Sistemi lineari tempo-invarianti e risposta impulsiva

Si lavora con tf $I\to I$, quindi con $I=\mathbb R$ oppure $I=\mathbb Z(T)$, usando l'integrale su $I$ (somma pesata con $T$ nel discreto) introdotto in Trasformazioni e sistemi - proprietàUna trasformazione manda un segnale d'ingresso su I in un segnale d'uscita su U, y = φ[x]. Si classifica per invertibilità, memoria, causalità, stabilità BIBO, linearità, tempo-invarianza e realtà. Una trasformazione lineare ha un nucleo h(t,u) = risposta all'impulso applicato in u; la finestra y = w·x è lineare ma NON tempo-invariante. Le tf LTI (filtri) sono il caso con h(t,u) = g(t-u).Trasformazioni e sistemi - proprietà →.

Dal nucleo alla convoluzione

Una tf lineare ha $y(t)=\int_Ih(t,u)\,x(u)\,du$. Si vuole che sia anche tempo-invariante: applicando $x(u-u_0)$ l'uscita deve essere $y(t-u_0)$. Calcolando la risposta al segnale traslato (con il cambio di variabile $u\to u+u_0$) e imponendo che coincida con $y(t-u_0)=\int h(t-u_0,u)x(u)du$ per ogni $x$ si ottiene $h(t,u+u_0)=h(t-u_0,u)$ per ogni $t,u,u_0$. Ponendo $u=0$ risulta $h(t,u_0)=h(t-u_0,0)$: il nucleo dipende solo dalla differenza $t-u_0$.

Teorema (tf LTI). Una tf lineare $I\to I$ è tempo-invariante se e solo se $$h(t,u)=g(t-u),\qquad y(t)=\int_Ig(t-u)\,x(u)\,du=(g*x)(t).$$ Il segnale $g(t)=\varphi[\delta_I\,|\,t]$ è la risposta impulsiva: l'uscita quando all'ingresso si applica l'impulso ideale nell'origine. Con un impulso in $t_0$ l'uscita è $g(t-t_0)$.

Esplicitamente (ConvoluzioneLa convoluzione $x*y(t)=\int x(u),y(t-u),du$ combina due segnali ribaltando e traslando il secondo, moltiplicando e integrando. È commutativa, associativa, lineare; l'area del risultato è il prodotto delle aree; l'estensione è la somma delle estensioni (estremo con estremo); l'impulso $\delta$ è l'elemento neutro; la convoluzione con il gradino integra. Per due segnali periodici di uguale periodo si usa la convoluzione ciclica (integrale su un periodo). È l'operazione del filtraggio: l'uscita di un filtro è la convoluzione dell'ingresso con la risposta impulsiva.Convoluzione →, Segnali a tempo discretoUn segnale a tempo discreto è una funzione complessa $s(nT)$ definita sui multipli interi del quanto temporale $T$ (insieme $\mathbb Z(T)$, velocità $F_p=1/T$). Le definizioni sono quelle dei segnali continui con la somma al posto dell'integrale e il quanto $T$ al posto di $dt$: area $\sum T,s(nT)$, energia $\sum T|s(nT)|^2$, convoluzione $\sum T,x(kT)y(nT-kT)$. L'impulso ideale discreto vale $1/T$ nell'origine. Esponenziali e sinusoidi discreti sono periodici solo se $f_0/F_p$ è razionale e hanno frequenza ambigua a meno di multipli di $F_p$. I segnali periodici con periodo $NT$ sono descritti da $N$ valori e si trattano al calcolatore.Segnali a tempo discreto →):

$$y(t)=\int_{-\infty}^{\infty}g(t-u)\,x(u)\,du\quad(I=\mathbb R),\qquad y(nT)=\sum_{k=-\infty}^{\infty}T\,g(nT-kT)\,x(kT)\quad(I=\mathbb Z(T)).$$

