Esercizio - modulazione discreta e campionamento di un sinc

Testo (dispense del corso Teoria dei Segnali, UniPD, Es. 6.3E e 6.4A).

• 6.3E Provare la regola sulla modulazione discreta $$s(nT)\cos(2\pi f_0nT)\ \xrightarrow{\ \mathcal F\ }\ \tfrac12S(f-f_0)+\tfrac12S(f+f_0)$$ e quindi applicarla al segnale $s(nT)=\mathbf 1_0(nT)$ (gradino discreto, con $\mathbf 1_0(0)=1$).
• 6.4A Calcolare, applicando il Teorema 6.1, la trasformata di Fourier dell'impulso di tipo sinc discreto $s(nT)=A_0\operatorname{sinc}(nF_0T)$.

Teoria usata: Trasformata di Fourier a tempo discretoLa trasformata di Fourier di un segnale discreto è $S(f)=\sum_nT,s(nT),e^{-i2\pi fnT}$: una funzione continua e periodica in $f$ di periodo $F_p=1/T$. L'antitrasformata è l'integrale su un periodo, $s(nT)=\int_0^{F_p}S(f)e^{i2\pi fnT}df$. Le regole sono quelle del caso continuo (traslazione, convoluzione $\leftrightarrow$ prodotto, Parseval $\sum T|s|^2=\int_0^{F_p}|S|^2$), con incremento e somma corrente al posto di derivata e integrale. Per segnali reali $S(f)=S^(-f)$, quindi basta $[0,F_p/2]$. Esempi: $\delta\to1$, $1\to\delta_{F_p}$, rect $\to$ sinc periodico, $a^n\mathbf 1_0\to\frac T{1-ae^{-i2\pi fT}}$.Trasformata di Fourier a tempo discreto → (definizione, traslazione in frequenza, trasformata del segno e del gradino, Teorema 6.1), Segnali a tempo discretoUn segnale a tempo discreto è una funzione complessa $s(nT)$ definita sui multipli interi del quanto temporale $T$ (insieme $\mathbb Z(T)$, velocità $F_p=1/T$). Le definizioni sono quelle dei segnali continui con la somma al posto dell'integrale e il quanto $T$ al posto di $dt$: area $\sum T,s(nT)$, energia $\sum T|s(nT)|^2$, convoluzione $\sum T,x(kT)y(nT-kT)$. L'impulso ideale discreto vale $1/T$ nell'origine. Esponenziali e sinusoidi discreti sono periodici solo se $f_0/F_p$ è razionale e hanno frequenza ambigua a meno di multipli di $F_p$. I segnali periodici con periodo $NT$ sono descritti da $N$ valori e si trattano al calcolatore.Segnali a tempo discreto →, Numeri complessiI numeri complessi estendono i reali introducendo l'unità immaginaria $i$ ($i^2 = -1$) e possono essere rappresentati in forma algebrica, trigonometrica o polare. Tramite la formula di Eulero e le proprietà del modulo e dell'argomento, è possibile calcolare agilmente prodotti, potenze e radici ennesime.Numeri complessi → (Eulero), e per 6.4A Campionamento e ricostruzioneIl campionamento $s_c(nT)=s(nT)$ trasforma un segnale continuo in uno discreto e, in frequenza, ripete lo spettro con periodo $F_c=1/T$: $S_c(f)=\sum_kS(f-kF_c)$. Se le repliche si sovrappongono si ha aliasing e il segnale non è recuperabile. Un interpolatore $\mathbb Z(T)\to\mathbb R$ con risposta impulsiva $g$ produce $\tilde s(t)=\sum_nT g(t-nT)s(nT)$ e $\tilde S=G,S_c$. Teorema del campionamento: se $s$ ha banda $B$ e $F_c\ge2B$, l'interpolatore ideale $G=\operatorname{rect}(f/F_c)$ ricostruisce esattamente $s(t)=\sum s(nT)\operatorname{sinc}(F_c(t-nT))$. Se le ipotesi non valgono c'è un errore, in banda e fuori banda, riducibile con un prefiltro anti-aliasing.Campionamento e ricostruzione → e Trasformata di FourierLa trasformata di Fourier $S(f)=\int s(t)e^{-i2\pi ft}dt$ associa a un segnale continuo (anche aperiodico) la sua rappresentazione in frequenza; l'antitrasformata $s(t)=\int S(f)e^{i2\pi ft}df$ lo ricostruisce, perché gli esponenziali $e^{i2\pi ft}$ sono ortogonali su tutto $\mathbb R$ ($\int e^{i2\pi ft}dt=\delta(f)$). Per un segnale reale $S(-f)=S^(f)$. Si calcola per i segnali notevoli (rect $\leftrightarrow$ sinc, $e^{-\alpha t}\mathbf 1(t)\leftrightarrow\frac1{\alpha+i2\pi f}$, gaussiana, $\delta\leftrightarrow1$, $1\leftrightarrow\delta$, gradino) e per i segnali periodici, la cui trasformata è un treno di impulsi di area $S_n$ in $nF$.Trasformata di Fourier →.

