Trasformata di Fourier a tempo discreto

La trasformata di Fourier dei segnali discreti (Segnali a tempo discretoUn segnale a tempo discreto è una funzione complessa $s(nT)$ definita sui multipli interi del quanto temporale $T$ (insieme $\mathbb Z(T)$, velocità $F_p=1/T$). Le definizioni sono quelle dei segnali continui con la somma al posto dell'integrale e il quanto $T$ al posto di $dt$: area $\sum T,s(nT)$, energia $\sum T|s(nT)|^2$, convoluzione $\sum T,x(kT)y(nT-kT)$. L'impulso ideale discreto vale $1/T$ nell'origine. Esponenziali e sinusoidi discreti sono periodici solo se $f_0/F_p$ è razionale e hanno frequenza ambigua a meno di multipli di $F_p$. I segnali periodici con periodo $NT$ sono descritti da $N$ valori e si trattano al calcolatore.Segnali a tempo discreto →) è l'analogo di quella dei segnali continui (Trasformata di FourierLa trasformata di Fourier $S(f)=\int s(t)e^{-i2\pi ft}dt$ associa a un segnale continuo (anche aperiodico) la sua rappresentazione in frequenza; l'antitrasformata $s(t)=\int S(f)e^{i2\pi ft}df$ lo ricostruisce, perché gli esponenziali $e^{i2\pi ft}$ sono ortogonali su tutto $\mathbb R$ ($\int e^{i2\pi ft}dt=\delta(f)$). Per un segnale reale $S(-f)=S^*(f)$. Si calcola per i segnali notevoli (rect $\leftrightarrow$ sinc, $e^{-\alpha t}\mathbf 1(t)\leftrightarrow\frac1{\alpha+i2\pi f}$, gaussiana, $\delta\leftrightarrow1$, $1\leftrightarrow\delta$, gradino) e per i segnali periodici, la cui trasformata è un treno di impulsi di area $S_n$ in $nF$.Trasformata di Fourier →) e ne conserva quasi tutte le regole. L'interpretazione fisica è meno immediata, perché un segnale a tempo discreto è già un'astrazione rispetto ai segnali del mondo fisico; diventa naturale per i segnali ottenuti per campionamento (Campionamento e ricostruzioneIl campionamento $s_c(nT)=s(nT)$ trasforma un segnale continuo in uno discreto e, in frequenza, ripete lo spettro con periodo $F_c=1/T$: $S_c(f)=\sum_kS(f-kF_c)$. Se le repliche si sovrappongono si ha aliasing e il segnale non è recuperabile. Un interpolatore $\mathbb Z(T)\to\mathbb R$ con risposta impulsiva $g$ produce $\tilde s(t)=\sum_nT g(t-nT)s(nT)$ e $\tilde S=G,S_c$. Teorema del campionamento: se $s$ ha banda $B$ e $F_c\ge2B$, l'interpolatore ideale $G=\operatorname{rect}(f/F_c)$ ricostruisce esattamente $s(t)=\sum s(nT)\operatorname{sinc}(F_c(t-nT))$. Se le ipotesi non valgono c'è un errore, in banda e fuori banda, riducibile con un prefiltro anti-aliasing.Campionamento e ricostruzione →).

Definizione

Definizione (trasformata di un segnale discreto). La trasformata di Fourier di $s(nT)$, $n\in\mathbb Z$, è $$S(f)=\sum_{n=-\infty}^{+\infty}T\,s(nT)\,e^{-i2\pi fnT},\qquad f\in\mathbb R,$$ e l'antitrasformata (su un qualunque intervallo di lunghezza $F_p=\frac1T$, ad esempio $[0,F_p]$) è $$s(nT)=\int_{0}^{F_p}S(f)\,e^{i2\pi fnT}\,df.$$

La scelta è l'analogia della trasformata continua: l'integrale è sostituito da una serie, con il fattore $T$ (già presente in area ed energia) e il nucleo $e^{i2\pi ft}$ valutato nei soli istanti $t=nT$.

