Trasformata di Fourier

Dalla serie alla trasformata

La Serie di FourierUn segnale periodico di periodo $T_p$ si scrive come somma di esponenziali alle frequenze multiple della fondamentale $F=1/T_p$: $s(t)=\sum_nS_ne^{i2\pi nFt}$, con $S_n=\frac1{T_p}\int_{T_p}s(t)e^{-i2\pi nFt}dt$. Si basa sull'ortogonalità degli esponenziali su un periodo. $S_0$ è il valor medio; per segnali reali $S_{-n}=S_n^*$ e si passa alla forma con coseni e seni; vale il teorema di Parseval $P=\sum|S_n|^2$. La convoluzione ciclica diventa il prodotto $T_pX_nY_n$ dei coefficienti. Le somme troncate presentano il fenomeno di Gibbs vicino ai salti.Serie di Fourier → rappresenta un segnale periodico con una successione di coefficienti $S_n$ alle frequenze $nF$. Se il periodo $T_p$ cresce, la frequenza fondamentale $F=1/T_p$ diminuisce e le righe si infittiscono: nel limite $T_p\to\infty$ (segnale aperiodico) le frequenze coprono tutto $\mathbb R$ e la somma diventa un integrale. L'ingrediente è l'analogo continuo dell'ortogonalità degli esponenziali.

Condizione di ortogonalità. $\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty}e^{i2\pi ft}\,dt=\delta(f)$, quindi $\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty}e^{i2\pi ft}e^{-i2\pi\lambda t}\,dt=\delta(f-\lambda)$.

Gli esponenziali $\psi(f,t)=e^{i2\pi ft}$, con $f\in\mathbb R$, sono ortogonali tra loro su tutto l'asse reale (per $f\ne\lambda$ il prodotto $\delta(f-\lambda)$ è nullo). Il risultato si accetta senza dimostrarlo e lo si rende plausibile così: il segnale $e^{-|t|/n}$ tende alla costante $1$ per $n\to\infty$, mentre la sua trasformata $\frac{2n}{1+4\pi^2n^2f^2}$ ha sempre area $1$ ma diventa sempre più alta e stretta, esattamente come la successione di impulsi che definisce $\delta$ (Impulso ideale (delta di Dirac)L'impulso ideale $\delta(t)$ è il segnale "nullo fuori dall'origine e di area $1$" definito dalla proprietà rivelatrice $\int s(t)\delta(t-t_0),dt=s(t_0)$: è il limite (in senso operativo) di impulsi rettangolari sempre più stretti e alti di area $1$. Serve per scrivere derivate dei segnali con salti (la derivata del gradino è $\delta$, il salto diventa un impulso di area pari al salto), come elemento neutro della convoluzione e come risposta impulsiva dei filtri. Non ha senso parlare di energia o potenza di $\delta$.Impulso ideale (delta di Dirac) →). Quindi la trasformata della costante $1$ è l'impulso $\delta(f)$.

Definizione

Definizione (trasformata e antitrasformata). La trasformata di Fourier di un segnale continuo $s(t)$ è la funzione $$S(f)=\mathcal F[s](f)=\int_{-\infty}^{+\infty}s(t)\,e^{-i2\pi ft}\,dt,\qquad f\in\mathbb R,$$ e la antitrasformata ricostruisce il segnale: $$s(t)=\int_{-\infty}^{+\infty}S(f)\,e^{i2\pi ft}\,df,\qquad t\in\mathbb R.$$ Si scrive $s(t)\xrightarrow{\ \mathcal F\ }S(f)$.

Esempio. Per $s(t)=e^{-t}\mathbf 1(t)$ e $f=0{,}2$ Hz: $S=\int_0^\infty e^{-t}e^{-i2\pi0{,}2t}dt=\frac1{1+i2\pi\cdot0{,}2}=0{,}388-0{,}487\,i$. Il calcolo numerico dell'integrale dà lo stesso valore.

Perché l'antitrasformata inverte la trasformata. Si sostituisce la definizione di $S$ e si scambiano gli integrali: $$\int S(f)e^{i2\pi ft}df=\int s(u)\Big[\int e^{i2\pi f(t-u)}df\Big]du=\int s(u)\,\delta(t-u)\,du=s(t),$$ con la condizione di ortogonalità e la proprietà rivelatrice.