Esempio (convenzione del peso $T$). Il filtro discreto $y(nT)=\frac12x(nT)-\frac13x(nT-T)+x(nT-2T)$ ha risposta impulsiva $g(0)=\frac1{2T}$, $g(T)=-\frac1{3T}$, $g(2T)=\frac1T$, cioè $g=\frac12\delta-\frac13\delta(\cdot-T)+\delta(\cdot-2T)$ con $\delta=\delta_{\mathbb Z(T)}$, perché $\sum_kT\,g(kT)\,x(nT-kT)$ restituisce proprio i coefficienti $\frac12,-\frac13,1$. Con $T=0{,}5\ \text{s}$ e ingresso $x=(1,2,3)$ in $n=0,1,2$ l'uscita è $y=(0{,}5;\ 0{,}667;\ 1{,}833;\ 1;\ 3)$ (verificato con Python in entrambi i modi). Il fattore $T$ nella somma si cancella con il fattore $\frac1T$ della risposta impulsiva.

Esempi continui e discreti da tenere a mente:

Che l'integratore sia LTI con $g=1(t)$ si vede ponendo $x=\delta(t-t_0)$: l'uscita è $\int_{-\infty}^t\delta(u-t_0)du=1(t-t_0)$.

Risposta al gradino e al rettangolo

Per un filtro continuo accanto alla risposta impulsiva si usano

$$r_\infty(t)=\int_{-\infty}^{t}g(u)\,du\ \ (\text{risposta al gradino }1(t)),\qquad r_D(t)=r_\infty(t)-r_\infty(t-D)\ \ (\text{risposta a }\operatorname{rect}\tfrac{t-D/2}{D}).$$

La seconda segue dalla prima: il rettangolo è $1(t)-1(t-D)$, e linearità più tempo-invarianza danno la differenza delle due risposte.

Esempio (filtro RC). Con $g=\frac1Te^{-t/T}1(t)$ si ha $r_\infty(t)=1(t)\left(1-e^{-t/T}\right)$ e $r_D(t)=1(t)\left(1-e^{-t/T}\right)-1(t-D)\left(1-e^{-(t-D)/T}\right)$. Il rapporto $D/T$ comanda tutto: se $T\ll D$ la risposta somiglia al rettangolo d'ingresso, se $T\gg D$ ne è una versione molto schiacciata. Per $D=2T$ (come nel grafico) il valore alla fine del rettangolo è $r_D(D)=1-e^{-2}=0{,}865$ (verificato).

La costante di tempo $T$ è l'istante in cui la tangente a $g$ in $0^+$ taglia l'asse dei tempi.

Proprietà di una tf LTI lette sulla risposta impulsiva

Una tf LTI è determinata interamente da $g$, quindi tutte le sue proprietà si leggono su $g$.

Teorema (causalità). Una tf LTI è causale se e solo se $g$ è un segnale causale: $g(t)=0$ per $t<0$.

Perché: $y(t)$ deve poter usare solo $x(u)$ con $u\le t$, cioè $\int g(t-u)x(u)du=\int g(t-u)1(t-u)x(u)du$ per ogni $x$, e questo vale per ogni $x$ solo se $g(t-u)=g(t-u)1(t-u)$. Per un filtro causale $y(t)=\int_{-\infty}^{t}g(t-u)x(u)\,du$ e, se $g$ ha anche estensione limitata $[0,D]$, $y(t)=\int_{t-D}^{t}g(t-u)x(u)\,du$: memoria finita $\mu=D$. Nel discreto sono i filtri FIR (risposta impulsiva finita), gli altri sono IIR.

Esempio. Integratore e filtro RC sono causali; la media mobile $\int_{t-D}^tx$ ha $g=\operatorname{rect}\frac{t-D/2}{D}$, nulla per $t<0$: causale con $\mu=D$. Il FIR $\frac12x-\frac13x(\cdot-T)+x(\cdot-2T)$ è causale con $\mu=2T$. Un filtro ideale (passa-basso con $g\propto\operatorname{sinc}$) non è causale.

Teorema (stabilità). Una tf LTI è stabile BIBO se e solo se $g$ è assolutamente integrabile: $\displaystyle\int_I\lvert g(t)\rvert\,dt<\infty$ (assolutamente sommabile nel discreto).

