, lineare; l'area del risultato è il prodotto delle aree; l'estensione è la somma delle estensioni (estremo con estremo); l'impulso $\delta$ è l'elemento neutro; la convoluzione con il gradino integra. Per due segnali periodici di uguale periodo si usa la convoluzione ciclica (integrale su un periodo). È l'operazione del filtraggio: l'uscita di un filtro è la convoluzione dell'ingresso con la risposta impulsiva.Convoluzione →). Si calcola la somma senza il fattore $T$, $S(n)=\sum_kx(kT)x((n-k)T)$, e poi $y(nT)=T\,S(n)$.

Passo 1: scomposizione. Sia $a(k)=A3^k$ per $k\le0$ (coda sinistra, zero altrove) e $b(k)=A3^{1-k}$ per $k\ge1$ (coda destra, zero altrove), con $x=a+b$ e $b(k)=a(1-k)$. Allora $$S=a\circ a+2\,a\circ b+b\circ b,$$ dove $\circ$ è la somma di convoluzione senza peso, e $a\circ b=b\circ a$.

Passo 2: $a\circ a$. I termini $a(k)\,a(n-k)$ sono non nulli per $k\le0$ e $n-k\le0$, cioè $n\le k\le0$ (serve $n\le0$). Ognuno vale $A^23^k3^{n-k}=A^23^n$ e i termini sono $1-n$: $$(a\circ a)(n)=A^2(1-n)\,3^{n}\quad(n\le0),\qquad0\ \text{per }n>0.$$

Passo 3: $b\circ b$. Servono $k\ge1$ e $n-k\ge1$, cioè $1\le k\le n-1$ (serve $n\ge2$). Ogni termine vale $A^23^{1-k}3^{1-n+k}=A^23^{2-n}$ e i termini sono $n-1$: $$(b\circ b)(n)=A^2(n-1)\,3^{2-n}\quad(n\ge2),\qquad0\ \text{per }n\le1.$$

Passo 4: $a\circ b$. Servono $k\le0$ e $n-k\ge1$, cioè $k\le m=\min(0,n-1)$. Ogni termine vale $A^23^k3^{1-n+k}=A^23^{1-n}9^k$, e la somma geometrica su $k\le m$ è $\sum_{k\le m}9^k=9^m\cdot\frac98$: $$(a\circ b)(n)=\frac98A^2\,3^{1-n}\,9^{m}.$$ Per $n\ge1$ è $m=0$ e vale $\frac98A^23^{1-n}$; per $n\le1$ è $m=n-1$ e, poiché $3^{1-n}9^{n-1}=3^{n-1}$, vale $\frac98A^23^{n-1}$. I due casi coincidono in $n=1$, quindi $$(a\circ b)(n)=\frac98A^2\,3^{-|n-1|}.$$

Passo 5: somma. Per $n\le0$: $S(n)=A^2(1-n)3^n+\frac94A^23^{n-1}=A^23^n\left(\frac74-n\right)$ (perché $2\cdot\frac98\cdot3^{n-1}=\frac34\cdot3^n$). Per $n=1$: $S(1)=\frac94A^2$. Per $n\ge2$: $S(n)=A^2(n-1)3^{2-n}+\frac94A^23^{1-n}=A^23^{2-n}\left(n-\frac14\right)$. Come il segnale è pari rispetto a $\frac12$, la convoluzione è pari rispetto a $n=1$ ($S(n)=S(2-n)$), e le tre espressioni si riscrivono in una sola con $m=|n-1|$: $$\boxed{y(nT)=T\,A^2\;3^{\,1-|n-1|}\left(|n-1|+\frac34\right),\qquad n\in\mathbb Z}$$ con $TA^2=4\cdot10^{-3}\ \text{V}^2\text{s}$. Valori (in unità di $10^{-3}\ \text{V}^2\text{s}$):

• $n=1$: $4\cdot\frac94=9$;
• $n=0,\ 2$: $4\cdot\frac74=7$;
• $n=-1,\ 3$: $4\cdot\frac{11}{12}\approx3{,}667$;
• $n=-2,\ 4$: $4\cdot\frac5{12}\approx1{,}667$;
• $n=-3,\ 5$: $4\cdot\frac{19}{108}\approx0{,}704$.