Come si interpreta. Nell'antitrasformata il segnale è una "somma" (integrale) di componenti esponenziali elementari $[S(f)\,df]\,e^{i2\pi ft}$, di ampiezza infinitesima, per tutte le frequenze $f$ (nella serie, invece, sono un'infinità numerabile alle frequenze $nF$). La funzione $S(f)$ non è l'ampiezza di una componente, ma la sua densità rispetto alla frequenza: se $s$ è una tensione (volt), $S$ ha dimensioni di volt per secondo, cioè volt per hertz. Il modulo $|S(f)|$ è lo spettro di ampiezza e $\arg S(f)$ lo spettro di fase.

A differenza di quanto accade per la serie, c'è simmetria completa tra dominio del tempo e dominio della frequenza: $S(f)$ è una funzione complessa di variabile reale, esattamente come $s(t)$; il nucleo $e^{i2\pi ft}$ è simmetrico in $f$ e $t$. Questo si sfrutta con la regola di simmetria (Proprietà della trasformata di FourierLe regole della trasformata di Fourier trasformano operazioni sui segnali in operazioni sulle trasformate: linearità, ribaltamento, coniugio, traslazione nel tempo ($\times e^{-i2\pi ft_0}$) e in frequenza, convoluzione $\leftrightarrow$ prodotto, cambio di scala $s(at)\to\frac1{|a|}S(f/a)$, derivazione ($\times i2\pi f$), integrazione, regola di simmetria ($S(t)\to s(-f)$). Area $S(0)=\int s$, teorema di Parseval $\int|s|^2=\int|S|^2$. Durata e banda sono inversamente legati e un segnale non può avere durata e banda entrambe limitate; la banda del prodotto è la somma delle bande. Con queste regole si ricavano quasi tutte le trasformate senza integrare.Proprietà della trasformata di Fourier →).

Quando esiste

• Condizioni di Dirichlet. Se $s$ è assolutamente integrabile ($\int|s|<\infty$), ha un numero finito di massimi e minimi e di discontinuità di salto in ogni intervallo finito, $S$ esiste e l'antitrasformata ricostruisce $s$ in ogni punto, all'emivalore nei salti.
• Energia finita. Se $\int|s|^2<\infty$, l'antitrasformata dà un segnale $\hat s$ che differisce da $s$ per un errore di energia nulla.
• Segnali generalizzati. Il segnale costante, i segnali periodici, l'impulso ideale e il gradino non rientrano nei casi precedenti, ma hanno trasformate in senso generalizzato (con impulsi nel dominio della frequenza). Si calcolano con la proprietà rivelatrice e con le regole.

Segnali reali

Se $s$ è reale, $S^*(-f)=\int s^*(t)e^{-i2\pi ft}dt=S(f)$, cioè $S(-f)=S^*(f)$: la trasformata è hermitiana. Posto $S=R+iX=A_Se^{i\beta_S}$: $$R(-f)=R(f),\quad X(-f)=-X(f),\quad A_S(-f)=A_S(f),\quad\beta_S(-f)=-\beta_S(f):$$ parte reale e modulo sono pari, parte immaginaria e fase sono dispari. Basta quindi conoscere $S$ per $f\ge0$, e accoppiando le componenti a $f$ e $-f$: $$s(t)=\int_0^\infty2A_S(f)\cos\big(2\pi ft+\beta_S(f)\big)\,df,$$ una somma di sinusoidi a frequenze positive. In più: se $s$ è reale e pari, $S$ è reale e pari; se è reale e dispari, $S$ è immaginaria pura e dispari (si veda Segnali a tempo continuo - definizioni e trasformazioniUn segnale a tempo continuo è una funzione complessa di variabile reale $s:\mathbb R\to\mathbb C$ (reale se $s=s^*$). Si descrive con parte reale e immaginaria oppure con modulo e fase (valore principale in $(-\pi,\pi]$). Sui segnali si fanno tre operazioni elementari: ribaltamento $s(-t)$, traslazione $s(t-t_0)$ e cambio di scala $s(at)$. Ogni segnale si scompone in una parte pari e una dispari, in una reale e una immaginaria, in una hermitiana e una antihermitiana. Estensione e durata dicono dove il segnale è diverso da zero; i segnali con estensione nel semiasse positivo sono causali.Segnali a tempo continuo - definizioni e trasformazioni → per le simmetrie).