Promemoria: quanto $T$ e trasformata

Con $F_p=1/T$, $S(f)=\sum_nT\,s(nT)e^{-i2\pi fnT}$ è periodica di periodo $F_p$. Il treno di impulsi $\delta_{F_p}(f)=\operatorname{rep}_{F_p}\delta(f)=\sum_k\delta(f-kF_p)$ è la trasformata del segnale costante $1$ (regola (6.14): $\sum_nT\,e^{-i2\pi fnT}=\delta_{F_p}(f)$, serie che non converge in senso ordinario ma esiste come distribuzione). La traslazione in frequenza (Tab. 6.1, regola 5) è $s(nT)e^{i2\pi f_0nT}\xrightarrow{\mathcal F}S(f-f_0)$: si dimostra in una riga, $\sum_nT\,s(nT)e^{i2\pi f_0nT}e^{-i2\pi fnT}=\sum_nT\,s(nT)e^{-i2\pi(f-f_0)nT}=S(f-f_0)$.

Es. 6.3E: la regola di modulazione

Dimostrazione. Per le formule di Eulero (Numeri complessiI numeri complessi estendono i reali introducendo l'unità immaginaria $i$ ($i^2 = -1$) e possono essere rappresentati in forma algebrica, trigonometrica o polare. Tramite la formula di Eulero e le proprietà del modulo e dell'argomento, è possibile calcolare agilmente prodotti, potenze e radici ennesime.Numeri complessi →), $\cos(2\pi f_0nT)=\frac12e^{i2\pi f_0nT}+\frac12e^{-i2\pi f_0nT}$. Quindi

$$s(nT)\cos(2\pi f_0nT)=\tfrac12\,s(nT)e^{i2\pi f_0nT}+\tfrac12\,s(nT)e^{-i2\pi f_0nT}.$$

Per la linearità e la traslazione in frequenza (la prima con $f_0$, la seconda con $-f_0$) la trasformata è

$$\tfrac12S(f-f_0)+\tfrac12S(f+f_0).\qquad\blacksquare$$

Modulare con un coseno sdoppia lo spettro: due copie dimezzate, centrate in $\pm f_0$. Qui $f_0$ è un numero reale qualsiasi (non serve che sia legato a $F_p$): $S$ è già periodica, quindi le due copie sono periodiche come lo era $S$.

Prova su un esempio. Per $s_2$ (tre campioni uguali ad $A_0$, Es. 6.3A) $S_2(f)=A_0T[1+2\cos(2\pi fT)]$; moltiplicando per $\cos(2\pi f_0nT)$ e sommando i tre termini a mano si trova lo stesso di $\frac12S_2(f-f_0)+\frac12S_2(f+f_0)$ (confermato numericamente nel Controllo).

Applicazione al gradino discreto

Qui il segnale è $s=\mathbf 1_0(nT)$, e serve la sua trasformata $U_0(f)$. Il gradino non è sommabile, la trasformata contiene impulsi; la si ricava a pezzi.

1. La trasformata del segno discreto. $\operatorname{sgn}(nT)$ vale $1$ per $n>0$, $0$ per $n=0$, $-1$ per $n<0$. Il suo incremento $\Delta s(nT)=s(nT)-s((n-1)T)$ vale: $n=0$: $0-(-1)=1$; $n=1$: $1-0=1$; altrove $0$. Cioè $\Delta s(nT)=T\delta(nT)+T\delta(nT-T)$ (l'impulso ideale ha altezza $\frac1T$, il coefficiente $T$ dà altezza $1$). La trasformata dell'incremento è $\Delta S=S(f)\,(1-e^{-i2\pi fT})$ (regola di traslazione), e anche, dal lato sinistro, $T\,(1+e^{-i2\pi fT})$. Posto $\theta=2\pi fT$:

$$S(f)=T\,\frac{1+e^{-i\theta}}{1-e^{-i\theta}}=T\,\frac{e^{i\theta/2}+e^{-i\theta/2}}{e^{i\theta/2}-e^{-i\theta/2}}=T\,\frac{2\cos(\theta/2)}{2i\sin(\theta/2)}=-iT\cot(\pi fT).$$

(Alla divisione per $1-e^{-i\theta}$, che si annulla per $f$ multiplo di $F_p$, si accompagna la possibilità di aggiungere un treno di $\delta_{F_p}$, perché l'incremento cancella le costanti; ma il segno ha media nulla ed è dispari, quindi la sua trasformata è dispari e quel termine pari non c'è.)