Controlli. (i) Per un segnale reale pari rispetto a $\frac12$, $y(T)=\sum_kT\,x(kT)\,x(T-kT)=\sum_kT\,x(kT)^2=E_x$: la formula dà $y(T)=\frac94TA^2$, uguale all'energia del punto (1). (ii) L'area della convoluzione è il quadrato dell'area: $\sum_nT\,y(nT)=\left(\sum_kT\,x(kT)\right)^2$; l'area di $x$ vale $T\cdot A\cdot2\cdot\frac32=3AT$, quindi il quadrato è $9A^2T^2$, e $\sum_nS(n)=9A^2$ (calcolato anche numericamente). (iii) Un calcolo diretto di $x*x$ con numeri coincide con la formula, con scarto $<10^{-18}$.

(3) Finestra, campionamento e trasformata

Passo 1: la finestra. La finestra moltiplica: $u(kT)=w(kT)\,x(kT)$, con $w(kT)=\operatorname{triang}\left(\frac k4\right)=1-\frac{|k|}4$ per $|k|<4$ e $0$ per $|k|\ge4$ (Trasformazioni e sistemi - proprietàUna trasformazione manda un segnale d'ingresso su I in un segnale d'uscita su U, y = φ[x]. Si classifica per invertibilità, memoria, causalità, stabilità BIBO, linearità, tempo-invarianza e realtà. Una trasformazione lineare ha un nucleo h(t,u) = risposta all'impulso applicato in u; la finestra y = w·x è lineare ma NON tempo-invariante. Le tf LTI (filtri) sono il caso con h(t,u) = g(t-u).Trasformazioni e sistemi - proprietà →). I pesi sono $1,\frac34,\frac12,\frac14$ per $|k|=0,1,2,3$, e $0$ per $|k|\ge4$. Il segnale $u$ ha quindi sette campioni non nulli, per $k=-3,\dots,3$:

• $u(0)=1\cdot A=2$ V;
• $u(T)=\frac34A=1{,}5$ V e $u(-T)=\frac34\cdot\frac A3=0{,}5$ V;
• $u(2T)=\frac12\cdot\frac A3=\frac13$ V e $u(-2T)=\frac12\cdot\frac A9=\frac19$ V;
• $u(3T)=\frac14\cdot\frac A9=\frac1{18}\approx0{,}0556$ V e $u(-3T)=\frac14\cdot\frac A{27}=\frac1{54}\approx0{,}0185$ V.

La finestra rompe la simmetria di $x$ (che è pari rispetto a $\frac12$, mentre $w$ è pari rispetto a $0$).

Passo 2: il campionamento. Campionare con $T_c=3T$ un segnale su $\mathbb Z(T)$ significa tenere un campione ogni tre (indici $k$ multipli di $3$): $z(mT_c)=u(3mT)$. Dei sette campioni di $u$ restano quelli con $k=-3,0,3$ (i multipli $k=\pm6$ cadono dove $w=0$): $$z(-T_c)=u(-3T)=\frac A{108}=\frac1{54}\ \text{V}\approx0{,}0185\ \text{V},\qquad z(0)=A=2\ \text{V},\qquad z(T_c)=u(3T)=\frac A{36}=\frac1{18}\ \text{V}\approx0{,}0556\ \text{V}.$$ (Più esplicitamente $x(\pm3T)$: $x(3T)=A3^{-2}=\frac A9$ e $x(-3T)=A3^{-3}=\frac A{27}$, moltiplicati per $w=\frac14$.) Il segnale campionato $z$, definito su $\mathbb Z(3T)$ con passo $T_c=3$ ms, ha tre campioni non nulli:

Passo 3: la trasformata. Su $\mathbb Z(T_c)$ la trasformata discreta è $Z(f)=\sum_mT_c\,z(mT_c)\,e^{-i2\pi fmT_c}$, periodica di periodo $F_c=\frac1{T_c}=333{,}3$ Hz (Trasformata di Fourier a tempo discretoLa trasformata di Fourier di un segnale discreto è $S(f)=\sum_nT,s(nT),e^{-i2\pi fnT}$: una funzione continua e periodica in $f$ di periodo $F_p=1/T$. L'antitrasformata è l'integrale su un periodo, $s(nT)=\int_0^{F_p}S(f)e^{i2\pi fnT}df$. Le regole sono quelle del caso continuo (traslazione, convoluzione $\leftrightarrow$ prodotto, Parseval $\sum T|s|^2=\int_0^{F_p}|S|^2$), con incremento e somma corrente al posto di derivata e integrale. Per segnali reali $S(f)=S^*(-f)$, quindi basta $[0,F_p/2]$. Esempi: $\delta\to1$, $1\to\delta_{F_p}$, rect $\to$ sinc periodico, $a^n\mathbf 1_0\to\frac T{1-ae^{-i2\pi fT}}$.Trasformata di Fourier a tempo discreto →). Con $\theta=2\pi fT_c=2\pi f\cdot3\ \text{ms}$: $$Z(f)=T_c\left[\frac A{108}e^{i\theta}+A+\frac A{36}e^{-i\theta}\right]=A\,T_c\left[1+\frac1{36}e^{-i\theta}+\frac1{108}e^{i\theta}\right],\qquad AT_c=6\cdot10^{-3}\ \text{V}\cdot\text{s}.$$ Separando parte reale e immaginaria ($\frac1{36}+\frac1{108}=\frac1{27}$ e $-\frac1{36}+\frac1{108}=-\frac1{54}$): $$\boxed{Z(f)=6\cdot10^{-3}\left[1+\frac{\cos\theta}{27}-i\,\frac{\sin\theta}{54}\right]\ \text{V s},\qquad\theta=2\pi f\cdot3\cdot10^{-3}\ \text{s}.}$$ Il modulo è $|Z|=6\cdot10^{-3}\sqrt{\left(1+\frac{\cos\theta}{27}\right)^2+\left(\frac{\sin\theta}{54}\right)^2}$: massimo $6{,}222\cdot10^{-3}$ per $f=0$ (e multipli di $333{,}3$ Hz) e minimo $5{,}778\cdot10^{-3}$ per $f=166{,}7$ Hz. Lo spettro è quasi piatto perché $z$ è dominato dal campione centrale $z(0)$: i due campioni laterali (pesi $\frac1{36}$ e $\frac1{108}$) producono solo una piccola ondulazione del $\pm4\%$. Verificato numericamente da $Z(f)=T_c\sum_m z\,e^{-i2\pi fmT_c}$.

Errori tipici

• Dimenticare che $1_0(0)=1$ e perdere il campione $x(0)=A$ (l'energia verrebbe $\frac54TA^2$ invece di $\frac94TA^2$).
• Dimenticare il peso $T$ nella convoluzione e nell'energia sul reticolo ($y=T\,S$, $E=T\sum x^2$).
• Campionare con $T_c=3T$ tenendo $k=0,1,2$ invece degli indici multipli di $3$ ($k=-3,0,3$), oppure dimenticare che $x$ non è pari rispetto a $0$: $z(-T_c)\ne z(T_c)$ e $Z(f)$ è complessa, non reale.

Vedi anche: Esercizio - cascata interpolatore, filtro triangolare e campionatore (prova scritta del 6 febbraio 2026), Esercizio - cascata di filtri discreti con decimazione (prova scritta del 17 settembre 2025).