Perché è sufficiente: se $\lvert x\rvert\le L_x$ allora $\lvert y(t)\rvert\le\int\lvert g(t-u)\rvert\lvert x(u)\rvert du\le L_x\int\lvert g\rvert=L_y$. Perché è necessaria: se $\int\lvert g\rvert=\infty$, scrivendo $g=\lvert g\rvert e^{\mathrm i\beta}$ e applicando l'ingresso limitato $x(u)=L_xe^{-\mathrm i\beta(-u)}$ si trova $y(0)=L_x\int\lvert g\rvert=\infty$.

Esempio. L'integratore ($g=1(t)$) non è stabile; il filtro RC sì, perché $\int_0^\infty\frac1Te^{-t/T}dt=1$. Il filtro discreto $g(nT)=\alpha^n1_0(nT)$ ha $\sum_nT\lvert g\rvert=T\sum_{n\ge0}\lvert\alpha\rvert^n=\frac T{1-\lvert\alpha\rvert}$ se $\lvert\alpha\rvert<1$ e $+\infty$ se $\lvert\alpha\rvert\ge1$: stabile se e solo se $\lvert\alpha\rvert<1$. Un FIR è sempre stabile.

Teorema (realtà). Una tf LTI è reale se e solo se $g$ è reale.

Perché: se $g$ è reale e $x$ è reale, $y=g*x$ è reale; viceversa con $x=\delta_I$ (reale) si ottiene $y=g$.

Altre due proprietà: la tf LTI è istantanea solo se $g=G\,\delta_I$ (amplificatore); è invertibile se e solo se $G(f)\neq0$ per ogni $f$ (Risposta in frequenza e filtriLa risposta in frequenza G(f) = F[g] di un filtro LTI dà Y = G·X. Gli esponenziali complessi sono autofunzioni (autovalore G(f)), quindi un ingresso sinusoidale esce sinusoidale con ampiezza moltiplicata per |G(f0)| e fase aumentata di arg G(f0). Il filtro è reale se G è hermitiana, invertibile se G non si annulla. I filtri ideali sono rect in frequenza; non distorsione secondo Heaviside: |G| costante e fase lineare.Risposta in frequenza e filtri →).

Connessioni di tf

Si fa spesso un sistema complesso collegando sistemi semplici. Per collegare due tf bisogna che i domini siano compatibili (il dominio d'uscita di una è quello d'ingresso dell'altra).

Cascata. L'uscita della prima è l'ingresso della seconda: $\varphi=\varphi_2\varphi_1$. Se $\varphi_1,\varphi_2$ sono invertibili, causali, stabili, lineari, tempo-invarianti, reali, lo è anche la cascata; l'inversa è $\varphi_1^{-1}\varphi_2^{-1}$. In generale l'ordine conta (la finestra e il ritardo non commutano).

Cascata di tf lineari: nucleo $h(t,u)=\int_{I_2}h_2(t,v)\,h_1(v,u)\,dv$.

Cascata di finestre: finestra con forma $w_1w_2$ (commutano).

Cascata di tf LTI: ancora LTI con $$g=g_2*g_1,\qquad G(f)=G_1(f)\,G_2(f).$$ Per la commutatività e l'associatività della convoluzione l'ordine dei filtri non conta e la risposta impulsiva è indipendente da come si dispongono.

Le due proprietà dei sistemi LTI in cascata (causale+causale è causale, stabile+stabile è stabile, reale+reale è reale) discendono dal fatto che la convoluzione di due segnali causali è causale, di due assolutamente integrabili è assolutamente integrabile, di due reali è reale.

Esempio (due filtri RC in cascata). Con $g_i=\frac1{T_i}e^{-t/T_i}1(t)$ e $T_1\neq T_2$: $$g(t)=g_1*g_2(t)=1(t)\,\frac{e^{-t/T_1}-e^{-t/T_2}}{T_1-T_2}.$$ Per $T_1=1$, $T_2=2$ si ha $g(t)=1(t)\,(e^{-t/2}-e^{-t})$, che sale fino al massimo $\frac14$ in $t=2\ln2=1{,}386$ e poi scende (la convoluzione calcolata numericamente concorda con la formula a meno di $5\cdot10^{-4}$, errore del passo di calcolo). In frequenza $G=\frac1{(1+\mathrm i2\pi fT_1)(1+\mathrm i2\pi fT_2)}$: il prodotto è molto più comodo del calcolo della convoluzione.

