Esercizio - area ed energia di un segnale campionato

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Testo (dispense del corso, Esercizi 13.2B e 13.2C).

• 13.2B. Dimostrare che se un segnale $s(t)$ a banda limitata $B$ viene campionato con frequenza di campionamento $F_c>B$, il segnale campionato $s_c(nT)$ ha area uguale a quella di $s(t)$: $$\sum_{n=-\infty}^{+\infty}T\,s_c(nT)=\int_{-\infty}^{+\infty}s(t)\,dt.$$
• 13.2C. Dimostrare che se $s(t)$ è a banda limitata $B$ e viene campionato con $F_c>2B$, il segnale campionato ha energia uguale a quella di $s(t)$: $$\sum_{n=-\infty}^{+\infty}T\,\lvert s_c(nT)\rvert^2=\int_{-\infty}^{+\infty}\lvert s(t)\rvert^2dt.$$

Poi si verificano i due risultati con un segnale $\operatorname{sinc}^2$ e si guarda cosa succede quando le condizioni non valgono.

Teoria usata: Campionamento e ricostruzioneIl campionamento $s_c(nT)=s(nT)$ trasforma un segnale continuo in uno discreto e, in frequenza, ripete lo spettro con periodo $F_c=1/T$: $S_c(f)=\sum_kS(f-kF_c)$. Se le repliche si sovrappongono si ha aliasing e il segnale non è recuperabile. Un interpolatore $\mathbb Z(T)\to\mathbb R$ con risposta impulsiva $g$ produce $\tilde s(t)=\sum_nT g(t-nT)s(nT)$ e $\tilde S=G,S_c$. Teorema del campionamento: se $s$ ha banda $B$ e $F_c\ge2B$, l'interpolatore ideale $G=\operatorname{rect}(f/F_c)$ ricostruisce esattamente $s(t)=\sum s(nT)\operatorname{sinc}(F_c(t-nT))$. Se le ipotesi non valgono c'è un errore, in banda e fuori banda, riducibile con un prefiltro anti-aliasing.Campionamento e ricostruzione →, Trasformata di Fourier a tempo discretoLa trasformata di Fourier di un segnale discreto è $S(f)=\sum_nT,s(nT),e^{-i2\pi fnT}$: una funzione continua e periodica in $f$ di periodo $F_p=1/T$. L'antitrasformata è l'integrale su un periodo, $s(nT)=\int_0^{F_p}S(f)e^{i2\pi fnT}df$. Le regole sono quelle del caso continuo (traslazione, convoluzione $\leftrightarrow$ prodotto, Parseval $\sum T|s|^2=\int_0^{F_p}|S|^2$), con incremento e somma corrente al posto di derivata e integrale. Per segnali reali $S(f)=S^(-f)$, quindi basta $[0,F_p/2]$. Esempi: $\delta\to1$, $1\to\delta_{F_p}$, rect $\to$ sinc periodico, $a^n\mathbf 1_0\to\frac T{1-ae^{-i2\pi fT}}$.Trasformata di Fourier a tempo discreto →, Trasformata di FourierLa trasformata di Fourier $S(f)=\int s(t)e^{-i2\pi ft}dt$ associa a un segnale continuo (anche aperiodico) la sua rappresentazione in frequenza; l'antitrasformata $s(t)=\int S(f)e^{i2\pi ft}df$ lo ricostruisce, perché gli esponenziali $e^{i2\pi ft}$ sono ortogonali su tutto $\mathbb R$ ($\int e^{i2\pi ft}dt=\delta(f)$). Per un segnale reale $S(-f)=S^(f)$. Si calcola per i segnali notevoli (rect $\leftrightarrow$ sinc, $e^{-\alpha t}\mathbf 1(t)\leftrightarrow\frac1{\alpha+i2\pi f}$, gaussiana, $\delta\leftrightarrow1$, $1\leftrightarrow\delta$, gradino) e per i segnali periodici, la cui trasformata è un treno di impulsi di area $S_n$ in $nF$.Trasformata di Fourier →, Energia, potenza e valor medio dei segnaliSu un segnale continuo si calcolano quattro numeri riassuntivi: l'area $\int s,dt$, il valor medio (componente continua) $\lim\frac1{2T}\int_{-T}^Ts,dt$, l'energia $\int|s|^2dt$ e la potenza media $\lim\frac1{2T}\int_{-T}^T|s|^2dt$. Un segnale ad energia finita ha potenza nulla e uno a potenza finita non nulla ha energia infinita. Per un segnale periodico di periodo $T_p$ area ed energia si calcolano su un periodo; un segnale periodico è la ripetizione periodica $\sum_ku(t-kT_p)$ di un suo periodo. Valgono per traslazione l'invarianza, per scala $s(at)$ la divisione per $|a|$.Energia, potenza e valor medio dei segnali →, Proprietà della trasformata di FourierLe regole della trasformata di Fourier trasformano operazioni sui segnali in operazioni sulle trasformate: linearità, ribaltamento, coniugio, traslazione nel tempo ($\times e^{-i2\pi ft_0}$) e in frequenza, convoluzione $\leftrightarrow$ prodotto, cambio di scala $s(at)\to\frac1{|a|}S(f/a)$, derivazione ($\times i2\pi f$), integrazione, regola di simmetria ($S(t)\to s(-f)$). Area $S(0)=\int s$, teorema di Parseval $\int|s|^2=\int|S|^2$. Durata e banda sono inversamente legati e un segnale non può avere durata e banda entrambe limitate; la banda del prodotto è la somma delle bande. Con queste regole si ricavano quasi tutte le trasformate senza integrare.Proprietà della trasformata di Fourier →.