Esempio. Per $s(nT)=\delta(nT-3T)$ (impulso di area $1$ in $3T$, cioè valore $\frac1T$ in $n=3$): $S(f)=T\cdot\frac1T\,e^{-i2\pi f3T}=e^{-i6\pi fT}$; per $fT=0{,}05$ vale $e^{-i0{,}3\pi}=0{,}588-0{,}809\,i$.

$S(f)$ è periodica di periodo $F_p=\frac1T$, perché $e^{-i2\pi(f+F_p)nT}=e^{-i2\pi fnT}e^{-i2\pi n}=e^{-i2\pi fnT}$. È la stessa ambiguità vista per gli esponenziali discreti: le frequenze $f$ e $f+kF_p$ sono indistinguibili. Si osserva che il periodo della trasformata coincide con la velocità del segnale (valori al secondo).

Perché l'antitrasformata funziona. I nuclei $e^{i2\pi fnT}$, al variare di $n$, sono ortogonali su un periodo di frequenza: $$\int_0^{F_p}e^{i2\pi fnT}e^{-i2\pi fmT}\,df=\int_0^{F_p}e^{i2\pi f(n-m)T}df=F_p\,\delta_{nm}\quad(\delta_{nm}=\text{simbolo di Kronecker}).$$ Sostituendo la definizione di $S$ nell'integrale: $\int_0^{F_p}\sum_mT\,s(mT)e^{-i2\pi fmT}e^{i2\pi fnT}df=\sum_mT\,s(mT)\,F_p\,\delta_{mn}=s(nT)$ (si usa $TF_p=1$).

Interpretazione. Il segnale è somma (integrale) di componenti esponenziali discrete $[S(f)\,df]\,e^{i2\pi fnT}$ con $f\in[0,F_p)$: bastano le frequenze di un solo periodo, perché le componenti a $f$ e $f+kF_p$ sono uguali. Per un segnale reale, $S(-f)=S^*(f)$ (simmetria hermitiana); con la periodicità $S(f)=S^*(F_p-f)$, quindi basta conoscere $S$ in $[0,\frac12F_p]$ e $$s(nT)=\int_0^{F_p/2}2\,|S(f)|\cos\big(2\pi fnT+\arg S(f)\big)\,df,$$ con sinusoidi a frequenze non superiori a $\frac12F_p$, che è la frequenza di Nyquist: la più alta frequenza distinguibile di una sinusoide discreta.

Regole

Tabella (regole della trasformata di segnali discreti).

regola	segnale	trasformata
linearità	$a_1s_1+a_2s_2$	$a_1S_1+a_2S_2$
ribaltamento	$s(-nT)$	$S(-f)$
coniugio	$s^*(nT)$	$S^*(-f)$
traslazione nel tempo ($n_0\in\mathbb Z$)	$s(nT-n_0T)$	$S(f)\,e^{-i2\pi fn_0T}$
traslazione in frequenza	$s(nT)\,e^{i2\pi f_0nT}$	$S(f-f_0)$
convoluzione	$x*y(nT)$	$X(f)\,Y(f)$
prodotto	$x(nT)\,y(nT)$	$X*Y(f)=\int_0^{F_p}X(\lambda)Y(f-\lambda)\,d\lambda$
derivazione in frequenza	$n\,s(nT)$	$\dfrac{1}{-i2\pi T}\dfrac{dS}{df}$
incremento	$\Delta s(nT)=s(nT)-s((n-1)T)$	$S(f)\big(1-e^{-i2\pi fT}\big)$
somma corrente	$\sum_{k\le n}T\,s(kT)$	$\frac12S(0)\,\delta_{F_p}(f)+\frac T2\,S(f)\big(1-i\cot\pi fT\big)$

Le dimostrazioni sono uguali al caso continuo (cambio di indice nelle somme; per la convoluzione si scambia l'ordine delle due somme e si usa la traslazione). Il prodotto trasforma in una convoluzione periodica (integrale su un periodo), perché le trasformate sono periodiche. La traslazione ha senso solo con $t_0=n_0T\in\mathbb Z(T)$. L'incremento si ottiene dalla traslazione, la somma corrente dalla convoluzione con il gradino discreto $\mathbf 1_0$.