Parallelo. Stesso ingresso, uscita somma: $\varphi=\varphi_1+\varphi_2$. Il parallelo di tf causali, stabili, lineari, tempo-invarianti, reali conserva la proprietà. Per due tf lineari con nuclei $h_1$ e $h_2$ il nucleo del parallelo è la somma, $h(t,u)=h_1(t,u)+h_2(t,u)$ (linearità dell'integrale: $\int h_1x+\int h_2x$). Per due tf LTI: $g=g_1+g_2$, $G=G_1+G_2$. Il parallelo di due tf invertibili può non esserlo: con l'identità $y_1=x$ e il coniugio $y_2=x^*$ si ottiene $y=x+x^*=2\Re[x]$, da cui non si recupera $x$.

Retroazione (controreazione). Il filtro $g$ è in catena diretta, il filtro $h$ in catena di reazione, e all'ingresso della catena diretta si porta $e=x-u$ con $u=h*y$. Si ha $y=g*(x-h*y)$, quindi in frequenza $Y=G(X-HY)$ e $$G_e(f)=\frac{G(f)}{1+H(f)\,G(f)}\qquad(\text{per }H(f)G(f)\neq-1).$$ La risposta impulsiva del sistema equivalente non si ricava direttamente dalla relazione nel tempo: bisogna passare in frequenza.

Esempio. Un RC con $G=\frac1{1+\mathrm i2\pi fT}$ e reazione costante $H=K=3$ dà $G_e=\frac{1}{4+\mathrm i2\pi fT}=\frac14\cdot\frac1{1+\mathrm i2\pi f\,T/4}$: un RC con costante di tempo $T/4$ e guadagno $\frac14$ (verificato numericamente). La reazione ha reso il filtro quattro volte più veloce e quattro volte più "basso".

Perché le connessioni: la catena di una trasmissione

Nelle telecomunicazioni il segnale attraversa blocchi in sequenza: un filtro anti-aliasing ($\mathbb R\to\mathbb R$, LTI), il campionatore ($\mathbb R\to\mathbb Z(T)$), un filtro numerico FIR o IIR ($\mathbb Z(T)\to\mathbb Z(T)$), un decimatore ($\mathbb Z(T)\to\mathbb Z(T')$), un interpolatore ($\mathbb Z(T')\to\mathbb R$) e un filtro finale. Ogni blocco è una tf con i suoi domini, che devono combaciare (il dominio d'uscita di uno è il dominio d'ingresso del successivo); le proprietà (causalità, stabilità, linearità, tempo-invarianza) si propagano con le regole di cascata e il comportamento complessivo si calcola blocco per blocco. Gli schemi dei temi d'esame (campionatore, finestra, filtro, interpolatore in cascata: Interpolazione LTI e teorema del campionamentoIl campionatore R→Z(T) ripete lo spettro con periodo Fc = 1/T (Sc(f) = Σ S(f - kFc), senza fattore 1/T). Il filtro interpolatore Z(T)→R ha y(t) = Σ x(nT) g0(t-nT) con g0 = T g e in frequenza Y = G·X. Se S è nulla fuori da (-B,B) e Fc ≥ 2B, con g0(t) = sinc(Fc t) si ricostruisce esattamente s(t) dai campioni. Altrimenti c'è un errore (in banda per l'aliasing, fuori banda per la parte tagliata), ridotto da un prefiltro anti-aliasing.Interpolazione LTI e teorema del campionamento →) sono catene di questo tipo.