Convenzioni delle dispense: il quanto è $T$ e $F_c=1/T$. Per un segnale discreto l'integrale è la somma pesata con $T$: area $\sum_nT\,s_c(nT)$, energia $\sum_nT\lvert s_c(nT)\rvert^2$. La trasformata di Fourier discreta è $S_c(f)=\sum_nT\,s_c(nT)\,e^{-i2\pi fnT}$, periodica di periodo $F_c$, e il campionamento $\mathbb R\to\mathbb Z(T)$ dà la ripetizione periodica senza fattore $1/T$: $$S_c(f)=\sum_{k=-\infty}^{+\infty}S(f-kF_c).$$ Banda limitata $B$ significa $S(f)=0$ per $\lvert f\rvert>B$ (estensione spettrale $(-B,B)$).

(1) Area (Es. 13.2B)

L'area di un segnale è il valore in $f=0$ della sua trasformata, perché $e^{-i2\pi\cdot0\cdot t}=1$. Per il segnale continuo: $S(0)=\int s(t)\,dt$. Per quello discreto: $S_c(0)=\sum_nT\,s_c(nT)$.

Si scrive la ripetizione periodica nel punto $f=0$: $$\sum_nT\,s(nT)=S_c(0)=\sum_{k=-\infty}^{+\infty}S(0-kF_c)=S(0)+\sum_{k\ne0}S(-kF_c).$$ Per $k\ne0$ il punto $-kF_c$ ha modulo $\lvert k\rvert F_c\ge F_c>B$, quindi cade fuori dalla banda e $S(-kF_c)=0$. Resta $$\sum_nT\,s_c(nT)=S(0)=\int_{-\infty}^{+\infty}s(t)\,dt.\qquad\blacksquare$$

Osservazione: la dimostrazione usa solo che le repliche non coprano l'origine, cioè $S(kF_c)=0$ per $k\ne0$. Basta quindi $F_c>B$ (le repliche centrate in $\pm F_c$ possono sovrapporsi tra loro altrove, ma lasciano libero lo zero): la condizione per l'area è molto più debole del teorema del campionamento ($F_c\ge2B$).