2. Decomposizione del gradino. Si verifica punto per punto:

$$\mathbf 1_0(nT)=\tfrac12\operatorname{sgn}(nT)+\tfrac12+\tfrac T2\,\delta(nT).$$

Per $n>0$: $\frac12+\frac12+0=1$. Per $n<0$: $-\frac12+\frac12=0$. Per $n=0$: $0+\frac12+\frac T2\cdot\frac1T=1$ (ed è proprio $\mathbf 1_0(0)=1$).

3. Trasformata termine per termine.

Sommando:

$$\boxed{U_0(f)=\tfrac12\delta_{F_p}(f)+\frac T2\bigl[1-i\cot(\pi fT)\bigr]}$$

che è la (6.18) del testo [$-\frac{iT}2\cot(\pi fT)+\frac12\delta_{F_p}(f)+\frac12T$] e coincide anche con la forma che compare nella (6.9). La parte "regolare" (fuori dai multipli di $F_p$) ha parte reale costante $\frac T2$ e parte immaginaria $-\frac T2\cot(\pi fT)$ che diverge in $f=0$ e nei multipli di $F_p$, dove sta il treno di impulsi $\frac12\delta_{F_p}$.

Controllo del peso $\frac12$ dell'impulso. Dall'antitrasformata in $n=0$: $\mathbf 1_0(0)=1=\int_0^{F_p}U_0(f)\,df$. La parte reale regolare dà $\frac T2\cdot F_p=\frac12$; la parte immaginaria (dispari, a valor principale) dà $0$; resta $\frac12$ che deve venire dall'impulso: peso $\frac12$, come nella formula. ✓

Controllo numerico della parte regolare. Il gradino smorzato $a^n\mathbf 1_0(n)$ con $a<1$ ha trasformata (6.17) $\frac{T}{1-ae^{-i\theta}}$; per $a\to1$ e $\theta\ne0$ si ha $\frac{T}{1-e^{-i\theta}}=\frac T2\bigl[1-i\cot(\theta/2)\bigr]$ (stesso calcolo di sopra, $\frac1{1-e^{-i\theta}}=\frac{e^{i\theta/2}}{2i\sin(\theta/2)}$). Esempio con $T=1$: $fT=\frac14$ dà $\frac12(1-i)$; $fT=\frac12$ dà $\frac12$; $fT=\frac18$ dà $\frac12(1-2{,}4142\,i)=0{,}5-1{,}2071i$.

4. Gradino modulato. Per la regola di modulazione, con $s=\mathbf 1_0$:

$$\mathbf 1_0(nT)\cos(2\pi f_0nT)\ \xrightarrow{\mathcal F}\ \tfrac12U_0(f-f_0)+\tfrac12U_0(f+f_0)$$

(è la riga "$\mathbf 1_0(n)\cos(2\pi f_0nT)$" della tabella delle coppie). Esplicitando:

$$=\tfrac14\bigl[\delta_{F_p}(f-f_0)+\delta_{F_p}(f+f_0)\bigr]+\frac T4\Bigl[2-i\cot\pi(f-f_0)T-i\cot\pi(f+f_0)T\Bigr].$$

La somma delle due cotangenti si semplifica: con $A=\pi(f-f_0)T$, $B=\pi(f+f_0)T$ si ha $\cot A+\cot B=\frac{\sin(A+B)}{\sin A\sin B}$, e $\sin A\sin B=\frac12[\cos(A-B)-\cos(A+B)]=\frac12[\cos2\pi f_0T-\cos2\pi fT]$, $\sin(A+B)=\sin2\pi fT$. Perciò la parte regolare è

$$\frac T2\left[1-i\,\frac{\sin(2\pi fT)}{\cos(2\pi f_0T)-\cos(2\pi fT)}\right],$$

che diverge in $f=\pm f_0$ (modulo $F_p$), dove ci sono i due impulsi di peso $\frac14$. Esempio: $T=0{,}5$, $f_0=0{,}2F_p$, $fT=0{,}3$ ($f=0{,}3F_p$): la formula dà $0{,}2500-0{,}3847i$.