Esempio (canale con eco ed equalizzatore). Un canale fa arrivare il segnale diretto più una copia ritardata di $T$ e attenuata a metà: $y(nT)=x(nT)+\frac12x(nT-T)$. È il parallelo dell'identità e di un ritardo con guadagno $\frac12$, quindi $g=\delta_{\mathbb Z(T)}+\frac12\delta_{\mathbb Z(T)}(\cdot-T)$ e $G(f)=1+\frac12e^{-\mathrm i2\pi fT}$, con $\lvert G\rvert$ che va da $\frac32$ (a $f=0$) a $\frac12$ (a $f=\frac{F_p}2$): le frequenze sono amplificate o attenuate in modo diverso e il segnale si deforma. Per rimediare si mette in cascata un equalizzatore, il filtro inverso $G_i=\frac1G$ (esiste perché $G\ne0$ per ogni $f$). Da $z=G_i\,y$, cioè $z(nT)+\frac12z(nT-T)=y(nT)$, si ricava la ricorsione $z(nT)=y(nT)-\frac12z(nT-T)$ e la risposta impulsiva $g_i(nT)=\frac1T\left(-\frac12\right)^n\mathbf 1_0(nT)$ (verificata: $G_i=\sum_{n\ge0}(-\frac12)^ne^{-\mathrm i2\pi fnT}=\frac1{1+\frac12e^{-\mathrm i2\pi fT}}$). È un IIR stabile, perché $\lvert-\frac12\rvert<1$.

Con $T=1$ la cascata ha $g*g_i=[1,\tfrac12]*[1,-\tfrac12,\tfrac14,-\tfrac18,\dots]=[1,0,0,0,\dots]$ (il termine in $n$ è $(-\frac12)^n+\frac12(-\frac12)^{n-1}=0$ per $n\ge1$): l'impulso, cioè l'identità. Sul segnale $x=(1,2,3,0,0,\dots)$ il canale dà $y=(1,\ 2{,}5,\ 4,\ 1{,}5,\ 0,\dots)$ e l'equalizzatore restituisce $z=(1,2,3,0,0,\dots)$ (verificato con la convoluzione numerica). Se l'eco fosse più forte del segnale diretto, $y(nT)=x(nT)+\frac32x(nT-T)$, l'inverso causale avrebbe il polo $-\frac32$ e le potenze $(-\frac32)^n$ crescerebbero ($-38{,}4;\ 57{,}7;\ -86{,}5$ per $n=9,10,11$): l'equalizzatore sarebbe instabile.

Sistemi LTI a più ingressi e più uscite

Con $M$ ingressi e $N$ uscite l'uscita è $\mathbf y(t)=\int\mathbf g(t-u)\,\mathbf x(u)\,du$ con $\mathbf g(t)$ matrice $N\times M$ delle risposte impulsive: $g_{ij}$ è l'uscita $i$ quando all'ingresso $j$ si applica $\delta$ e agli altri $0$. In frequenza $\mathbf Y(f)=\mathbf G(f)\mathbf X(f)$ (l'ordine dei fattori conta).

Errori comuni

• Dimenticare il peso $T$ nella convoluzione discreta, o il fattore $\frac1T$ nella risposta impulsiva del FIR.
• Applicare il criterio di stabilità "$\int\lvert g\rvert<\infty$" a $G(f)$: la stabilità si legge su $g$, non su $G$.
• Credere che la cascata commuti sempre: vale per i filtri LTI e per le finestre, non per finestra+filtro.
• Scrivere $G_e=G\,H/(1+GH)$ per la retroazione: il numeratore è $G$ della catena diretta.

Vedi anche: Sistemi LTI, risposta impulsiva e convoluzioneUn sistema lineare tempo-invariante (LTI) è completamente descritto dalla sua risposta impulsiva $h=\Sigma[\delta]$: l'uscita è la convoluzione $y=xh$, cioè $y(t)=\int x(u)h(t-u)du$ (somma $\sum_k x(k)h(n-k)$ nel discreto). Il teorema discende da linearità e tempo-invarianza applicate alla scomposizione del segnale in impulsi.Sistemi LTI, risposta impulsiva e convoluzione → e Causalità, stabilità e connessioni dei sistemi LTIPer un sistema LTI le proprietà si leggono sulla risposta impulsiva $h$: causale se $h$ è nulla per $t<0$; reale se $h$ è reale; statico se $h=K\delta$; BIBO stabile se e solo se $h$ è assolutamente integrabile (sommabile nel discreto). Serie e parallelo corrispondono a $h_1h_2$ e $h_1+h_2$.Causalità, stabilità e connessioni dei sistemi LTI → nella materia gemella (convenzione $\omega$).