Esempio. Per $e^{-t}\mathbf 1(t)$ (reale): $S(-0{,}2)=0{,}388+0{,}487\,i=S^*(0{,}2)$.

Trasformate fondamentali

Esponenziale causale. $s(t)=e^{-\alpha t}\mathbf 1(t)$, con $\alpha>0$: $$S(f)=\int_0^\infty e^{-(\alpha+i2\pi f)t}dt=\frac1{\alpha+i2\pi f},$$ perché per $t\to\infty$ il termine $e^{-i2\pi ft}$ resta limitato e $e^{-\alpha t}\to0$. Moltiplicando per il coniugato, $S=\frac{\alpha-i2\pi f}{\alpha^2+4\pi^2f^2}$: $R=\frac\alpha{\alpha^2+(2\pi f)^2}$ (pari), $X=\frac{-2\pi f}{\alpha^2+(2\pi f)^2}$ (dispari), $|S|=\frac1{\sqrt{\alpha^2+(2\pi f)^2}}$, $\arg S=-\arctan\frac{2\pi f}\alpha$. Per $\alpha=1$, $f=0{,}2$: $|S|=0{,}6227$ e fase $-0{,}8986$ rad ($-51{,}5^\circ$).

Esponenziale bilatero. $e^{-\alpha|t|}=e^{-\alpha t}\mathbf 1(t)+e^{\alpha t}\mathbf 1(-t)$ ha trasformata $\frac1{\alpha+i2\pi f}+\frac1{\alpha-i2\pi f}=\frac{2\alpha}{\alpha^2+(2\pi f)^2}$ (reale e pari, come il segnale). Con $\alpha=2$, $f=0{,}1$: $0{,}9102$.

Impulso rettangolare. Per $A_0\operatorname{rect}\frac tD$: $$S(f)=A_0\int_{-D/2}^{D/2}e^{-i2\pi ft}dt=A_0\frac{e^{i\pi fD}-e^{-i\pi fD}}{i2\pi f}=A_0D\,\frac{\sin\pi fD}{\pi fD}=A_0D\operatorname{sinc}(fD).$$ È reale e pari. Si annulla in $f=\pm\frac1D,\pm\frac2D,\dots$: più il rect è largo, più la sua trasformata è stretta. Con $A_0=3$, $D=2$, $f=0{,}25$: $6\operatorname{sinc}(0{,}5)=3{,}820$.

Regola di simmetria e sinc. Poiché $\operatorname{rect}\frac tD\to D\operatorname{sinc}(fD)$, applicando la regola di simmetria ($s(t)\to S(f)\Rightarrow S(t)\to s(-f)$): $$A_0\operatorname{sinc}\Big(\frac tT\Big)\xrightarrow{\ \mathcal F\ }A_0T\operatorname{rect}(fT).$$ Il sinc ha dunque spettro rettangolare (a banda limitata $B=\frac1{2T}$). Calcolare direttamente la trasformata del sinc sarebbe difficile, con la regola di simmetria è immediato.

Triangolo. $\operatorname{tri}\frac tD$ (durata $2D$) $\to D\operatorname{sinc}^2(fD)$, perché $\operatorname{rect}*\operatorname{rect}=\operatorname{tri}$ e la convoluzione diventa prodotto (ConvoluzioneLa convoluzione $x*y(t)=\int x(u),y(t-u),du$ combina due segnali ribaltando e traslando il secondo, moltiplicando e integrando. È commutativa, associativa, lineare; l'area del risultato è il prodotto delle aree; l'estensione è la somma delle estensioni (estremo con estremo); l'impulso $\delta$ è l'elemento neutro; la convoluzione con il gradino integra. Per due segnali periodici di uguale periodo si usa la convoluzione ciclica (integrale su un periodo). È l'operazione del filtraggio: l'uscita di un filtro è la convoluzione dell'ingresso con la risposta impulsiva.Convoluzione →). Con $D=1$, $f=0{,}5$: $\operatorname{sinc}^2(0{,}5)=0{,}4053$.