Es. 6.4A: la trasformata di $A_0\operatorname{sinc}(nF_0T)$ con il Teorema 6.1

Teorema 6.1. Se $s(nT)=s_0(nT)$ è il campionamento (con passo $T$) di un segnale continuo $s_0(t)$ di trasformata $S_0(f)$, allora

$$S(f)=\operatorname{rep}_{F_p}S_0(f)=\sum_{k=-\infty}^{+\infty}S_0(f-kF_p),\qquad F_p=\frac1T .$$

Il fattore $T$ nella definizione di $S$ è proprio quello che fa avere alle repliche guadagno $1$ (senza il $T$ avrebbero guadagno $\frac1T$). Intuizione: $e^{i2\pi\lambda nT}$ e $e^{i2\pi(\lambda+kF_p)nT}$ coincidono sui campioni, quindi le frequenze $\lambda+kF_p$ del segnale continuo si "sommano" sulla stessa frequenza del segnale discreto.

1. Il segnale continuo. $s_0(t)=A_0\operatorname{sinc}(F_0t)$, con $F_0>0$. Dalla coppia continua $\operatorname{rect}(t/\tau)\leftrightarrow\tau\operatorname{sinc}(f\tau)$ e dalla simmetria (Trasformata di FourierLa trasformata di Fourier $S(f)=\int s(t)e^{-i2\pi ft}dt$ associa a un segnale continuo (anche aperiodico) la sua rappresentazione in frequenza; l'antitrasformata $s(t)=\int S(f)e^{i2\pi ft}df$ lo ricostruisce, perché gli esponenziali $e^{i2\pi ft}$ sono ortogonali su tutto $\mathbb R$ ($\int e^{i2\pi ft}dt=\delta(f)$). Per un segnale reale $S(-f)=S^*(f)$. Si calcola per i segnali notevoli (rect $\leftrightarrow$ sinc, $e^{-\alpha t}\mathbf 1(t)\leftrightarrow\frac1{\alpha+i2\pi f}$, gaussiana, $\delta\leftrightarrow1$, $1\leftrightarrow\delta$, gradino) e per i segnali periodici, la cui trasformata è un treno di impulsi di area $S_n$ in $nF$.Trasformata di Fourier →): $\operatorname{sinc}(F_0t)\xleftrightarrow{\mathcal F}\frac1{F_0}\operatorname{rect}\left(\frac f{F_0}\right)$ (rect largo $F_0$ e alto $\frac1{F_0}$). Quindi

$$S_0(f)=\frac{A_0}{F_0}\operatorname{rect}\left(\frac f{F_0}\right).$$

2. Il campionamento. $s(nT)=s_0(nT)=A_0\operatorname{sinc}(nF_0T)$ è il segnale richiesto. Per il Teorema 6.1

$$\boxed{S(f)=\frac{A_0}{F_0}\sum_{k=-\infty}^{+\infty}\operatorname{rect}\left(\frac{f-kF_p}{F_0}\right)=\frac{A_0}{F_0}\operatorname{rep}_{F_p}\operatorname{rect}\left(\frac f{F_0}\right)}.$$

È l'Es. 6.3C moltiplicato per $A_0$ (la linearità), ottenuto qui in una riga invece che con l'antitrasformata.