Esempio (incremento). Per $s=a^n\mathbf 1_0(n)$ con $a=\frac12$, $T=1$, $f=0{,}1$: $S=\frac1{1-ae^{-i2\pi f}}$ e $\Delta S=S(1-e^{-i2\pi f})=0{,}6496+0{,}6664\,i$, uguale alla somma diretta $\sum\Delta s\,e^{-i2\pi fn}$ con $\Delta s=1,-\frac12,-\frac14,\dots$.

Esempio (derivata in frequenza). La stessa $s$ ha $n\,a^n\mathbf 1_0\to T\,\frac{a\,e^{-i2\pi fT}}{(1-ae^{-i2\pi fT})^2}$: in $f=0{,}1$ vale $0{,}0290-1{,}1335\,i$.

Area, valore nell'origine, Parseval. Come nel caso continuo: $$S(0)=\sum_nT\,s(nT)=\operatorname{area}(s),\qquad s(0)=\int_0^{F_p}S(f)\,df=\operatorname{area}(S\text{ su un periodo}),$$ $$E_s=\sum_{n=-\infty}^{+\infty}T\,|s(nT)|^2=\int_0^{F_p}|S(f)|^2\,df\qquad\text{(teorema di Parseval).}$$ Esempio. Per $a^n\mathbf 1_0$ con $a=\frac12$: $E_s=T\sum(\frac14)^n=\frac43T$ e $\int_0^{F_p}\frac{T^2}{|1-ae^{-i2\pi fT}|^2}df=\frac{T}{1-a^2}=\frac43T$ (con $T=1$ l'integrale numerico dà $1{,}3333$).

Simmetrie. Segnale reale $\to$ trasformata hermitiana; reale e pari $\to$ trasformata reale e pari; reale e dispari $\to$ trasformata immaginaria pura e dispari (le stesse del caso continuo, Proprietà della trasformata di FourierLe regole della trasformata di Fourier trasformano operazioni sui segnali in operazioni sulle trasformate: linearità, ribaltamento, coniugio, traslazione nel tempo ($\times e^{-i2\pi ft_0}$) e in frequenza, convoluzione $\leftrightarrow$ prodotto, cambio di scala $s(at)\to\frac1{|a|}S(f/a)$, derivazione ($\times i2\pi f$), integrazione, regola di simmetria ($S(t)\to s(-f)$). Area $S(0)=\int s$, teorema di Parseval $\int|s|^2=\int|S|^2$. Durata e banda sono inversamente legati e un segnale non può avere durata e banda entrambe limitate; la banda del prodotto è la somma delle bande. Con queste regole si ricavano quasi tutte le trasformate senza integrare.Proprietà della trasformata di Fourier →).

Trasformate fondamentali

Impulso e costante. $\delta(nT)\to1$ e, per traslazione, $\delta(nT-n_0T)\to e^{-i2\pi fn_0T}$. Per il segnale costante $s(nT)=1$ la serie $S(f)=T\sum_ne^{-i2\pi fnT}$ non converge in senso ordinario, ma vale l'identità tra distribuzioni (la versione "a tempo discreto" dello sviluppo del treno di impulsi): $$\sum_{n=-\infty}^{+\infty}T\,e^{-i2\pi fnT}=\sum_{k=-\infty}^{+\infty}\delta(f-kF_p)=\delta_{F_p}(f)\quad(\text{treno di impulsi di periodo }F_p).$$ Quindi $1\to\delta_{F_p}(f)$: un impulso a ogni multiplo di $F_p$ (la ripetizione periodica di $\delta(f)$).

Esponenziali e sinusoidi. Per traslazione in frequenza, $e^{i2\pi f_0nT}\to\delta_{F_p}(f-f_0)$, quindi $$\cos2\pi f_0nT\ \to\ \tfrac12\big[\delta_{F_p}(f-f_0)+\delta_{F_p}(f+f_0)\big],\qquad \sin2\pi f_0nT\ \to\ \tfrac1{2i}\big[\delta_{F_p}(f-f_0)-\delta_{F_p}(f+f_0)\big].$$ Rispetto al continuo, ogni impulso si ripete con periodo $F_p$ (in $f_0+kF_p$ e $-f_0+kF_p$).