Gaussiana. $e^{-\pi t^2}\xrightarrow{\mathcal F}e^{-\pi f^2}$: la gaussiana è uguale alla sua trasformata (si dimostra con le regole di derivazione, Proprietà della trasformata di FourierLe regole della trasformata di Fourier trasformano operazioni sui segnali in operazioni sulle trasformate: linearità, ribaltamento, coniugio, traslazione nel tempo ($\times e^{-i2\pi ft_0}$) e in frequenza, convoluzione $\leftrightarrow$ prodotto, cambio di scala $s(at)\to\frac1{|a|}S(f/a)$, derivazione ($\times i2\pi f$), integrazione, regola di simmetria ($S(t)\to s(-f)$). Area $S(0)=\int s$, teorema di Parseval $\int|s|^2=\int|S|^2$. Durata e banda sono inversamente legati e un segnale non può avere durata e banda entrambe limitate; la banda del prodotto è la somma delle bande. Con queste regole si ricavano quasi tutte le trasformate senza integrare.Proprietà della trasformata di Fourier →). Per $f=0{,}5$: $e^{-\pi/4}=0{,}4559$. Con la regola di scala, $e^{-\pi\alpha t^2}\to\frac1{\sqrt\alpha}e^{-\pi f^2/\alpha}$.

Impulso ideale e costanti. Per la proprietà rivelatrice: $$\delta(t-t_0)\xrightarrow{\ \mathcal F\ }e^{-i2\pi ft_0},\qquad \delta(t)\to1.$$ La proprietà rivelatrice si trasferisce al dominio della frequenza: $\int X(f)\delta(f-f_0)df=X(f_0)$. Con $X(f)=e^{i2\pi ft}$ si ottiene $\int\delta(f-f_0)e^{i2\pi ft}df=e^{i2\pi f_0t}$, cioè $$e^{i2\pi f_0t}\xrightarrow{\ \mathcal F\ }\delta(f-f_0),\qquad 1\xrightarrow{\ \mathcal F\ }\delta(f)$$ (si ottengono anche dalla regola di simmetria). L'impulso nel tempo ha spettro piatto: contiene tutte le frequenze con la stessa ampiezza; la costante ha un solo impulso alla frequenza $0$. Per le sinusoidi: $$\cos2\pi f_0t\to\tfrac12\big[\delta(f-f_0)+\delta(f+f_0)\big],\qquad\sin2\pi f_0t\to\tfrac1{2i}\big[\delta(f-f_0)-\delta(f+f_0)\big].$$

Segno e gradino. $\operatorname{sgn}(t)\to\dfrac1{i\pi f}$ (il segnale non tende a zero all'infinito, quindi la trasformata è una distribuzione; si ottiene come antitrasformata con valore principale e la funzione seno integrale). Dalla scomposizione $\mathbf 1(t)=\frac12+\frac12\operatorname{sgn}(t)$: $$\mathbf 1(t)\xrightarrow{\ \mathcal F\ }\frac12\delta(f)+\frac1{i2\pi f}.$$ Per passare dal segno al gradino si aggiunge un impulso di area pari alla componente continua $\frac12$ del gradino.

Segnali periodici

Un segnale periodico non soddisfa le condizioni per la trasformata ordinaria, ma ne ha una generalizzata. Da $s(t)=\sum_nS_ne^{i2\pi nFt}$ e $e^{i2\pi nFt}\to\delta(f-nF)$:

Formula (trasformata di un segnale periodico). $$S(f)=\sum_{n=-\infty}^{+\infty}S_n\,\delta(f-nF),$$ un treno di impulsi nelle frequenze $nF$ di area pari al coefficiente di Fourier $S_n$.

Esempio. Il treno di rect ($A_0=2$, $d=\frac14$) ha $S_n=0{,}5\operatorname{sinc}\frac n4$, quindi $S(f)=\sum_n0{,}5\operatorname{sinc}\frac n4\,\delta(f-nF)$: impulsi di area $0{,}5$ in $0$, $0{,}4502$ in $\pm F$, ..., e nulla in $\pm4F$.