3. I tre casi. Il rect ha larghezza $F_0$, le repliche sono distanti $F_p$:

• $F_0<F_p$: repliche separate da intervalli vuoti; $S$ vale $\frac{A_0}{F_0}$ per $|f-kF_p|<\frac{F_0}2$, $0$ altrove. Non c'è aliasing: dai campioni si risale a $s_0$.
• $F_0=F_p$: le repliche si toccano nei punti $\pm\frac{F_p}2+kF_p$ (dove valgono $\frac12+\frac12$ per la regola dell'emivalore): $S\equiv\frac{A_0}{F_p}=A_0T$ costante. Il segnale è $A_0\operatorname{sinc}(n)=A_0\delta_{n0}=A_0T\,\delta(nT)$, trasformata costante $A_0T$ ✓ (è l'Esempio 6.4A del testo, che campiona $\operatorname{sinc}(t/T)$, cioè $F_0=F_p$).
• $F_0>F_p$: le repliche si sovrappongono e si sommano. $S(f)=\frac{A_0}{F_0}\cdot\#\{k:\ |f-kF_p|<\frac{F_0}2\}$ (con $\frac12$ sui bordi): uno spettro a "gradini" che non ha più la forma di un rect. È l'aliasing (Campionamento e ricostruzioneIl campionamento $s_c(nT)=s(nT)$ trasforma un segnale continuo in uno discreto e, in frequenza, ripete lo spettro con periodo $F_c=1/T$: $S_c(f)=\sum_kS(f-kF_c)$. Se le repliche si sovrappongono si ha aliasing e il segnale non è recuperabile. Un interpolatore $\mathbb Z(T)\to\mathbb R$ con risposta impulsiva $g$ produce $\tilde s(t)=\sum_nT g(t-nT)s(nT)$ e $\tilde S=G,S_c$. Teorema del campionamento: se $s$ ha banda $B$ e $F_c\ge2B$, l'interpolatore ideale $G=\operatorname{rect}(f/F_c)$ ricostruisce esattamente $s(t)=\sum s(nT)\operatorname{sinc}(F_c(t-nT))$. Se le ipotesi non valgono c'è un errore, in banda e fuori banda, riducibile con un prefiltro anti-aliasing.Campionamento e ricostruzione →): per ricostruire $s_0$ dai campioni occorre $F_p\ge2B$, e la banda di $s_0$ è $B=\frac{F_0}2$, cioè $F_p\ge F_0$.

Esempio numerico con $T=1$ ($F_p=1$) e $A_0=2$:

Energia come controllo. Per Parseval $\sum_nT\,|s(nT)|^2=\int_0^{F_p}|S|^2df$. Per $F_0\le F_p$ vale $A_0^2/F_0$ (uguale all'energia del segnale continuo $A_0\operatorname{sinc}(F_0t)$: nessuna perdita). Per $F_0=1{,}5$, $T=1$, $A_0=2$: due strisce di larghezza $\frac12$ con valori $1{,}333$ e $2{,}667$, quindi $\int|S|^2=\frac12\cdot1{,}333^2+\frac12\cdot2{,}667^2=0{,}889+3{,}556=4{,}444$, mentre il segnale continuo avrebbe $A_0^2/F_0=2{,}667$: l'energia dei campioni è maggiore perché le repliche sovrapposte si sommano.

Controllo

import numpy as np

T = 0.5
Fp = 1 / T

# ---------- (1) modulazione: s2 (tre campioni, A0 = 2) per cos(2 pi f0 n T)
A0 = 2.0
n = np.arange(-1, 2)
s2 = np.array([A0, A0, A0])
f0 = 0.35 * Fp

def tf(s, n, f):
    f = np.atleast_1d(f)
    return np.array([np.sum(T * s * np.exp(-2j * np.pi * ff * n * T)) for ff in f])

S2 = lambda f: A0 * T * (1 + 2 * np.cos(2 * np.pi * np.asarray(f) * T))
f = np.linspace(-1.5 * Fp, 1.5 * Fp, 301)
lato_sx = tf(s2 * np.cos(2 * np.pi * f0 * n * T), n, f)
lato_dx = 0.5 * S2(f - f0) + 0.5 * S2(f + f0)
print("modulazione di s2:", np.allclose(lato_sx, lato_dx))

# ---------- (2) gradino: decomposizione nel tempo
n = np.arange(-20, 21)
gradino = (n >= 0).astype(float)
sgn = np.sign(n).astype(float)
delta = np.where(n == 0, 1 / T, 0.0)
print("1_0 = sgn/2 + 1/2 + (T/2) delta :", np.allclose(gradino, 0.5 * sgn + 0.5 + (T / 2) * delta))

# ---------- (3) parte regolare di U0: serie regolarizzata a^n 1_0(n) con a -> 1
a = 1 - 1e-5
N = 3_000_000
m = np.arange(0, N)
am = a**m
for ff in np.array([0.1, 0.2, 0.3, 0.45]) * Fp:
    th = 2 * np.pi * ff * T
    serie = np.sum(T * am * np.exp(-1j * th * m))
    formula = T / 2 * (1 - 1j / np.tan(th / 2))
    print("fT = %.2f  serie %.5f%+.5fi   (T/2)(1 - i cot) %.5f%+.5fi" % (ff * T, serie.real, serie.imag, formula.real, formula.imag))