(2) Energia (Es. 13.2C)

Parseval per segnali discreti. Per un segnale discreto $s_c(nT)$ con trasformata $S_c(f)$ di periodo $F_c$ vale $$\sum_nT\,\lvert s_c(nT)\rvert^2=\int_{-F_c/2}^{F_c/2}\lvert S_c(f)\rvert^2df.$$ (Si vede subito: $\lvert S_c\rvert^2=\sum_n\sum_mT^2s_c(nT)s_c^*(mT)e^{-i2\pi f(n-m)T}$. Integrando su un periodo, di lunghezza $1/T$, i termini con $n\ne m$ si annullano perché $\int_{-F_c/2}^{F_c/2}e^{-i2\pi f(n-m)T}df=0$, e quelli con $n=m$ danno $T^2\lvert s_c(nT)\rvert^2\cdot\frac1T$: resta $\sum_nT\lvert s_c(nT)\rvert^2$.)

Uso della condizione di non aliasing. Con $F_c>2B$ vale $B<F_c/2$: l'intervallo $(-B,B)$ in cui $S\ne0$ sta tutto dentro l'intervallo di integrazione $(-F_c/2,F_c/2)$, e le repliche $S(f-kF_c)$ con $k\ne0$ non entrano in quell'intervallo né si sovrappongono a $S(f)$ (non c'è aliasing). In $(-F_c/2,F_c/2)$ risulta quindi $S_c(f)=S(f)$ e $$\sum_nT\lvert s_c(nT)\rvert^2=\int_{-F_c/2}^{F_c/2}\lvert S(f)\rvert^2df=\int_{-B}^{B}\lvert S(f)\rvert^2df=\int_{-\infty}^{+\infty}\lvert S(f)\rvert^2df=\int_{-\infty}^{+\infty}\lvert s(t)\rvert^2dt,$$ dove l'ultimo passaggio è il teorema di Parseval per il segnale continuo. $\blacksquare$

Perché qui serve $2B$ e non $B$. Se $B<F_c<2B$ le repliche si sovrappongono intorno a $\pm F_c/2$ e in $\lvert S_c\rvert^2$ compaiono i termini incrociati fra le repliche: l'energia del segnale campionato non è più quella dell'originale.

Seconda dimostrazione, dall'area. Il segnale $\lvert s(t)\rvert^2=s(t)\,s^*(t)$ ha come trasformata la convoluzione $S(f)*S^*(-f)$, che si estende su $(-2B,2B)$: ha banda $2B$. Applicando il risultato del punto (1) a $\lvert s\rvert^2$ con $F_c>2B$ si ha $\sum_nT\lvert s(nT)\rvert^2=\int\lvert s(t)\rvert^2dt$. Quindi l'energia richiede $F_c>2B$ perché è l'area di un segnale con banda doppia.

(3) Verifica numerica con $s(t)=\operatorname{sinc}^2(t)$

Con $\operatorname{sinc}(x)=\sin(\pi x)/(\pi x)$ si ha $\operatorname{sinc}^2(t)\leftrightarrow\operatorname{tri}(f)$ (triangolo di base $2$ e altezza $1$), quindi $B=1$ e $$\int s\,dt=S(0)=1,\qquad\int s^2dt=\int\operatorname{tri}^2(f)\,df=2\int_0^1(1-f)^2df=\frac23.$$ Si sommano $s(nT)=\operatorname{sinc}^2(nT)$ e $s(nT)^2=\operatorname{sinc}^4(nT)$ con il peso $T$, per $n$ da $-4\cdot10^6$ a $4\cdot10^6$, e si confronta con la formula in frequenza ($S_c(0)$ e $\int_{-F_c/2}^{F_c/2}\lvert S_c\rvert^2$ con la somma delle repliche di $\operatorname{tri}$):

Valori attesi: area $1$ ed energia $\frac23=0{,}666667$. Le due righe in cui $F_c\ge2B$ rispettano entrambi i risultati; con $B<F_c<2B$ l'area è ancora giusta e l'energia no, come previsto dal punto (2). La somma nel tempo e l'integrale in frequenza danno gli stessi numeri a sei cifre (tutte le righe).

Controlli a mano.