Si passa così da una rappresentazione discreta in frequenza ($S_n$, righe) a una continua ($S(f)$ definita per ogni $f$) che conserva l'informazione: questo serve quando un segnale periodico si studia insieme a segnali aperiodici (per esempio un filtro e un segnale periodico in ingresso).

Tabella di coppie notevoli

(Valori di controllo calcolati numericamente: $\frac1{1+t^2}$ in $f=0{,}2$ dà $0{,}8941=\pi e^{-0{,}4\pi}$; $te^{-t}$ in $f=0{,}1$ ha modulo $0{,}7170$; il coseno smorzato con $\alpha=1$, $f_0=0{,}5$, $f=0{,}3$ vale $0{,}2129+0{,}1479\,i$.) Le tabelle di riferimento del corso ("Fourier pairs on $\mathbb R$") sono la fonte delle coppie più generali; ogni riga qui sopra si può ricavare con le regole.

Quando la trasformata di un segnale è regolare (non ha impulsi) il segnale ha energia finita e vale il teorema di Parseval (Proprietà della trasformata di FourierLe regole della trasformata di Fourier trasformano operazioni sui segnali in operazioni sulle trasformate: linearità, ribaltamento, coniugio, traslazione nel tempo ($\times e^{-i2\pi ft_0}$) e in frequenza, convoluzione $\leftrightarrow$ prodotto, cambio di scala $s(at)\to\frac1{|a|}S(f/a)$, derivazione ($\times i2\pi f$), integrazione, regola di simmetria ($S(t)\to s(-f)$). Area $S(0)=\int s$, teorema di Parseval $\int|s|^2=\int|S|^2$. Durata e banda sono inversamente legati e un segnale non può avere durata e banda entrambe limitate; la banda del prodotto è la somma delle bande. Con queste regole si ricavano quasi tutte le trasformate senza integrare.Proprietà della trasformata di Fourier →): per $e^{-t}\mathbf 1(t)$, $\int|S|^2df=\int\frac{df}{1+4\pi^2f^2}=\frac12=E_s$.

Esercizi collegati

• Esercizio - dimensioni di una trasformata, modulazione e sinc quadro
• Esercizio - trasformata del gradino modulato e del triangolo
• Esercizio - laboratorio 4, segnali continui aperiodici e risoluzione

Vedi anche la materia gemella: Trasformata di Fourier - definizione, inversione ed esempiLa trasformata di Fourier $X(\omega)=\int x(t)e^{-j\omega t}dt$ estende la serie ai segnali aperiodici; si inverte con $x(t)=\frac1{2\pi}\int X(\omega)e^{j\omega t}d\omega$. Esiste per $x\in L^1$ (e per $x\in L^2$ in senso quadratico). Coppie fondamentali: $e^{-at}u\leftrightarrow\frac1{a+j\omega}$, $e^{-a|t|}\leftrightarrow\frac{2a}{a^2+\omega^2}$, $\operatorname{rect}(t)\leftrightarrow\operatorname{sinc}\frac\omega{2\pi}$, $\operatorname{sinc}(t)\leftrightarrow\operatorname{rect}\frac\omega{2\pi}$.Trasformata di Fourier - definizione, inversione ed esempi → e Trasformata di Fourier di segnali periodici e generalizzatiCon le delta di Dirac in frequenza si trasformano anche segnali non integrabili: $1\leftrightarrow2\pi\delta(\omega)$, $e^{j\omega_0t}\leftrightarrow2\pi\delta(\omega-\omega_0)$, $\cos\omega_0t\leftrightarrow\pi[\delta(\omega-\omega_0)+\delta(\omega+\omega_0)]$, $u(t)\leftrightarrow\pi\delta(\omega)+\frac1{j\omega}$. Un segnale periodico con coefficienti $a_k$ ha spettro a righe $2\pi\sum a_k\delta(\omega-k\omega_0)$: la periodizzazione nel tempo è un campionamento in frequenza.Trasformata di Fourier di segnali periodici e generalizzati →.