Impulso rettangolare discreto. $s(nT)=A_0$ per $|n|\le n_0$ e $0$ altrove ($N=2n_0+1$ valori, durata $NT$). Con $z=e^{-i2\pi fT}$, la somma geometrica $\sum_{n=-n_0}^{n_0}z^n=\dfrac{\sin\pi Nf T}{\sin\pi fT}$ dà $$S(f)=A_0T\,\frac{\sin(\pi NfT)}{\sin(\pi fT)}=A_0NT\,\operatorname{sinc}_N(fNT),\qquad \operatorname{sinc}_N(x)=\frac{\sin\pi x}{N\sin(\pi x/N)}$$ (il "sinc periodico", ripetizione periodica di un sinc, che vale $\pm1$ dove il denominatore si annulla, per continuità). In $f=0$ vale $A_0NT=\operatorname{area}(s)$; si annulla in $f=\pm\frac kN F_p$ (con $k$ intero non multiplo di $N$). Il lobo principale ha larghezza $\frac{2F_p}{N}$ attorno ad $f=0$: più campioni ci sono, più la trasformata è stretta (relazione durata-banda). Con $N=7$, $A_0=T=1$, $f=0{,}1$: $S=\frac{\sin0{,}7\pi}{\sin0{,}1\pi}=2{,}618$ (verificato sommando i sette termini).

Esponenziale causale. $s(nT)=a^n\mathbf 1_0(nT)$ con $|a|<1$: la serie è geometrica di ragione $a\,e^{-i2\pi fT}$ (modulo $|a|<1$), $$S(f)=T\sum_{n=0}^{\infty}\big(a\,e^{-i2\pi fT}\big)^n=\frac{T}{1-a\,e^{-i2\pi fT}}.$$ Il modulo è $\frac T{\sqrt{1-2a\cos2\pi fT+a^2}}$ per $a$ reale. Con $a=\frac12$, $T=1$, $f=0{,}1$: $S=1{,}350-0{,}666\,i$, $|S|=1{,}506$, fase $-0{,}458$ rad.

Segno e gradino discreti. L'incremento del segno è $\Delta\operatorname{sgn}(nT)=T\delta(nT)+T\delta(nT-T)$, con trasformata $T(1+e^{-i2\pi fT})$; dividendo per $(1-e^{-i2\pi fT})$: $$\operatorname{sgn}(nT)\to T\,\frac{1+e^{-i2\pi fT}}{1-e^{-i2\pi fT}}=-iT\cot(\pi fT).$$ Diverge nei multipli di $F_p$ (è una distribuzione, valore principale). Dalla scomposizione $\mathbf 1_0(nT)=\frac12\operatorname{sgn}(nT)+\frac12+\frac T2\delta(nT)$: $$\mathbf 1_0(nT)\to U_0(f)=\frac12\,\delta_{F_p}(f)+\frac T2\big(1-i\cot\pi fT\big).$$ (Verificato sommando la serie con un fattore di convergenza $r^{|n|}$, $r\to1$: per $T=1$, $f=0{,}1$ si ottiene $-3{,}0777\,i$ per il segno e $0{,}5-1{,}5388\,i$ per il gradino.)