# ---------- (4) gradino modulato: parte regolare T/2 [1 - i sin(th)/(cos(th0) - cos(th))]
f0 = 0.2 * Fp
th0 = 2 * np.pi * f0 * T
for ff in np.array([0.05, 0.1, 0.3, 0.4]) * Fp:
    th = 2 * np.pi * ff * T
    serie = np.sum(T * am * np.cos(th0 * m) * np.exp(-1j * th * m))
    via_U0 = 0.5 * T / 2 * (2 - 1j / np.tan((th - th0) / 2) - 1j / np.tan((th + th0) / 2))
    chiusa = T / 2 * (1 - 1j * np.sin(th) / (np.cos(th0) - np.cos(th)))
    print("fT=%.2f  serie %.4f%+.4fi  via U0 %.4f%+.4fi  chiusa %.4f%+.4fi" % (ff * T, serie.real, serie.imag, via_U0.real, via_U0.imag, chiusa.real, chiusa.imag))

# ---------- (5) peso dell'impulso: 1 = s(0) = int U0 df, e quanta massa sta vicino a f = 0
fgrid = np.linspace(-Fp / 2, Fp / 2, 2_000_001)
U = T / (1 - a * np.exp(-2j * np.pi * fgrid * T))
print("int U df =", np.trapezoid(U, fgrid))
vicino = np.abs(fgrid * T) < 0.02
print("massa oltre T/2 vicino a 0:", np.trapezoid((U.real - T / 2)[vicino], fgrid[vicino]), "(attesa 1/2)")

# ---------- Es. 6.4A: A0 sinc(n F0 T), T = 1, A0 = 2, F0 = 1.5
T, A0, F0 = 1.0, 2.0, 1.5
Fp = 1 / T
def S_rep(f, F0, K=6):
    f = np.atleast_1d(f).astype(float)
    tot = np.zeros_like(f)
    for k in range(-K, K + 1):
        x = np.abs((f - k * Fp) / F0)
        tot += np.where(x < 0.5, 1.0, np.where(np.isclose(x, 0.5), 0.5, 0.0))
    return A0 * tot / F0
mm = np.arange(-300000, 300001)
w = 1 - np.abs(mm) / (mm.max() + 1)                    # finestra triangolare: attenua Gibbs
for ff in (0.1, 0.4):
    serie = np.sum(w * T * A0 * np.sinc(mm * F0 * T) * np.cos(2 * np.pi * ff * mm * T))
    print("f =", ff, " serie:", round(serie, 4), " Teorema 6.1:", S_rep(ff, F0)[0].round(4))
f = np.linspace(-Fp / 2, Fp / 2, 200001)
print("energia: somma", np.sum(T * (A0 * np.sinc(mm * F0 * T))**2), " integrale", np.trapezoid(S_rep(f, F0)**2, f), " A0^2/F0 =", A0**2 / F0)

Risultati (eseguito): la modulazione di $s_2$ è verificata (True); la scomposizione del gradino è vera; la serie regolarizzata coincide con $\frac T2[1-i\cot(\pi fT)]$ a cinque cifre (per esempio $0{,}25000-0{,}76942i$ in $fT=0{,}10$ con $T=0{,}5$); per il gradino modulato serie, forma via $U_0$ e forma chiusa danno gli stessi numeri (per esempio $0{,}2500+0{,}1203i$ in $fT=0{,}05$ con $f_0=0{,}2F_p$); $\int U\,df=1$ e la massa dell'impulso è $0{,}49997\simeq\frac12$; per 6.4A la serie dà $1{,}3333$ in $f=0{,}1$ (se $F_0=1{,}5$ e $A_0=2$) e $2{,}6667$ in $f=0{,}4$, come il Teorema 6.1; energia $4{,}444$ sia come somma sia come integrale, contro $A_0^2/F_0=2{,}667$.

Errori comuni

• Dimenticare il $\frac12$ nella modulazione: $\cos$ spezza lo spettro in due copie di ampiezza dimezzata.
• Scrivere la trasformata del gradino senza il treno di impulsi $\frac12\delta_{F_p}$, o con un solo impulso in $f=0$ invece che in tutti i multipli di $F_p$.
• Confondere $\mathbf 1_0(0)=1$ con il gradino campionato $\mathbf 1(nT)$, che in $n=0$ varrebbe $\frac12$: la decomposizione con $\frac T2\delta(nT)$ vale proprio per $\mathbf 1_0$.
• Per 6.4A, dimenticare che per $F_0>F_p$ le repliche si sovrappongono e si sommano.