• $T=\frac12$: $\operatorname{sinc}^2(n/2)=1$ per $n=0$, $0$ per $n$ pari non nullo, $\frac{4}{\pi^2n^2}$ per $n$ dispari. Area: $\frac12\left[1+2\cdot\frac4{\pi^2}\sum_{n\ \mathrm{dispari}>0}\frac1{n^2}\right]=\frac12\left[1+\frac8{\pi^2}\cdot\frac{\pi^2}8\right]=\frac12\cdot2=1$ ✓. Energia: $\frac12\left[1+2\cdot\frac{16}{\pi^4}\cdot\frac{\pi^4}{96}\right]=\frac12\left[1+\frac13\right]=\frac23$ ✓ (si usano $\sum_{\mathrm{dispari}}n^{-2}=\pi^2/8$ e $\sum_{\mathrm{dispari}}n^{-4}=\pi^4/96$).
• $T=1$: $\operatorname{sinc}^2(n)$ vale $1$ in $n=0$ e $0$ altrove, quindi area $=T\cdot1=1$ ✓ ma energia $=T\cdot1=1\ne\frac23$: aliasing evidente.
• $T=0.8$ ($F_c=1{,}25$): in $[0,0{,}625]$ la ripetizione vale $S_c(f)=1-f$ per $0\le f\le0{,}25$ e $S_c(f)=(1-f)+(f-0{,}25)=0{,}75$ per $0{,}25\le f\le0{,}625$ (la replica centrata in $1{,}25$ entra con $\operatorname{tri}(f-1{,}25)=f-0{,}25$). Quindi $\int_{-F_c/2}^{F_c/2}S_c^2=2\left[\frac{1-0{,}75^3}{3}+0{,}75^2\cdot0{,}375\right]=2\left[0{,}192708+0{,}210938\right]=0{,}807292=\frac{155}{192}$, che supera $\frac23=\frac{128}{192}$ di $\frac{27}{192}$: è l'energia "creata" dalla sovrapposizione.

(4) Codice Python

import numpy as np
tri = lambda f: np.maximum(0, 1 - np.abs(f))     # trasformata di sinc^2(t)

def somme(T, N=2_000_000):
    n = np.arange(-N, N + 1)
    s = np.sinc(n * T) ** 2                       # np.sinc e' sin(pi x)/(pi x): come nel corso
    return T * s.sum(), T * (s ** 2).sum()        # area ed energia: somme con peso T

def da_frequenza(Fc):
    f = np.linspace(-Fc / 2, Fc / 2, 200_001)
    Sc = sum(tri(f - k * Fc) for k in range(-6, 7))   # ripetizione periodica (senza 1/T)
    return Sc[len(f) // 2], np.trapezoid(Sc ** 2, f)  # Sc(0) e integrale di |Sc|^2 su un periodo

for T in (0.4, 0.5, 0.8, 1.0, 1.5):
    print(T, np.round(somme(T), 4), np.round(da_frequenza(1 / T), 4))   # [area energia] dal tempo e dalla frequenza

Il peso $T$ nelle somme è essenziale: senza di esso le somme crescono come $1/T$. Con $T=0{,}5$ si ottiene $[1.\ \ 0.6667]$ da entrambe le vie (in np.trapezoid il passo di integrazione fa le veci di $df$).

Errori tipici.

• Dimenticare il peso $T$ nelle somme (la somma dei campioni non è l'area, serve $T\sum$).
• Pretendere $F_c>2B$ anche per l'area: per l'area basta $F_c>B$, mentre per l'energia $2B$ è necessario (vedi la riga $T=0{,}8$ della tabella).
• Pensare che il campionamento "conservi l'energia" in generale: è vero solo senza aliasing.

Vedi anche: Esercizio - ripetizione periodica e frequenza minima di campionamento e, per la materia gemella, Teorema del campionamento, interpolazione e aliasingTeorema di Shannon: un segnale a banda limitata $\omega_M$ si ricostruisce esattamente dai campioni se $T_c<\pi/\omega_M$ (frequenza di campionamento maggiore di quella di Nyquist $2f_{\max}$), con la formula di interpolazione ideale $x(t)=\sum_nx(nT_c)\operatorname{sinc}\left(\frac{t-nT_c}{T_c}\right)$. Sotto Nyquist c'è aliasing: le frequenze alte si confondono con quelle basse e l'informazione è persa.Teorema del campionamento, interpolazione e aliasing →.