Relazione con i segnali ottenuti per campionamento

Se $s(nT)=s_0(nT)$ è il campionamento di un segnale continuo $s_0(t)$ con trasformata $S_0(f)$, la trasformata del segnale discreto è la ripetizione periodica della trasformata di $s_0$ con periodo $F_p=\frac1T$: $$S(f)=\operatorname{rep}_{F_p}S_0(f)=\sum_{k=-\infty}^{+\infty}S_0(f-kF_p).$$ È il risultato che spiega aliasing e teorema del campionamento ed è dimostrato in Campionamento e ricostruzioneIl campionamento $s_c(nT)=s(nT)$ trasforma un segnale continuo in uno discreto e, in frequenza, ripete lo spettro con periodo $F_c=1/T$: $S_c(f)=\sum_kS(f-kF_c)$. Se le repliche si sovrappongono si ha aliasing e il segnale non è recuperabile. Un interpolatore $\mathbb Z(T)\to\mathbb R$ con risposta impulsiva $g$ produce $\tilde s(t)=\sum_nT g(t-nT)s(nT)$ e $\tilde S=G,S_c$. Teorema del campionamento: se $s$ ha banda $B$ e $F_c\ge2B$, l'interpolatore ideale $G=\operatorname{rect}(f/F_c)$ ricostruisce esattamente $s(t)=\sum s(nT)\operatorname{sinc}(F_c(t-nT))$. Se le ipotesi non valgono c'è un errore, in banda e fuori banda, riducibile con un prefiltro anti-aliasing.Campionamento e ricostruzione →. Per esempio, campionando $\operatorname{sinc}(t/T)$ si ottiene $s(nT)=\delta_{n0}=T\delta(nT)$ e $S=T\operatorname{rep}_{F_p}\operatorname{rect}(f/F_p)=T$ (costante).

Segnali discreti periodici

Se $s(nT)$ è periodico di periodo $NT$, si scrive $n=mN+k$ con $k=0,\dots,N-1$ e si sfrutta la periodicità: $S(f)=\sum_{k=0}^{N-1}T\,s(kT)\,e^{-i2\pi fkT}\sum_{m}e^{-i2\pi fmNT}$. La seconda somma è il treno di impulsi dell'identità vista sopra, con periodo $NT$ al posto di $T$: $\sum_me^{-i2\pi fmNT}=F\sum_h\delta(f-hF)$ con $F=\frac1{NT}$. Quindi $S(f)$ è un treno di impulsi alle frequenze $hF$ di area $$S_h=\frac1N\sum_{k=0}^{N-1}s(kT)\,e^{-i2\pi hk/N},\qquad S_{h+N}=S_h,$$ cioè i coefficienti di Fourier del segnale periodico (hanno le stesse dimensioni di $s$). Dipendono da soli $N$ numeri e si calcolano esattamente: è la trasformata discreta (DFT), in Trasformata di Fourier discreta (DFT) e FFTUn segnale discreto periodico di periodo $NT$ ha una trasformata discreta e periodica, la DFT: $S(kF)=\sum_{n=0}^{N-1}T,s(nT)e^{-i2\pi kn/N}$, con $F=1/(NT)$, e $s(nT)=\sum_{k=0}^{N-1}F,S(kF)e^{i2\pi kn/N}$. Dipende da soli $N$ numeri, si calcola senza approssimazioni e con la FFT costa $N\log_2N$ invece di $N^2$. I coefficienti di Fourier del segnale periodico sono $S_k=F,S(kF)$. La DFT dà anche campioni della trasformata di un segnale discreto o continuo a durata limitata (con zero-padding), ma la scalatura $T$ e l'asse delle frequenze vanno gestiti con cura.Trasformata di Fourier discreta (DFT) e FFT →.

Esercizi collegati

• Esercizio - trasformata di impulsi discreti e teorema di Parseval
• Esercizio - trasformata di un sinc discreto e antitrasformata del coseno al cubo
• Esercizio - modulazione discreta e campionamento di un sinc
• Esercizio - laboratorio 4, trasformata di segnali discreti con la FFT

Vedi anche la materia gemella: Trasformata di Fourier a tempo discreto (TFtd)La TFtd di una sequenza è $X(\omega)=\sum_nx(n)e^{-j\omega n}$, funzione continua e periodica di periodo $2\pi$; si inverte con $x(n)=\frac1{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}X(\omega)e^{j\omega n}d\omega$. Ha le stesse proprietà della TF continua (la convoluzione diventa prodotto, $n,x(n)\leftrightarrow jX'$). È la risposta in frequenza dei sistemi discreti; con la TFD e lo zero-padding se ne ottengono campioni arbitrariamente fitti.Trasformata di Fourier a tempo discreto (TFtd) →.